%% \magnification=\magstep1 \documentstyle{SibMatZh} \hoffset=-.4in \voffset=-.4in \topmatter \UDclass 515.12\endUDclass \subjclass 35R30\endsubjclass \title О~множестве значений размерностей квантования идемпотентных мер \endtitle \rightheadtext{О~размерностях квантования идемпотентных мер} \thanks Финансовое обеспечение исследования осуществлялось из средств федерального бюджета на выполнение государственного задания КарНЦ РАН (Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН). \endthanks \author А.~В.~Иванов\endauthor \xauthor Иванов~А.~В.\endxauthor \datesubmitted 1 декабря 2025 г.\enddatesubmitted \daterevised 1 декабря 2025 г.\enddaterevised \dateaccepted 12 февраля 2026 г.\enddateaccepted \address Иванов Александр Владимирович (ORCID 0000-0002-4436-4805)\linebreak Институт прикладных математических исследований\linebreak Карельского научного центра РАН,\linebreak ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск~185910 \endaddress \email alvlivanov\@krc.karelia.ru\endemail \affil \endaffil \keywords метрический компакт, емкостная размерность, размерность квантования идемпотентных мер. \endkeywords \abstract На пространстве $I(X)$ идемпотентных мер (мер Маслова), заданных на метрическом компакте $X$, вводится метрика $\rho_I$, определяющая метризацию функтора идемпотентных мер $I$. Для каждой меры $\mu\in I(X)$ по метрике $\rho_I$ можно определить верхнюю и нижнюю размерности квантования этой меры, которые не превосходят соответствующих емкостных размерностей носителя меры $\mu$. Доказана следующая теорема о промежуточных значениях размерностей квантования идемпотентных мер: на любом метрическом компакте емкостной размерности $a<\infty$ для любых двух чисел $b,c$, связанных неравенствами $0\leq b\leq c\leq a$, существует идемпотентная мера, нижняя и верхняя размерности квантования которой равны $b$ и $c$ соответственно. \par Ранее аналогичная теорема о промежуточных значениях была доказана автором для размерностей квантования вероятностных мер, идемпотентным аналогом которых являются меры Маслова. \endabstract \endtopmatter %On the space $I(X)$ of idempotent measures (Maslov measures) defined on a metric %compactum $X$, we introduce the metric $\rho_I$, which defines a metrization of %the functor of idempotent measures $I$. For each measure $\mu\in I(X)$, using %the metric $\rho_I$, we can define an upper and lower quantization dimension of %this measure that does not exceed the corresponding box dimensions of the %support of $\mu$. The following theorem on intermediate values of the %quantization dimensions of idempotent measures is proved: on any metric %compactum of box dimension $a<\infty$, for any two numbers $b,c$ such that %$0\leq b\leq c\leq a$, there exists an idempotent measure whose lower and upper %quantization dimensions are $b$ and $c$, respectively. %Previously, a similar theorem on intermediate values was proved by the author %for the quantization dimensions of probability measures, the idempotent %analogue of which are Maslov measures. %Keywords: metric compactum, box dimension, quantization dimension of idempotent measures. \head 1. Введение\endhead В работе речь пойдет о мерах (вероятностных и идемпотентных), заданных на метрическом компакте $(X,\rho)$. {\it Квантованием} вероятностной (борелевской) меры называется ее приближение мерами с конечными носителями. В рамках теории квантования введено понятие размерности квантования $D(\mu)$ вероятностной меры $\mu$ (см. [1]). Величина $D(\mu)$ характеризует скорость возрастания числа точек в носителе $\varepsilon$-аппроксимации меры $\mu$ при $\varepsilon\to 0$. Эта скорость бывает <<неустойчивой>> и тогда рассматривают верхнюю $\overline{D}(\mu)$ и нижнюю $\underline{D}(\mu)$ размерности квантования меры $\mu$, связанные неравенством $\underline{D}(\mu)\leq\overline{D}(\mu)$. Известно (см. [1]), что размерности квантования вероятностной меры (верхняя и нижняя) не превосходят соответствующих емкостных размерностей ее носителя. В работе [2] была доказана следующая теорема о промежуточных значениях размерностей квантования вероятностных мер. \proclaim{Теорема 1.1 \rm [2]} Пусть $(X,\rho)$ --- метрический компакт, емкостная размерность которого равна $a\leq\infty$. Тогда для любых двух чисел $b,c$, удовлетворяющих неравенствам $0\leq b\leq c\leq a$, на $X$ существует вероятностная мера $\mu_{bc}$, для которой $$ \underline{D}(\mu_{bc})=b,\quad \overline{D}(\mu_{bc})=c. $$ \endproclaim Постановка вопроса о приближении предполагает наличие подходящей метрики на пространстве вероятностных мер, заданных на метрическом компакте $(X,\rho)$. В качестве такой метрики в сформулированных выше утверждениях рассматривается расстояние Канторовича~--- Рубинштейна $\rho_P$, которое определяется по формуле $$ \rho_P(\mu,\nu)=\sup\{|\mu(f)-\nu(f)|:f\in\operatorname{Lip}_1(X)\}, \eqno(1) $$ где $\operatorname{Lip}_1(X)$ --- множество вещественных функций на $X$, удовлетворяющих условию Липшица с константой 1, и $\mu(f)=\int f\,d\mu$. Главным результатом данной статьи является доказательство аналога теоремы~1.1 для идемпотентных мер. Основные понятия идемпотентного анализа кратко изложены в обзоре [3]. В~идемпотентной математике аналогом вероятностных мер являются идемпотентные меры или меры Маслова (см. [4]), которые можно определить как нормированные функционалы $\mu: C(X)\to {\Bbb R}$, линейные относительно идемпотентных арифметических операций (суммы $x\oplus y=\max\{x,y\}$ и произведения $x\odot y=x+y$). Множество $I(X)$ идемпотентных мер на компакте $X$, наделенное слабой* топологией, всегда является компактом. Непрерывное отображение компактов $f:X\to Y$ естественно порождает отображение $I(f):I(X)\to I(Y)$. Таким образом, конструкция $I$ определяет ковариантный функтор в категории компактов и непрерывных отображений. Топологические свойства этого функтора исследованы в [4], где было доказано, что функтор $I$ является нормальным в смысле Е.~В.~Щепина [5]. В работе [6] для любого метрического компакта $(X,\rho)$ на $I(X)$ определены непрерывные псевдометрики $\rho_n$, $n\in{\Bbb N}$, по формуле (1) с заменой $\operatorname{Lip}_1$ на $\operatorname{Lip}_n$. C помощью этих псевдометрик мы вводим расстояние $\rho_I$ на $I(X)$, отличное от метрик, рассмотренных в [6--8]. При этом метрики $\rho_I$ задают метризацию функтора $I$ по В.~В.~Федорчуку [9]. В~метрическом пространстве $(I(X),\rho_I)$ определены размерности квантования идемпотентной меры $\mu$ (верхняя $\overline{D}_I(\mu)$ и нижняя $\underline{D}_I(\mu)$), которые (как и в случае вероятностных мер) не превосходят соответствующих емкостных размерностей носителя меры $\mu$. В~работе доказано, что для размерностей квантования идемпотентных мер справедлива следующая теорема о промежуточных размерностях, аналогичная теореме~1.1. {\sl Для любого метрического компакта $(X,\rho)$ емкостной размерности $\dim_BX=a<\infty$ и любых двух чисел $b,c$, связанных неравенствами $0\leq b\leq c\leq a$, существует мера $\mu_{bc}\in I(X)$ такая, что} $$ \underline{D}_I(\mu_{bc})=b,\quad \overline{D}_I(\mu_{b,c})=c. $$ При доказательстве этой теоремы используется техника работы [10], где теорема о промежуточных размерностях была доказана при ограничении $b-\infty\}}. $$ Множество $I(X)$ является подмножеством пространства ${\Bbb R}^{C(X)}$ с тихоновской топологией. Тем самым $I(X)$ наделяется слабой* топологией. В [12] показано, что для любого компакта $X$ пространство $I(X)$ является компактом. Для любого непрерывного отображения компактов $h:X\to Y$ определено непрерывное отображение $I(h):I(X)\to I(Y)$ по формуле: $I(h)(\mu)(f)=\mu(f\circ h)$ для каждого $f\in C(Y)$. Таким образом, конструкция $I$ является ковариантным функтором в категории Comp компактов и непрерывных отображений, который (как показано в [4]) является нормальным в смысле Е.~В.~Щепина (см. [5]). В работе [6] для каждого $n\in{\Bbb N}$ на $I(X)$ определена непрерывная псевдометрика $\rho_n$ по формуле $$ \rho_n(\mu,\nu)=\sup\{|\mu(f)-\nu(f)|:f\in \operatorname{Lip}_n(X)\},\eqno(3) $$ где $\operatorname{Lip}_n(X)$ --- множество функций на $X$, удовлетворяющих условию Липшица с константой $n$. В~силу условия~2 определения~2.1 в формуле (3) достаточно рассматривать функции из $\operatorname{Lip}_n(X)$, принимающие нулевое значение в некоторой фиксированной точке $x_0$. Множество таких функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Следовательно, по теореме Арцела~--- Асколи это множество компактно. Таким образом, в формуле (3) $\sup$ можно заменить на $\max$. Заметим, что $f\in \operatorname{Lip}_n(X)$ тогда и только тогда, когда $f/n\in \operatorname{Lip}_1(X)$. В~[8] для каждой возрастающей последовательности натуральных чисел $\alpha=(n_i:i\in{\Bbb N})$ определена совместимая с топологией метрика $\rho_{I\alpha}$ на $I(X)$ по формуле $$ \rho_{I\alpha}(\mu,\nu) =\sum\limits_{i\in{\Bbb N}}\frac{\rho_{n_i}(\mu,\nu)}{n_i2^i}. \eqno(4) $$ Модифицируем формулу (4), заменив в ней ряд коэффициентов $\sum\limits_{i\in{\Bbb N}}\frac{1}{2^i}$ рядом $\sum\limits_{i\in{\Bbb N}}\frac{1}{i^2}$ (напомним, что его сумма равна $\pi^2/6$). В качестве $\alpha$ возьмем последовательность $(2^i:i\in{\Bbb N})$ и положим $$ \rho_I(\mu,\nu) =\frac{6}{\pi^2}\sum\limits_{i\in{\Bbb N}}\frac{\rho_{2^i}(\mu,\nu)}{2^i\cdot i^2}. \eqno(5) $$ Почти дословно повторив рассуждения, приведенные при доказательстве предложений ~3.2 и~3.4 из [8], можно утверждать, что формула (5) определяет совместимую с топологией метрику $\rho_I$ на $I(X)$ и метрики $\rho_I$ задают метризацию функтора $I$ в терминологии В.~В.~Федорчука. Для каждого $n\in{\Bbb N}$ множество $I_n(X)=\{\mu\in I(X):|\supp(\mu)|\leq n\}$ замкнуто в $I(X)$ и $\bigcup\limits_{n\in{\Bbb N}}I_n(X)$ всюду плотно в $I(X)$ (см. [4]). Поэтому для любой меры $\mu\in I(X)$ и любого $\varepsilon>0$ определено натуральное число $N(\mu,\varepsilon)$, равное наименьшей мощности носителя $\varepsilon$-приближения меры $\mu$ по метрике $\rho_I$: $$ N(\mu,\varepsilon)=\min\{n:\rho_I(\mu,I_n(X))\leq\varepsilon\}. $$ Если $\mu$ имеет бесконечный носитель, то $ N (\mu, \varepsilon) $ неограниченно возрастает при $ \varepsilon \to 0 $. Скорость этого возрастания характеризует размерность квантования $D_I(\mu)$ меры $\mu$: $$ D_I(\mu)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{\log N(\mu,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}, $$ (если указанного предела не существует, то рассматриваются верхний и нижний пределы, и мы получаем верхнюю $ \overline {D}_I (\mu) $ и нижнюю $ \underline {D}_I (\mu ) $ размерности квантования $\mu$). Нам понадобится также понятие емкостных размерностей (верхней $\overline{\dim}_BF$ и нижней $\underline{\dim}_BF$) замкнутого подмножества $F$ метрического компакта $(X,\rho)$ (см. [12]). Для множества $F$ и $\varepsilon>0$ через $N(F,\varepsilon)$ обозначим наименьшее число точек в $\varepsilon$-сети для $F$. Тогда $$ \overline{\dim}_BF=\varlimsup_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(F,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}, \quad \underline{\dim}_BF=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(F,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}. $$ В случае совпадения этих пределов используют обозначение $\dim_BF$ и говорят о {\it емкостной размерности} $F$. \proclaim{Предложение 2.2} Для любой идемпотентной меры $\mu\in I(X)$ имеют место неравенства $$ \overline{D}_I(\mu)\leq\overline{\dim}_B(\supp(\mu)), \quad \underline{D}_I(\mu)\leq\underline{\dim}_B(\supp(\mu)). $$ \endproclaim {\sc Доказательство} этого утверждения совпадает с доказательством аналогичных неравенств в [7, предложение~4.3 и следствие~4.4.]. Подмножество $A$ метрического компакта $(X,\rho)$ называется $\varepsilon$-{\it разделенным} ($\varepsilon>0$), если $\rho(x,y)>\varepsilon$ для любых двух различных точек $x,y\in A$. Следующее предложение доказано в [10]. \proclaim{Предложение 2.3 \rm [10, предложение 2.5]} Пусть последовательность положительных чисел $\varepsilon_n$ монотонно ($\varepsilon_n\geq\varepsilon_{n+1}$) сходится к нулю, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\log \varepsilon_n}{\log\varepsilon_{n+1}}=1$, и пусть $T_n$ --- последовательность $\varepsilon_n$-разделенных $\varepsilon_n$-сетей в $X$. Тогда $$ \overline{\dim}_BX=\varlimsup_{n\to\infty} \frac{\log |T_n|}{-\log\varepsilon_n}, \quad \underline{\dim}_BX=\varliminf_{n\to\infty} \frac{\log |T_n|}{-\log\varepsilon_n}. $$ \endproclaim Из доказанного в [10] предложения 2.1 следует \proclaim{Предложение 2.4} Если последовательность $\varepsilon_n$ удовлетворяет условиям предложения~{\rm 2.3}, то $$ \underline{D}_I(\mu)=\varliminf_{n\to \infty}\frac{\log N(\mu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}, \quad \overline{D}_I(\mu)=\varlimsup_{n\to \infty}\frac{\log N(\mu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}. $$ \endproclaim Пусть $\mu\in I(X)$ и $d_\mu$ --- функция плотности меры $\mu$. Положим $$ K(\mu)=\{x: d_\mu(x)=0\}. $$ \proclaim{Предложение 2.5} Для любой меры $\mu\in I(X)$ имеют место неравенства $$ \underline{D}_I(\mu)\geq\underline{\dim}_BK(\mu), \quad \overline{D}_I(\mu)\geq\overline{\dim}_BK(\mu). $$ \endproclaim \demo{Доказательство} Опираясь на результаты [7, леммы 3.3, 4.5], легко проверить, что имеет место неравенство $$ N(\mu,\varepsilon)\geq N(K(\mu),\varepsilon), $$ из которого следует утверждение предложения. \qed \medskip Для замкнутого подмножества $F$ метрического компакта $X$ определим идемпотентную меру $\lambda_F$ по формуле $$ \lambda_F(f)=\max\{f(x):x\in F\}, $$ где $f\in C(X)$. Очевидно, что мера $\lambda_F$ имеет функцию плотности $d_{\lambda_F}$, которая тождественно равна нулю на $F$ и принимает значение $- \infty$ во всех остальных точках $X$. Из предложений~2.2 и~2.5 вытекает \proclaim{Следствие 2.6} Для любого замкнутого подмножества $F\subset X$ $$ \underline{D}_I(\lambda_F)=\underline{\dim}_BF, \quad \overline{D}_I(\lambda_F)=\overline{\dim}_BF. $$ \endproclaim В пространстве $I(X)$ определено идемпотентное сложение $\oplus$. Для $\mu,\nu\in I(X)$ мера $\mu\oplus\nu\in I(X)$ определяется по формуле $$ (\mu\oplus\nu)(f)=\max\{\mu(f),\nu(f)\}, $$ где $f\in C(X)$. Очевидно, что $$ d_{\mu\oplus\nu}(x)=\max\{d_\mu(x),d_\nu(x)\}. $$ Имеют место следующие утверждения, доказательства которых почти тождественны доказательствам соответствующих предложений из [7]. \proclaim{Предложение 2.7 \rm [7, предложение 4.10]} Для любых $\mu,\nu\in I(X)$ и любого $\varepsilon>0$ выполняется неравенство $$ N(\mu\oplus\nu,2\varepsilon)\leq N(\mu,\varepsilon)+N(\nu,\varepsilon). $$ \endproclaim \proclaim{Следствие 2.8 \rm [7, следствие 4.11]} Для любых мер $\mu,\nu\in I(X)$ $$ \overline{D}_I(\mu\oplus\nu)\leq \max\{\overline{D}_I(\mu),\overline{D}_I(\nu)\}. $$ \endproclaim \head 3. Теорема о~промежуточных значениях размерностей квантования\endhead Пусть $(X,\rho)$ --- метрический компакт, $x\in X$ и $\varepsilon>0$. Замкнутый $\varepsilon$-шар точки $x$ будем обозначать через $ B(x,\varepsilon)=\{y:\rho(x,y)\leq\varepsilon\}$. \proclaim{Теорема 3.1} Пусть $(X,\rho)$ --- метрический компакт и $\dim_BX=a<\infty$. Тогда для любых чисел $b,c$, удовлетворяющих неравенствам $0\leq b\leq c\leq a$, существует мера $\mu_{bc}\in I(X)$ такая, что $\underline{D}_I(\mu_{bc})=b$, $\overline{D}_I(\mu_{bc})=c$. \endproclaim \demo{Доказательство} Покажем вначале, что на $X$ существует идемпотентная мера $\mu$, для которой $D_I(\mu)=b$. Для $b=0$ в качестве $\mu$ можно взять любую меру с конечным носителем. При $b=a$ искомой мерой $\mu$ является мера $\lambda_X$ в силу следствия 2.6. В дальнейшем $b\in(0,a)$. Положим $\varepsilon_n=1/2^n$, $n\in{\Bbb N}$. Зафиксируем в $X$ возрастающую (по включению) последовательность подмножеств $T_0,T_1,\ldots,T_n,\ldots$, где $|T_0|=1$ и каждое $T_n$ при $n\in{\Bbb N}$ является $\varepsilon_n$-разделенной $\varepsilon_n$-сетью в $X$. Такую последовательность легко построить по индукции, дополняя на шаге $n+1$ уже построенное $T_n$ до максимального $\varepsilon_{n+1}$-разделенного подмножества $T_{n+1}$, которое (в силу максимальности) будет $\varepsilon_{n+1}$-сетью. Положим $$ b_n=2^{2^{np}}, $$ где $n\in{\Bbb N}$ и $p>0$ --- числовой параметр. Определим функцию $d:X\to{\Bbb R}_{\max}$ следующим образом: $d(x)=0$ при $x\in T_0$; $d(x)=-b_n$ при $x\in T_n\setminus T_{n-1}$; $d(x)=-\infty$ при $x\not\in\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}T_n$. Легко проверить, что функция $d$ полунепрерывна сверху и $\max d=0$. Следовательно, $d$ есть функция плотности некоторой идемпотентной меры $\mu$. Покажем, что при изменении параметра $p$ размерность квантования меры $\mu$ принимает все значения в диапазоне $(0,a)$. \medskip {\bf Оценка снизу.} Пусть мера $\nu$ имеет конечный носитель $\supp(\nu)=B$ и $|B|<|T_n|$. Множество $T_n$ является $\varepsilon_n$-разделенным, следовательно, шары $B(x,\varepsilon_n/2)$, $x\in T_n$, попарно не пересекаются. Таким образом, существует точка $t\in T_n$, для которой $B(t,\varepsilon_n/2)\cap B=\emptyset$, и, значит, $\rho(t,B)>\varepsilon_n/2$. Поскольку функция $\rho(x,B)$ принадлежит $\operatorname{Lip}_1(X)$, для любого $i\in\overset\circ\to{N}$ получаем $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu)\geq|\mu(2^i\rho(x,B))- \nu(2^i\rho(x,B))|. $$ Множество $B$ является носителем меры $\nu$ и $\rho(x,B))=0$ при $x\in B$. Следовательно, $\nu(2^i\rho(x,B))=0$. При этом $\mu(2^i\rho(x,B))\geq 2^i\rho(t,B)+d(t)>2^i\varepsilon_n/2-b_n$. Таким образом, $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu)\geq 2^i\varepsilon_n/2-b_n. $$ Положим $$ i(n)=[2^{np}]+n+2. $$ Легко проверить, что для всех $i>i(n)$ выполняется неравенство $$ 2^i\varepsilon_n/4>b_n. $$ Таким образом, при $i>i(n)$ $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu)>2^i\varepsilon_n/4. $$ Следовательно, $$ \rho_I(\mu,\nu)\geq\frac{6}{\pi^2}\sum\limits_{i>i(n)}\frac{\rho_{2^i} (\mu,\nu)}{2^i\cdot i^2} >\frac{6}{\pi^2}\frac{\varepsilon_n}{4(i(n)+1)}. $$ Введем обозначение $$ \delta_n=\frac{6}{\pi^2}\frac{\varepsilon_n}{4(i(n)+1)}. $$ Нетрудно показать, что последовательность $\delta_n$ удовлетворяет условиям предложения~2.3 и $$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\log\varepsilon_n}{\log\delta_n}=\frac{1}{p+1}. $$ Итак, доказано, что если носитель меры $\nu$ имеет мощность меньше $|T_n|$, то $\rho_I(\mu,\nu)>\delta_n$. Следовательно, $$ N(\mu,\delta_n)\geq |T_n|. \eqno(6) $$ Из неравенства (6) и предложений 2.3, 2.4 получаем $$ \underline{D}_I(\mu)=\varliminf_{n\to\infty}\frac{\log N(\mu,\delta_n)}{- \log\delta_n}\geq\varliminf_{n\to\infty} \left( \frac{\log|T_n|}{-\log\varepsilon_n} \frac{\log\varepsilon_n}{\log\delta_n}\right) =\frac{\dim_BX}{p+1}. $$ {\bf Оценка сверху.} Для каждого $n$ определим функцию $d_n:X\to {\Bbb R}_{\max}$ следующим образом: $d_n(x)=d(x)$ при $x\in T_n$; $d_n(x)=-\infty$ при $x\not\in T_n$. Очевидно, что $d_n$ является функцией плотности некоторой меры $\nu_n$ с носителем $\supp(\nu_n)=T_n$. Для $i\in{\Bbb N}$ оценим величину $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu_n)=\max\{|\mu(2^if)-\nu_n(2^if)|:f\in \operatorname{Lip}_1(X)\} . \eqno(7). $$ Пусть $g$ --- функция из $\operatorname{Lip}_1(X)$, на которой достигается максимум правой части формулы (7), т.~е. $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu_n)=|\mu(2^ig)-\nu_n(2^ig)|. $$ В силу формулы (2) для некоторой точки $y\in X$ имеет место равенство $\mu(2^ig)=2^ig(y)+d(y)$. Если $y\in T_n$, то легко проверить, что $\mu(2^ig)=\nu_n(2^ig)$ и тогда $\rho_{2^i}(\mu,\nu_n)=0$. Если $y\not\in T_n$, то существует точка $t\in T_n$ такая, что $\rho(t,y)\leq\varepsilon_n$, поскольку $T_n$ является $\varepsilon_n$-сетью. Имеем $$ 2^ig(t)+d(t)\leq \nu_n(2^ig)<2^ig(y)+d(y)=\mu(2^ig). $$ Следовательно, $$ |\mu(2^ig)-\nu_n(2^ig)|\leq 2^i|g(y)-g(t)|+d(y)-d(t). $$ При этом $|g(y)-g(t)|\leq\varepsilon_n$, $d(y)\leq -b_{n+1}$, $-d(t)\leq b_n$. Таким образом, $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu_n)\leq 2^i\varepsilon_n-(b_{n+1}-b_n).\eqno(8) $$ Пусть $i=j(n)$ --- наименьшее натуральное число, для которого правая часть формулы (8) больше нуля. Легко проверить, что $$ j(n)=[\log_2(b_{n+1}-b_n)]+n+1 $$ (здесь мы считаем, что $n$ достаточно велико, так, что $\log_2(b_{n+1}-b_n)>0$). Поскольку $\rho_{2^i}(\mu,\nu_n)\geq 0$, правая часть формулы (8) не может быть отрицательной. Отсюда следует, что при $iN(\lambda_F,\varepsilon_i)$, так как $D_I(\mu)=b>0$. Следовательно, $$ \underline{D}_I(\mu_{bc})=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(\mu_{bc},2\varepsilon)}{-\log \varepsilon}\leq \varliminf_{i\to\infty} \frac{\log 2N(\mu,\varepsilon_i)}{-\log\varepsilon_i}=b. $$ Для доказательства обратного неравенства $\underline{D}_I(\mu_{bc})\geq b$ достаточно дословно повторить рассуждения, проведенные при доказательстве неравенства $\underline{D}_I(\mu)\geq \dim_BX/(p+1)$ для меры $\mu$, с заменой $\mu$ на $\mu_{bc}$. \qed \Refs \ref\no 1 \by Graf~S., Luschgy~H. \book Foundations of quantization for probability distributions \publaddr Berlin; Heidel\-berg \publ Springer-Verl. \yr 2000 \endref \ref\no 2 \by Иванов~А.~В. \paper О размерности квантования вероятностных мер \jour Мат. сб. \yr 2024 \vol 215 \issue 8 \pages 41--51 \endref \ref\no 3 \by Литвинов~Г.~Л., Маслов~В.~П., Шпиз~Г.~Б. \paper Идемпотентный функциональный анализ. Алгебраический подход \jour Мат. заметки \yr 2001 \vol 69 \issue 5 \pages 758--797 \endref \ref\no 4 \by Заричный~М.~М. \paper Пространства и отображения идемпотентных мер \jour Изв. РАН. Сер. мат. \yr 2010 \vol 74 \issue 3 \pages 45--64 \endref \ref\no 5 \by Щепин Е. В. \paper Функторы и несчетные степени компактов \jour Успехи мат. наук \yr 1981 \vol 36 \issue 3 \pages 3--62 \endref \ref\no 6 \by Bazylevych~L., Repovs~D., Zarichnyi~M. \paper Spaces of idempotent measures of compact metric spaces \jour Topology Appl. \yr 2010 \vol 157 \issue 1 \pages 136--144 \endref \mref{\bf7.} {\sl Ivanov~A.~V.} On quantization dimensions of idempotent probability measures~// Topology Appl. 2022. V.~306. 107931. \endmref \mref{\bf8.} {\sl Ivanov~A.~V. } On metrization of the idempotent measures functor and quantization dimensions~// Topology Appl. 2023. V.~329. 108362. \endmref \ref\no 9 \by Федорчук~В.~В. \paper Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов \jour Изв. АН СССР. Сер. мат. \yr 1990 \vol 54 \issue 2 \pages 396--417 \endref \ref\no 10 \by Иванов~А.~В. \paper О промежуточных значениях размерностей квантования идемпотентных мер \jour Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН \yr 2024 \vol 30 \issue 3 \pages 139--148 \endref \ref\no 11 \by Akian~M. \paper Densities of idempotent measures and large deviations \jour Trans. Am. Math. Soc. \yr 1999 \vol 351 \issue 11 \pages 4515--4543 \endref \ref\no 12 \by Песин~Я.~Б. \book Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения \publaddr М.; Ижевск \publ Ин-т компьютерных исследований \yr 2013 \endref \ref\no 13 \by Иванов~А.~В. \paper О промежуточных значениях емкостных размерностей \jour Сиб. мат. журн. \yr 2023 \vol 64 \issue 3 \pages 540--545 \endref \endRefs \enddocument