\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Shaporina \Initial E. \Initial A. \Gender she \ORCID 0009-0003-3039-2842 \Email grambergea\@gmail.com \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Sobolev Institute of Mathematics \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted June 3, 2025\enddatesubmitted \daterevised January 24, 2026\enddaterevised \dateaccepted February 14, 2026\enddateaccepted \UDclass 512.54 \endUDclass \thanks Работа выполнена за счет гранта РНФ 24--11--00119. %The work was supported by the Russian Science Foundation (project 24--11--00119, \Url*{https://rscf.ru/project/24-11-00119/}). \endthanks \title Структура и~автоморфизмы некоторых циклических расширений свободных групп \endtitle \abstract Рассматриваются группы торических узлов, которые задаются двумя образующими и соотношением между ними. Для любой пары взаимно простых чисел показано, как представить такую группу в виде циклического расширения некоторой свободной группы. Это достигается путем поиска порождающего множества для свободной группы и поиска нужного автоморфизма. Полученный результат позволяет изучать автоморфизмы таких циклических расширений через изучение автоморфизмов групп торических узлов. %In this paper, we consider groups of toric nodes that are defined by %two generators and the relation between them. For any pair of mutually %prime numbers, we will show how to represent such a group as a cyclic %extension of some free group. This is achieved by searching for a %generating set for a free group and finding the desired automorphism. %The obtained result makes it possible to study automorphisms of such %cyclic extensions through the study of automorphisms of groups of toric knots. \endabstract \keywords свободная группа, расщепляемое циклическое расширение, группа внешних автоморфизмов, группа торического узла %free group, %split cyclic extension, %group of exterior automorphisms, %group of toric knot \endkeywords \endtopmatter \input epsf \input gutable \head 1. Введение \endhead Всюду в работе будем считать, что $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$. {\it Циклическим расширением\/} свободной группы ранга $n$ с помощью автоморфизма $\varphi$ называется группа $F_n \rtimes_\varphi {\Bbb Z} \cong\langle F_n, t \mid tgt^{-1} = \varphi(g) \rangle$, где $\varphi \in \operatorname{Aut}(F_n) $~--- автоморфизм свободной группы, задающий это расширение. Рассмотрим далее два циклических расширения с помощью автоморфизмов $\varphi$, $\psi. $ Обозначим через $\widehat{a} $ сопряжение с помощью $a$; $\widehat{a}$ действует по правилу $ g^a = aga^{-1}$. Если $$ \varphi = \widehat{a} \circ \psi , \quad a \in F_n, $$ то соответствующие им циклические расширения $$ M_\varphi = \langle F_n, t \mid tgt^{-1} = \varphi(g) \rangle, \quad M_\psi = \langle F_n, s \mid sgs^{-1} = \psi(g) \rangle $$ связаны следующим образом: $$ M_\varphi = \langle F_n, t \mid tgt^{-1} = \varphi(g) \rangle =\langle F_n, t \mid tgt^{-1} = (\widehat{a} \circ \psi)(g)\rangle = \langle F_n, t \mid a^{-1}tgt^{-1}a = \psi(g)) \rangle. $$ Значит, отображение $\theta: M_\varphi \rightarrow M_\psi$, тождественное на $F_n$ и отправляющее $t$ в $as$, продолжается до изоморфизма групп. Поэтому можно рассматривать циклическое расширение свободной группы с помощью внешнего автоморфизма, определение которого, дано, например, в работе [1]: \demo{Definition 1} Пусть $F_n$~--- свободная группа ранга $n$, $\Phi \in \operatorname{Out}(F_n)$. {\it Циклическим расширением\/} свободной группы ранга $n$ с помощью внешнего автоморфизма $\Phi$ называется группа $$ M_\Phi = F_n \rtimes_\Phi {\Bbb Z} = \langle F_n, t \mid tgt^{-1} = \xi(g) \rangle, $$ где $\xi \in \operatorname{Aut}(F_n)$~--- произвольный представитель $\Phi$. \enddemo Циклические расширения свободных групп, также известные как {\it mapping tori}, представляют собой классический объект в геометрической и комбинаторной теории групп. Эти группы имеют вид $M_\varphi = F_n \rtimes_{\varphi} {\Bbb Z}$ и используются для построения и изучения новых групп из заданной свободной. Исследования mapping tori развиваются в нескольких основных направлениях. С геометрической точки зрения важнейшие результаты получили Бествина и Фейн [2]. Они изучали циклические расширения свободных групп с точки зрения кривизны. В работе Бринкман [3] доказано, что автоморфизм $\varphi$ свободной группы $F_n$ является гиперболическим в смысле Громова, если он не имеет нетривиальных периодических классов сопряженности. Алгебраические свойства mapping tori исследовались в целой серии работ. Например, Бринкман [4] изучил необходимые и достаточные условия существования расщепления над ${\Bbb Z}$ для циклического расширения $M_{\varphi} = F_n \rtimes_{\varphi} {\Bbb Z}$ автоморфизмом $\varphi$ свободной группы. Пусть $\varphi$ имеет полиномиальный рост. В работе [5] определяется, какие эпиморфизмы из циклического расширения на ${\Bbb Z}$ имеют конечно порожденное ядро, и вычисляется ранг ядра. Таким образом, авторы решают существенную задачу по описанию всех возможных способов представления $M_\varphi$ в виде циклического расширения с помощью произвольного автоморфизма свободной группы. Это аналогично случаю групп трехмерных многообразий и отличается от случая циклического расширения с помощью автоморфизма экспоненциального роста. Обзор современных результатов, касающихся mapping tori, можно найти в работе И.~Каповича [6], где для широкого класса эндоморфизмов конечно порожденных свободных групп доказывается, что их циклические расширения являются гиперболическими тогда и только тогда, когда они не содержат подгрупп Баумслага~--- Солитера. Изучение групп автоморфизмов циклических расширений является сложной и актуальной задачей. Одним из первых шагов в этом направлении стала работа [7], в которой было начато систематическое исследование группы внешних автоморфизмов $\operatorname{Out}(M_{\varphi})$. В частности, в теореме~1.1 из [7] получено описание групп $\operatorname{Out}(M_{\varphi})$ для всех циклических расширений свободной группы ранга~2 в зависимости от вида матрицы $\varphi^{ab} \in GL_2({\Bbb Z})$. Методы, разработанные в [7], оказались применимы и для групп более высокого ранга. Так, в 2021~г. [8] они были частично адаптированы для поиска копредставления группы внешних автоморфизмов группы Герстена $$ H = {\Bbb F}_3 \rtimes {\Bbb Z} = \langle a, b, c, t \mid a^t = a, b^t = ba, c^t = ca^2 \rangle, $$ и было показано, что $\operatorname{Out}(H) \cong ({\Bbb F}_3 \times {\Bbb Z}^3) \rtimes ({\Bbb Z}_2 \times {\Bbb Z}_2)$. В 2024 г. [9] была изучена серия циклических расширений свободной группы ранга три $$ G_k = {\Bbb F}_3 \rtimes {\Bbb Z} = \langle a, b, c, t \mid a^t = a, b^t = ba^k, c^t = c \rangle, \quad k \neq 0, $$ и получено описание группы $\operatorname{Out}(G_k)$. В настоящей работе для изучения группы внешних автоморфизмов циклического расширения свободной группы задействован новый подход. \demo{Definition 2} {\it Обобщенной группой Баумслага~--- Солитера\/} (или {\it GBS-группой}) называется конечно порожденная группа, которая действует на дереве так, что все стабилизаторы вершин и ребер ~--- бесконечные циклические группы. \enddemo %\? По теореме Басса~--- Серра (см., например, [10,\,11]) такая группа представляется в виде фундаментальной группы графа групп. Вместо изучения автоморфизмов $M_\Phi$ напрямую мы пользуемся результатом Левитта [1] о том, что всякому циклическому расширению свободной группы с помощью внешнего автоморфизма конечного порядка можно поставить в соответствие GBS-группу с нетривиальным центром (автоморфизмы которой изучались, например, в работе [12]). В статье рассмотрена конкретная бесконечная серия GBS-групп ~--- серия групп торических узлов для взаимно простых $p$ и $q$ (\Fig*{Fig.~1}) $$ T_{p,q} = \langle a,b \mid a^p = b^q \rangle, \quad p > q > 1. $$ \Figure \name{Fig.~1} \caption{Граф групп для $T_{p,q}$} \body \iftex \epsfxsize25mm \epsfbox{4977.ams+fig1.eps} \else \file{4977.ams+fig1.png} \fi \endbody \endFigure Основные результаты статьи формулируются в следующих теоремах. \proclaim{Theorem 1} Пусть $T_{p,q} = \langle a,b \mid a^p = b^q \rangle$, где $p$ и $q$ взаимно просты, \hbox{$p > q > 1$} --- группа торического узла. Тогда $$ T_{p,q} \cong {\Bbb F}_n \rtimes_{\Phi} {\Bbb Z} \cong \langle {\Bbb F}_n, t \mid tgt^{-1} = \xi(g) \rangle, $$ где $n = (p-1)(q-1)$, ${\Bbb F}_{n} = {\Bbb F}(k_{ij})$ при $0 < i < q$, $0 < j < p$, а $\xi \in \operatorname{Aut}({\Bbb F}_n)$ определяет $\Phi \in \operatorname{Out}({\Bbb F}_n)$ и может быть задан на порождающих следующим образом. {\sc Случай 1.} При $1 \le i < p - 1$, $1 \le j < q - 1$ $$ \xi: k_{ij} \mapsto k_{11}k^{-1}_{(i+1)1}k_{(i+1)(j+1)}k^{- 1}_{1(j+1)}. $$ {\sc Случай 2.} При $i = p - 1$, $1 \le j < q - 1$ $$ \xi: k_{(p-1)j} \mapsto k_{11}k^{-1}_{1(j+1)}. $$ {\sc Случай 3.} При $j = q - 1$, $1 \le i < p - 1$ $$ \xi: k_{i(q-1)} \mapsto k_{11}k_{(i+1)1}^{-1}. $$ {\sc Случай 4.} При $i = p - 1, \ j = q - 1$ $$ \xi: k_{(p-1)(q-1)} \mapsto k_{11}. $$ \endproclaim В работе [12] (теорема $C$) доказано, что группа внешних автоморфизмов группы торического узла изоморфна циклической группе порядка~2. Это доказывает следующую теорему. \proclaim{Theorem 2} Пусть $n$ и $\Phi$ заданы, как в \Par*{Theorem {\rm1}}. Тогда $$ \operatorname{Out}(F_n \rtimes_{\Phi} {\Bbb Z}) \cong {\Bbb Z}_2. $$ \endproclaim \head 2. Основной результат \endhead В 2015 г. Левитт [1] доказал следующий результат. \proclaim{Proposition 1 \rm [4, Proposition 4.1]} %\?Утверждение 1 \rm [4, утверждение 4.1]} Пусть $G $~--- группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны. \Item (1) $G$ ~--- {\rm GBS}-группа с нетривиальным центром. \Item (2) Существуют $n \in {\Bbb N}$, $\Phi \in \operatorname{Out}(F_n)$ конечного порядка такие, что $G \cong M_\Phi$. \endproclaim Для дальнейших рассуждений отметим следующий факт (лемма 2.4 в [13]): $Z(T_{p,q}) = \langle a^p \rangle$. Ввиду того, что $Z(T_{p,q}) = \langle a^p \rangle$, утверждение~1 применимо к $T_{p,q}$. Но из текста работы [1] неясно, как именно искать $n$ и $\Phi$ для данной GBS группы с центром. Проделаем это для $T_{p,q}$. Рассмотрим фактор-группу $ T_{p,q}/Z(T_{p,q})$. Известно (см. утверждение~3.28 в [14]), что $$ T_{p,q}/Z(T_{p,q}) \cong {\Bbb Z}_p * {\Bbb Z}_q. $$ Далее построим эпиморфизм $\delta : {\Bbb Z}_p * {\Bbb Z}_q \longrightarrow {\Bbb Z}_p \times {\Bbb Z}_q$. Подробнее о таком эпиморфизме можно посмотреть в [15, Chapter~4, Section~4.1]. Если $\langle a\rangle = {\Bbb Z}_p$, $\langle b\rangle = {\Bbb Z}_q$, то известен следующий факт (подробнее можно посмотреть, например, в [15, Chapter~4, the end of Section~4.1]: %\?[15, Chapter~4, окончание разд.~4.1]: $$ \operatorname{ker}(\delta) \cong[{\Bbb Z}_p*{\Bbb Z}_q,{\Bbb Z}_p*{\Bbb Z}_q] \cong \langle [a^i,b^j], \ 0