\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Kirakosyan \Initial V. \Initial V. \Gender he \ORCID 0009-0005-7393-890X \Email vazgen.kirakosyan\@gmail.com \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 %\Division Faculty of Mechanics and Mathematics \Organization Lomonosov Moscow State University \City Moscow \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted February 18, 2026\enddatesubmitted %\daterevised February 18, 2026\enddaterevised \dateaccepted March 10, 2026\enddateaccepted \UDclass 512.54+512.552 \endUDclass \title Автоморфизмы групп Шевалле типа~${\bold G}_2$ над~локальными кольцами с~необратимой тройкой \endtitle \abstract Доказано, что каждый автоморфизм группы Шевалле типа ${\bold G}_2$ над коммутативным локальным кольцом с необратимой тройкой стандартен, т.~е. является композицией кольцевого, диаграммного и внутреннего автоморфизмов. %In this paper we prove that every automorphism of a Chevalley group of type ${\bold G}_2$ %over a commutative local ring without $1/3$ is standard; that is, it is a composition of %a ring automorphism, a graph automorphism, and an inner automorphism. \endabstract \keywords группа Шевалле, автоморфизм, локальное кольцо %Chevalley group, %automorphism, %local ring \endkeywords \endtopmatter \input epsf \input gutable \head Введение \endhead Цель данной работы~--- доказать, что каждый автоморфизм группы Шевалле типа ${\bold G}_2$ над коммутативным локальным кольцом с необратимой тройкой стандартен, т.~е. является композицией кольцевого, диаграммного и внутреннего автоморфизмов. В работе мы следуем статьям Е.И.~Буниной, в первую очередь статьям [1--3], в которых доказан аналогичный результат для других групп Шевалле. Для системы корней типа ${\bold G}_2$ существует лишь одна решетка весов, которая является одновременно универсальной и присоединенной, поэтому для каждого кольца $R$ существует единственная группа Шевалле типа ${\bold G}_2$~--- это $G(R) = G_{\operatorname{ad}}({\bold G}_2, R)$. Более того, над локальными кольцами универсальные группы Шевалле совпадают со своими элементарными подгруппами, поэтому рассматриваемая группа Шевалле одновременно является элементарной (т.~е. нам известны образующие и соотношения в ней). Подобные результаты для групп Шевалле над полями были доказаны Стейнбергом [4] для конечного случая и Хамфри [5] для бесконечного. Описанию автоморфизмов групп Шевалле над различными коммутативными кольцами были посвящены работы многих авторов, среди которых стоит отметить работы Бореля и Титса [6], Картера и Чена [7], Чена [8--12], Абе [13], А.А.~Клячко~[14]. Аналог \Par*{Theorem 2} для систем корней типов $\bold A_\ell$, $\bold D_\ell$ и $\bold E_\ell$ был получен Е.И.~Буниной в [15], в работе [16] полностью описаны автоморфизмы групп Шевалле данных типов над локальными кольцами с $1/2$. Подобная теорема для локальных колец без $1/2$ была доказана в [1]. Для систем корней типов $\bold B_2$ и ${\bold G}_2$ она получена в [17], однако в этой работе для системы корней типа ${\bold G}_2$ предполагаются обратимыми двойка и тройка в кольце. В статьях [2,\,3] данный результат доказывается для системы корней типа ${\bold G}_2$ уже без требования обратимости двойки. В [18] Е.И.~Буниной была доказана аналогичная теорема для системы корней типа $\bold F_4$ при условии обратимости двойки. В [19] все предыдущие результаты с помощью метода локализации обобщены для случая присоединенных групп на произвольные коммутативные кольца (с соответствующими условиями обратимости двойки или тройки). Для системы корней типа ${\bold G}_2$ в случае локального кольца от требования обратимости тройки также удается отказаться, этому и посвящена данная работа. \head 1. Определения и~формулировки основных теорем \endhead \demo{Definition 1} Подмножество $\Phi$ евклидова пространства ${\Bbb E}$ называется {\it системой корней\/} в ${\Bbb E}$, если выполнены следующие условия: \Item (a) %{1)} множество $\Phi$ конечно, порождает ${\Bbb E}$ и не содержит $0$; \Item (b) %{2)} если $\alpha \in \Phi$, то из кратных корня $\alpha$ в $\Phi$ содержатся только $\pm \alpha$; \Item (c) %{3)} если $\alpha \in \Phi$, то {\it отражение\/} $w_\alpha$ относительно гиперплоскости, ортогональной $\alpha$, выражаемое формулой $$w_\alpha \beta = \beta - \frac{2(\beta, \alpha)}{(\alpha, \alpha)}\alpha, $$ сохраняет множество $\Phi$ инвариантным; коэффициенты, участвующие в формуле, обозначаются через $$ \langle \beta, \alpha \rangle = \frac{2(\beta, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} $$ и называются {\it числами Картана}; \Item (d) %{4)} если $\alpha, \beta \in \Phi$, то $\langle \beta, \alpha \rangle \in {\Bbb Z}$. \enddemo \demo{Definition 2} Подмножество $\Delta$ в $\Phi$ называется {\it базисом\/} (а входящие в него корни {\it простыми}), если \Item (a) %{1)} $\Delta$ является базисом в ${\Bbb E}$; \Item (b) %{2)} каждый корень $\beta \in \Phi$ представляется в виде $$ \beta = \sum_{\alpha \in \Delta}k_\alpha \alpha, $$ где коэффициенты $k_\alpha$ целые и все одновременно неотрицательные или неположительные. Если все коэффициенты $k_\alpha$ неотрицательны (соответственно все $k_\alpha$ неположительны), то корень $\beta$ называется {\it положительным\/} (соответственно {\it отрицательным}). \enddemo \demo{Definition 3} Подгруппа (конечная) $W$ в $\operatorname{GL}({\Bbb E})$, порожденная всеми отражениями $w_\alpha$, $\alpha \in \Phi$, называется {\it группой Вейля\/} системы корней $\Phi$. Группа Вейля играет исключительно важную роль в изучении систем корней. Среди свойств группы Вейля выделим два важных свойства, которые в дальнейшем будем использовать: группа Вейля в действительности порождается лишь простыми отражениями $w_\alpha$, $\alpha \in \Delta$, и она транзитивно действует на множестве всех корней одной длины. \enddemo %\? Подробные сведения о системах корней, их типах и свойствах можно найти, например, в [20,\,21]. Зафиксируем неприводимую систему корней $\Phi$, имеющую тип $\bold G_2$. Данная система корней имеет ранг 2, состоит из 6 положительных и 6 отрицательных корней, и в ней встречаются корни двух различных длин. Пусть $\{ e_1, e_2, e_3 \}$~--- стандартный ортонормированный базис пространства ${\Bbb R}^3$. Пронумеруем положительные корни системы ${\bold G}_2$ следующим образом (первые два корня являются простыми): $$ \align \alpha_1 &= -2e_1 + e_2 + e_3,\\ \alpha_2 &= e_1 - e_2;\\ %&&\\ \alpha_3 &= \alpha_1 + \alpha_2 = -e_1 + e_3,\\ \alpha_4 &= \alpha_1 + 2\alpha_2 = -e_2 + e_3,\\ \alpha_5 &= \alpha_1 + 3\alpha_2 = e_1 - 2e_2 + e_3,\\ \alpha_6 &= 2\alpha_1 + 3\alpha_2 = -e_1 - e_2 + 2e_3. \endalign $$ Рассмотрим комплексную простую алгебру Ли ${\Cal L}$ типа $\bold G_2$ с картановской подалгеброй ${\Cal H}$ (подробную информацию о полупростых алгебрах Ли, включая их классификацию и связь с системами корней, можно найти в [21]). В алгебре Ли ${\Cal L}$ можно выбрать {\it базис Шевалле\/} $$ \{ x_\alpha \mid \alpha \in \Phi;\ h_i \mid 1 \leq i \leq 2 \} $$ таким образом, что для любых двух элементов этого базиса их коммутатор является целочисленной линейной комбинацией элементов этого же базиса, а именно: \Item (a) %{1)} $[h_i, h_j] = 0,\ 1 \leq i, j \leq 2$; \Item (b) %{2)} $[h_i, x_\alpha] = \langle \alpha, \alpha_i \rangle x_\alpha,\ 1 \leq i \leq 2,\ \alpha \in \Phi$; \Item (c) %{3)} $[x_\alpha, x_{-\alpha}] = h_\alpha$ является целочисленной линейной комбинацией векторов $h_1, h_2$; \Item (d) %{4)} если $\alpha, \beta$~--- линейно независимые корни и $\alpha + \beta\notin \Phi$, то $[x_\alpha, x_\beta] = 0$; \Item (e) %{5)} если $\alpha + \beta \in \Phi$, то $[x_\alpha, x_\beta] = N_{\alpha\beta}x_{\alpha + \beta}$, причем $N_{\alpha\beta} = \pm(r + 1)$, где $r$~--- максимальное целое число, для которого $\beta - r\alpha \in \Phi$; существуют алгоритмы согласованного выбора знаков всех констант $N_{\alpha\beta}$ (подробнее см. в приложении). \demo{Definition 4} Если $x \in {\Cal L}$, то отображение $$ \operatorname{ad}x \colon {\Cal L} \to {\Cal L}, \quad \operatorname{ad}x(y) = [x, y] $$ является эндоморфизмом пространства ${\Cal L}$ и, более того, (внутренним) дифференцированием алгебры Ли ${\Cal L}$. Отображение $$ \operatorname{ad} \colon {\Cal L} \to {\goth{gl}}({\Cal L}),\quad \operatorname{ad}(x) = \operatorname{ad}x $$ является гомоморфизмом алгебр Ли и называется {\it присоединенным представлением\/} алгебры Ли ${\Cal L}$. \enddemo \demo{Remark 1} Присоединенное представление полупростой алгебры Ли является {\it точным\/} (инъективным), так как его ядро совпадает с центром алгебры Ли, который, разумеется, является абелевым идеалом и поэтому тривиален. \enddemo Введем обозначения для образов элементов базиса Шевалле при присоединенном представлении: $$ X_\alpha = \operatorname{ad}x_\alpha; \quad H_i = \operatorname{ad}h_i. $$ \demo{Definition 5} Ассоциативное кольцо $R$ с единицей называется {\it локальным}, если оно имеет единственный максимальный идеал (совпадающий с радикалом этого кольца). Это равносильно тому, что необратимые элементы кольца $R$ образуют идеал. \enddemo \demo{Remark 2} Будем описывать автоморфизмы групп Шевалле типа ${\bold G}_2$ над коммутативными локальными кольцами с необратимой тройкой и активно пользоваться тем фактом, что в этом случае двойка обратима, так как иначе в силу локальности кольца и равенства $3 - 2 = 1$ единица была бы необратима, что неверно. \enddemo Возьмем произвольное коммутативное локальное кольцо и построим элементарную присоединенную группу Шевалле типа ${\bold G}_2$ над этим кольцом (см. [22]). Для удобства кратко воспроизведем построение здесь (см. также приложение). В базисе Шевалле алгебры Ли ${\Cal L}$ все операторы $X_\alpha^k / k!$ для $\alpha \in \Phi$ и $k \in {\Bbb N}$ записываются целочисленными (нильпотентными) матрицами. Целочисленная матрица может рассматриваться как матрица над произвольным коммутативным кольцом $R$ с единицей, т.~е. рассмотрим матрицы размера $n \times n$ над $R$ (в нашем случае $n = \dim{\Cal L} = 14$), и указанные матрицы $X_\alpha^k / k!$ при $\alpha \in \Phi$, $k \in {\Bbb N}$ вложим в $\operatorname{M}_n(R)$. Теперь рассмотрим автоморфизмы свободного модуля $R^n$ вида $$ x_\alpha(t) = \exp(tX_\alpha) = 1 + tX_\alpha + \frac{t^2 X_\alpha^2}{2!} + \dots + \frac{t^k X_\alpha^k}{k!} + \cdots,\quad \alpha \in \Phi,\ t \in R. $$ Так как все матрицы $X_\alpha$ нильпотентны, такой ряд всегда конечен. Очевидно, что для таких экспонент выполнено следующее простое, но важное соотношение: $$ x_\alpha(t)x_\alpha(u) = x_\alpha(t + u). \eqno(1) $$ \demo{Definition 6} Автоморфизмы $x_\alpha(t)$ называются {\it элементарными корневыми элементами}. \enddemo \demo{Definition 7} Подгруппа в $\operatorname{Aut}(R^n)$, порожденная всеми автоморфизмами $x_\alpha(t)$, $\alpha \in \Phi$, $t \in R$, называется {\it элементарной присоединенной группой Шевалле\/} и обозначается через $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$. \enddemo \demo{Definition 8} В элементарной группе Шевалле определим также следующие важные элементы: \Item $\smallbullet$ $w_\alpha(t) = x_\alpha(t)x_{-\alpha}(-t^{-1})x_\alpha(t)$, $\alpha \in \Phi$, $t \in R^*$; $\omega_\alpha = w_\alpha(1)$; \Item $\smallbullet$ $h_\alpha(t) = w_\alpha(t)w_\alpha(1)^{-1}$, $\alpha \in \Phi$, $t \in R^*$. \enddemo Как отмечено вo введении, над локальными кольцами для системы корней типа ${\bold G}_2$ группа Шевалле $G(R) = G_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$ совпадает со своей элементарной подгруппой $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$, поэтому в данной работе мы не будем вводить группы Шевалле в общем смысле. Определим стандартные автоморфизмы (элементарной) группы Шевалле $G(R)$ и еще один дополнительный тип автоморфизмов. \demo{Definition 9} Пусть $\rho \colon R \to R$~--- автоморфизм кольца $R$. Oтображение $(a_{ij}) \mapsto (\rho(a_{ij}))$ является автоморфизмом группы $G(R)$, который обозначается той же буквой $\rho$ и называется {\it кольцевым автоморфизмом\/} группы $G(R)$. Заметим, что для всех $\alpha \in \Phi$, $t \in R$ элемент $x_\alpha(t)$ отображается в~$x_\alpha(\rho(t))$. \enddemo \demo{Definition 10} Предположим, что $R$~--- совершенное кольцо характеристики 3, т.~е. $3 = 0$ и эндоморфизм Фробениуса $F(t) = t^3$ является автоморфизмом $R$. Для каждого корня $\alpha \in \Phi$ положим $\lambda(\alpha) = 1$, если $\alpha$~--- длинный корень, и $\lambda(\alpha) = 3$, если $\alpha$~--- короткий корень. Пусть $\delta \colon \Phi \to \Phi$~--- перестановка системы корней типа ${\bold G}_2$, которая переставляет длинные корни с короткими таким образом, что отображение $\alpha \mapsto \lambda(\alpha)\delta(\alpha)$ является изоморфизмом систем корней; такая $\delta$ определена однозначно, при этом $\delta^2 = 1$ и $\delta$ действует на множестве простых корней следующим образом: $\alpha_1 \leftrightarrow \alpha_2$. Тогда знаки структурных констант $N_{\alpha\beta}$ могут быть выбраны таким образом, что отображение $$ x_\alpha(t) \mapsto x_{\delta(\alpha)}(t^{\lambda(\alpha)}),\quad \alpha \in \Phi,\ t \in R, $$ однозначно определяет автоморфизм группы $G(R)$, который обозначается той же буквой $\delta$ и называется {\it диаграммным {\rm (}графовым{\rm )} автоморфизмом\/} группы $G(R)$ (см. [22,\,23]): \Figure %\name{}\caption{} \body \iftex \epsfxsize45mm \epsfbox{4984.ams+fig1.eps} \else \file{4984.ams+fig1.png} \fi \endbody \endFigure \enddemo \demo{Remark 3} Очевидно, кольцевой и диаграммный автоморфизмы коммутируют между собой. \enddemo \demo{Definition 11} Пусть $g \in G(R)$. Сопряжение группы $G(R)$ с помощью элемента $g$ является автоморфизмом группы $G(R)$, который обозначается через $i_g$ и называется {\it внутренним автоморфизмом\/} группы $G(R)$. \enddemo %\? Эти три типа автоморфизмов называются {\it стандартными}. К~стандартным также относятся {\it центральные\/} автоморфизмы, однако в~рассматриваемом нами случае системы корней типа ${\bold G}_2$ таких нетривиальных нет, поэтому будем говорить, что автоморфизм группы $G(R)$ {\it стандартен}, если он является композицией трех введенных типов автоморфизмов. Кроме того, нам понадобится еще один дополнительный тип автоморфизмов. \demo{Definition 12} Пусть $V$~--- пространство представления группы $G(R)$, $C \in \operatorname{GL}(V)$~--- матрица, нормализующая группу $G(R)$: $$C G(R) C^{-1} = G(R). $$ Тогда отображение $x \mapsto CxC^{-1}$ является автоморфизмом группы $G(R)$, который обозначается через $i_C$ и называется {\it автоморфизмом-сопряжением\/} группы $G(R)$, {\it индуцированным элементом $C$}. \enddemo Главная наша цель~--- доказательство следующей основной теоремы. \proclaim{Theorem 1} Пусть $G(R) = E_{\operatorname{ad}}(\bold G_2, R)$ ~--- группа Шевалле типа ${\bold G}_2$, $R$~--- коммутативное локальное кольцо с необратимой тройкой. Тогда любой автоморфизм группы $G(R)$ стандартен. \endproclaim Основная теорема будет сразу следовать из двух теорем. \proclaim{Theorem 2} Каждый автоморфизм $\varphi$ группы Шевалле типа ${\bold G}_2$ над локальным кольцом с необратимой тройкой является композицией кольцевого автоморфизма, диаграммного автоморфизма и автоморфизма-сопряжения. \endproclaim \proclaim{Theorem 3} Каждый автоморфизм-сопряжение группы Шевалле типа ${\bold G}_2$ над локальным кольцом с необратимой тройкой является внутренним {\rm (}т.~е. сопряжением с помощью элемента данной группы Шевалле{\rm ).} \endproclaim \Sec{Section 2}{Sections 2}--\Sec{Section 6}{6} посвящены доказательству \Par*{Theorem 2}. \Sec*{Section 7} посвящен доказательству \Par*{Theorem~3}. \head 2. Замена исходного автоморфизма изоморфизмом специального вида \endhead В данном разделе используются некоторые соображения, взятые из работы [24] и присутствующие также в предыдущих подобных работах, упоминавшихся выше (в частности, [1,\,2]). Пусть $J$~--- максимальный идеал (радикал) кольца $R$, $3 \in J$, $k$~--- поле вычетов $R/J$ характеристики 3, $E_J = E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R, J)$~--- нормальная подгруппа в группе Шевалле $G(R) = E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$, порожденная всеми элементами $x_\alpha(t)$ для $\alpha \in \Phi$, $t \in J$. Тогда $E_J$~--- наибольшая нормальная собственная подгруппа в $G(R)$ (см. [25--27]). Следовательно, подгруппа $E_J$ инвариантна относительно действия автоморфизма $\varphi$. Таким образом, автоморфизм $$ \varphi \colon E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) \to E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) $$ индуцирует автоморфизм $$ \overline{\varphi} \colon E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)/E_J = E_{\operatorname{ad}}(\Phi, k) \to E_{\operatorname{ad}}(\Phi, k). $$ Группа $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, k)$ является присоединенной группой Шевалле над полем, значит, автоморфизм $\overline{\varphi}$ стандартен (см. [22]), т.~е. имеет вид $$ \overline{\varphi} = i_{\overline{g}} \overline{\delta}^\varepsilon \overline{\rho}, $$ где $\overline{g} \in N(E_{\operatorname{ad}}(\Phi, k))$, $\overline{\delta}$~--- диаграммный автоморфизм и $\varepsilon \in \{0, 1\}$, $\overline{\rho}$~--- полевой автоморфизм, индуцированный некоторым автоморфизмом поля $k$. Ясно, что существует матрица $g \in \operatorname{GL}_n(R)$, образ которой при факторизации $R$ по $J$ совпадает с $\overline{g}$. При этом отметим, что мы не можем быть уверены в том, что $g \in N(E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R))$. Рассмотрим отображение $$ \varphi' = i_{g^{-1}} \varphi. $$ Это изоморфизм группы $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) \subset \operatorname{GL}_n(R)$ на некоторую подгруппу $\operatorname{GL}_n(R)$, причем при факторизации $R$ по $J$ он переходит в точности в автоморфизм $\overline{\delta}^\varepsilon \overline{\rho}$. До конца этого раздела временно предположим, что диаграммного автоморфизма $\overline{\delta}$ нет в композиции, т.~е. $\varepsilon = 0$ и изоморфизм $\varphi'$ при факторизации по $J$ переходит в автоморфизм $\overline{\rho}$. Тогда проведенные рассуждения доказывают следующее утверждение. \proclaim{Proposition 1} Любая матрица $A \in E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$ с элементами из подкольца $R_1$ в $R$, порожденного единицей, отображается при изоморфизме $\varphi'$ в матрицу из множества $$ A \cdot \operatorname{GL}_n(R, J) = \{ B \in \operatorname{GL}_n(R) \mid A - B \in \operatorname{M}_n(J) \} $$ {\rm (}иными словами, ее образ является сдвигом исходной матрицы на некоторую матрицу с элементами из радикала $J${\rm ).} \endproclaim Пусть $a \in E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$, $a^2 = 1$. Тогда элемент $$ e = \frac{1}{2}(1 + a) $$ является идемпотентом в кольце $\operatorname{M}_n(R)$: $$ e^2 = \frac{1}{4}(1 + 2a + a^2) = \frac{1}{4}(2 + 2a) = e. $$ Этот идемпотент определяет разложение свободного $R$-модуля $V \cong R^n$: $$V = eV \oplus (1 - e)V = V_0 \oplus V_1$$ (модули $V_0$ и $V_1$ свободны, так как любой проективный модуль над локальным кольцом свободен [28]). Пусть $\overline{V} = \overline{V}_0 \oplus \overline{V}_1$~--- соответствующее разложение $k$-модуля (линейного пространства) $\overline{V} \cong k^n$ относительно $\overline{a}$ и $$\overline{e} = \frac{1}{2}(1 + \overline{a}). $$ \proclaim{Proposition 2} Модули {\rm (}подпространства{\rm )} $\overline{V}_0$ и $\overline{V}_1$ являются образами модулей $V_0$ и $V_1$ при факторизации по $J$. \endproclaim \demo{Proof} Обозначим образы модулей $V_0$ и $V_1$ при факторизации по $J$ через $\widetilde{V}_0$ и $\widetilde{V}_1$ соответственно. Так как $$ V_0 = \{ x \in V \mid ex = x \},\quad V_1 = \{ x \in V \mid ex = 0 \}, $$ то $$ \overline{e}(\overline{x}) = \frac{1}{2}(1 + \overline{a})(\overline{x}) = \frac{1}{2}(1 + \overline{a}(\overline{x})) = \frac{1}{2}(1 + \overline{a(x)}) = \overline{e(x)}. $$ Тогда $\widetilde{V}_0 \subset \overline{V}_0$, $\widetilde{V}_1 \subset \overline{V}_1$. Пусть $x = x_0 + x_1$, $x_0 \in V_0$, $x_1 \in V_1$. Тогда $\overline{e}(\overline{x}) = \overline{e}(\overline{x}_0) + \overline{e}(\overline{x}_1) = \overline{x}_0$. Если $\overline{x} \in \widetilde{V}_0$, то $\overline{x} = \overline{x}_0$. \qed\enddemo Пусть теперь для матрицы $a$ с целыми элементами $b = \varphi'(a)$. Тогда $b^2 = 1$ и согласно \Par*{Proposition~1} $b$ сравнима с $a$ по модулю радикала $J$. \proclaim{Proposition 3} Предположим, что $a, b \in E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$, $a^2 = b^2 = 1$, $a$~--- матрица с элементами из подкольца $R_1$ в $R$, порожденного единицей, $b$ и $a$ сравнимы по модулю радикала $J$, $V = V_0 \oplus V_1$~--- разложение $V$ относительно $a$, $V = V'_0 \oplus V'_1$~--- разложение $V$ относительно $b$. Тогда $\dim V'_0 = \dim V_0$, $\dim V'_1 = \dim V_1$. \endproclaim \demo{Proof} Имеем $R$-базис $\{ e_1, \dots, e_n \}$ модуля $V$ такой, что $$ \{ e_1,\dots, e_k \} \subset V_0, \quad \{ e_{k + 1}, \dots, e_n \} \subset V_1. $$ Ясно, что $$ \overline{a} \overline{e}_i = \overline{ae_i} = \overline{\Biggl(\,\sum_{j = 1}^n a_{ji}e_j \Biggr)} = \sum_{j = 1}^n \overline{a}_{ji}\overline{e}_j. $$ Пусть $\overline{V} = \overline{V}_0 \oplus \overline{V}_1$ и $\overline{V} = \overline{V}'_0 \oplus \overline{V}'_1$~--- разложения $k$-модуля (пространства) $\overline{V}$ относительно $\overline{a}$ и $\overline{b}$. Ясно, что $\overline{V}_0 = \overline{V}'_0$, $\overline{V}_1 = \overline{V}'_1$. Таким образом, по \Par*{Proposition 2} образы модулей $V_0$ и $V'_0$, $V_1$ и $V'_1$ при факторизации по радикалу $J$ совпадают. Возьмем такие $\{f_1, \dots, f_k \} \subset V'_0$, $\{ f_{k + 1}, \dots, f_n \} \subset V'_1$, что $\overline{f}_i = \overline{e}_i$, $i = 1, \dots, n$. Так как матрица перехода от $\{ e_1, \dots, e_n \}$ к $\{ f_1, \dots, f_n \}$ обратима (сравнима с единичной матрицей по модулю радикала $J$), то $\{ f_1, \dots, f_n \}$~--- это $R$-базис в $V$. Ясно, что тогда $\{ f_1, \dots, f_k \}$ является $R$-базисом в $V'_0$, а $\{ f_{k + 1}, \dots, f_n \}$~--- $R$-базисом в $V'_1$. \qed\enddemo \proclaim{Corollary 1} В условиях предыдущего предложения для матрицы $b$ существует некоторый базис модуля $V$, в котором $b$ имеет тот же вид, что и матрица $a$ в исходном базисе. Таким образом, матрицы $a$ и $b$ сопряжены. \endproclaim \head 3. Метод линеаризации для~локальных колец \endhead Опишем метод линеаризации для локальных колец, которым далее будем активно пользоваться. Этот метод позволяет доказывать, что некоторая система полиномиальных уравнений с коэффициентами в локальном кольце $R$ имеет лишь нулевое решение в радикале кольца. Он был описан и использовался во многих аналогичных работах, перечисленных выше; здесь для удобства приведем теорему и один простой пример, иллюстрирующий применение метода (см., например, [2]). \proclaim{Theorem 4} Пусть $R$~--- локальное кольцо, и пусть дана система полиномиальных уравнений вида $P_i(x_1, \dots, x_n) = 0$, где все входящие полиномы $P_i \in R[x_1, \dots, x_n]$ с коэффициентами в кольце $R$ и, кроме того, для каждого $i$ выполнено $P_i(0, \dots, 0) = 0$ {\rm (}т.~е. это полиномы без свободного члена{\rm )}. Пусть $\overline{P}_i$~--- приведенные по модулю радикала $J = \operatorname{Rad}(R)$ линеаризации $P_i$, т.~е. $\overline{P}_i$ содержит лишь мономы первой степени соответствующего полинома, приведенные по модулю радикала. Тогда если система $\overline{P}_i = 0$ имеет единственное нулевое решение $x_j = 0$, то исходная система в радикале $J$ имеет единственное решение $x_j = 0$ $(x_j \in J)$.\endproclaim \demo{Proof} Система уравнений $P_i(x_1, \dots, x_n) = 0$ может быть представлена в виде $A(x_1, \dots, x_n)x = 0$, где $A$~--- матрица, зависящая от переменных $x_j$. Если определитель матрицы $A$ сравним по модулю радикала с обратимым элементом кольца $R$ (который не зависит от переменных $x_j$, так как они лежат в радикале), то можно явно выразить решение $x = (A(x))^{-1}0 = 0$ и получить, что $x = 0$ (так как в локальном кольце любой элемент, сравнимый с обратимым по модулю радикала, обратим). Но определитель матрицы $A(x)$ сравним по модулю радикала с определителем матрицы линеаризованной системы, значит, достаточным условием единственности нулевого решения исходной полиномиальной системы в радикале является обратимость матрицы линеаризованной системы, т.~е. единственность нулевого решения для линеаризованной системы. \qed\enddemo \demo{Remark 4} Отметим, что способ получения указанной матрицы $A(x)$ неоднозначен, однако ее линеаризация однозначна. \enddemo \demo{Example 1} Пусть $R$~--- локальное кольцо с необратимой тройкой. Рассмотрим систему $$ \cases x + 3y - xy = 0,\\ x - y + xy = 0. \endcases $$ Ее приведенная по модулю радикала линеаризация имеет вид $$ \cases x = 0,\\ x - y = 0, \endcases $$ определитель матрицы равен $-1$ и обратим, поэтому нулевое решение единственно. Следовательно, по теореме исходная система тоже имеет лишь нулевое решение в радикале кольца. С другой стороны, для исходной системы можно убедиться в единственности нулевого решения в радикале непосредственно. Перепишем ее в следующем виде: $$ \cases x + (3 - x)y = 0,\\ (1 + y)x - y = 0. \endcases $$ Из второго уравнения имеем $x = (1 + y)^{-1} y$, подставляем это выражение в первое уравнение и получаем после приведения подобных членов $$((1 + y)^{-1} + (3 - x))y = 0. $$ Так как коэффициент при $y$ обратим (как сумма обратимого и необратимого элементов локального кольца), получаем, что $y = 0$, значит, и $x = 0$. \enddemo \head 4. Образы элементов $w_\alpha(1)$ и $x_\alpha(1)$ \endhead Напомним, что мы перешли к изоморфизму $\varphi'$, который при факторизации $R$ по $J$ переходит в автоморфизм $\overline{\delta}^\varepsilon \overline{\rho}$. Рассмотрим матрицы $$ h_\alpha(-1) = \omega_\alpha^{-2} = \omega_\alpha^2,\quad \alpha \in \Phi $$ (вид некоторых из этих матриц в выбранном базисе можно найти в приложении). Это диагональные матрицы порядка~2 с элементами $\pm 1$ на диагонали, причем все они содержат одинаковое количество элементов $-1$. Значит, по \Par*{Corollary 1} образ $h_\alpha(-1)$ при изоморфизме сопряжен $h_{\delta^\varepsilon(\alpha)}(-1)$. \proclaim{Lemma 1} Образы $h_{\alpha_1}(-1)$ и $h_{\alpha_2}(-1)$ можно сопряжением одновременно привести к $h_{\delta^\varepsilon(\alpha_1)}(-1)$ и $h_{\delta^\varepsilon(\alpha_2)}(-1)$. \endproclaim \demo{Proof} Сначала рассмотрим случай $\varepsilon = 0$. Поскольку образы коммутирующих матриц $h_{\alpha_1}(-1)$ и $h_{\alpha_2}(-1)$ также коммутируют, их можно привести к диагональному виду. При изоморфизме у матриц $h_{\alpha_1}(-1)$ и $h_{\alpha_2}(-1)$ не меняются собственные значения и их кратности, значит, диагональный вид останется таким же с точностью до перестановки элементов на диагонали. Следовательно, можно произвести сопряжение (заменой базиса) и привести образы матриц $h_{\alpha_1}(-1)$ и $h_{\alpha_2}(-1)$ к диагональному виду, а затем выполнить сопряжение матрицей перестановки, чтобы на диагонали элементы стояли так же, как у $h_{\alpha_1}(-1)$ и $h_{\alpha_2}(-1)$. В случае $\varepsilon = 1$ аналогичное рассуждение дает нужный результат. \qed\enddemo Теперь будем считать, что мы заменили исходный изоморфизм новым, переводящим $h_{\alpha_1}(-1)$ и $h_{\alpha_2}(-1)$ в $h_{\delta^\varepsilon(\alpha_1)}(-1)$ и $h_{\delta^\varepsilon(\alpha_2)}(-1)$. Рассмотрим матрицы $x_\alpha(1)$, $w_\alpha(1) = \omega_\alpha$ для всех $\alpha \in \Phi$. \proclaim{Lemma 2} Все матрицы $x_\alpha(1)$ и $\omega_\alpha$, $\alpha \in \Phi$, выражаются через следующий набор матриц: $$ x_{\alpha_1}(1),\quad x_{\alpha_2}(1),\quad \omega_{\alpha_1},\quad \omega_{\alpha_2}. $$ \endproclaim \demo{Proof} В элементарной группе Шевалле для всех $\alpha, \beta \in \Phi$ выполнено, в числе прочих, следующее соотношение (см. [22]): $$ \omega_\alpha x_\beta(t) \omega_\alpha^{-1} = x_{w_\alpha \beta}(\pm t), \eqno(2) $$ где знак зависит только от корней $\alpha, \beta$ (и не зависит ни от $t$, ни от выбора базиса), причем этот знак совпадает для пар корней $\alpha, \beta$ и $\alpha, -\beta$. В частности, отсюда легко получить такое же соотношение для $w_\beta(t)$, $t \in R^*$: $$ \omega_\alpha w_\beta(t) \omega_\alpha^{-1} = \omega_\alpha (x_\beta(t)x_{-\beta}(-t^{-1})x_\beta(t)) \omega_\alpha^{-1} = x_{w_\alpha \beta}(\pm t) x_{-w_\alpha \beta}(\mp t^{-1}) x_{w_\alpha\beta}(\pm t) = w_{w_\alpha \beta}(\pm t). \tag3 $$ Если в каком-то соотношении должен быть выбран знак минус, то достаточно потом обратить полученную матрицу, поскольку в силу \Tag(1) $x_\alpha(-t) = (x_\alpha(t))^{-1}$ и $w_\alpha(-t) = (w_\alpha(t))^{-1}$. Группа Вейля системы корней порождается простыми отражениями, а также действует транзитивно на множестве корней одинаковой длины. Следовательно, имея матрицы $\omega_{\alpha_1}$, $\omega_{\alpha_2}$ и используя соотношения \Tag(3) (при $t =1$), можно выразить все матрицы $\omega_\alpha$, $\alpha \in \Phi$. Аналогично, так как $\alpha_1$ и $\alpha_2$~--- корни двух возможных различных длин, снова благодаря транзитивности действия группы Вейля на множестве корней одной длины можно из соотношений \Tag(2) (при $t = 1$) выразить все матрицы $x_\alpha(1)$, $\alpha \in \Phi$. \qed\enddemo Таким образом, если произвести сопряжение матрицей из $\operatorname{GL}_n(R,J)$ (т.~е. сравнимой с единичной по модулю радикала $J$), которое переведет образы матриц $x_{\alpha_1}(1)$, $x_{\alpha_2}(1)$, $\omega_{\alpha_1}$, $\omega_{\alpha_2}$ в матрицы $x_{\delta^\varepsilon(\alpha_1)}(1)$, $x_{\delta^\varepsilon(\alpha_2)}(1)$, $\omega_{\delta^\varepsilon(\alpha_1)}$, $\omega_{\delta^\varepsilon(\alpha_2)}$ соответственно, то композиция изоморфизма с этим сопряжением будет переводить все $x_\alpha(1)$ и $\omega_\alpha$ соответственно в $x_{\delta^\varepsilon(\alpha)}(1)$ и $\omega_{\delta^\varepsilon(\alpha)}$, $\alpha \in \Phi$, причем по-прежнему при факторизации $R$ по $J$ она будет переходить в автоморфизм $\overline{\delta}^\varepsilon \overline{\rho}$. \proclaim{Lemma 3} Указанное сопряжение существует. \endproclaim \demo{Proof} Пользуясь \Par*{Proposition 1}, обозначим образы матриц $x_{\alpha_1}(1)$, $x_{\alpha_2}(1)$, $\omega_{\alpha_1}$, и $\omega_{\alpha_2}$ через $x_{\delta^\varepsilon(\alpha_1)}(1) + A$, $x_{\delta^\varepsilon(\alpha_2)}(1) + B$, $\omega_{\delta^\varepsilon(\alpha_1)} + C$, и $\omega_{\delta^\varepsilon(\alpha_2)} + D$, где $A, B, C, D \in \operatorname{M}_n(J)$~--- неизвестные матрицы. В элементарной группе Шевалле для всех $\alpha, \beta \in \Phi$, $\alpha +\beta \neq 0$, выполнено следующее соотношение на коммутатор соответствующих корневых элементов (см. [22]): $$ (x_\alpha(t), x_\beta(u)) = \prod\Sb i\alpha + j\beta \in \Phi\\ i, j \in {\Bbb N}\endSb x_{i\alpha + j\beta}(c_{ij} t^i u^j), \eqno(4) $$ где $(a, b) = aba^{-1}b^{-1}$~--- групповой коммутатор (обозначаемый для удобства круглыми скобками, чтобы не путать с коммутатором в алгебре Ли), произведение в правой части берется по всем корням $i\alpha + j\beta$, $i, j\in {\Bbb N}$, расположенным в некотором фиксированном порядке, а $c_{ij}$ ~--- целые числа, зависящие только от $\alpha$, $\beta$ и от выбранного порядка корней (и не зависящие от $t$, $u$), причем если $\alpha + \beta \in \Phi$, то $c_{11} = N_{\alpha\beta}$. В случае нашей системы корней $\Phi$ типа $\bold G_2$ произведение в правой части всегда состоит не более чем из четырех элементов, и все коэффициенты $c_{ij}$ принимают значения $\pm 1, \pm 2, \pm 3$. Еще раз подчеркнем, что благодаря целочисленности $c_{ij}$ все участвующие в соотношении корневые элементы легко выражаются через соответствующие корневые элементы без коэффициентов $c_{ij}$~--- достаточно воспользоваться свойством \Tag(1). Итак, рассмотрим набор образов всех соотношений вида \Tag(2), \Tag(3), \Tag(4) при $t = u =1$, а также соотношений $h_{\alpha_i}(-1) = \omega_{\alpha_i}^2$, $i = 1, 2$. Они дают систему (полиномиальных) уравнений относительно неизвестных матриц $A$, $B$, $C$, $D$, т.~е. относительно $4 n^2 = 4 \cdot 14^2 = 784$ переменных из радикала. Решая систему методом линеаризации, можно попытаться доказать, что $A = B = C = D = 0$. Однако компьютерное вычисление показывает, что это не так, линеаризованная система, приведенная по модулю радикала $J$ (отметим, что в результате все коэффициенты такой системы будут равны $0$ или $\pm 1$), может иметь ненулевое решение, а именно, ее ранг равен $732$ (как при $\varepsilon = 0$, так и при $\varepsilon = 1$). Это означает, что действительно требуется нетривиальное сопряжение. С помощью компьютерного вычисления можно убедиться, что существует такое сопряжение, которое сохраняет $h_{\alpha_1}(-1)$ и $h_{\alpha_2}(-1)$ и при этом позволяет занулить ровно $52$ переменные (т.~е. после этого сопряжения соответствующие элементы матриц-образов совпадают с элементами требуемых матриц). Таким образом, получаем систему относительно $784 - 52 = 732$ переменных, приведенная по модулю радикала линеаризация которой оказывается системой полного ранга, равного $732$, и поэтому имеет только нулевое решение, откуда по теореме о линеаризации заключаем, что $A = B = C = D = 0$ и найденное сопряжение является искомым. \qed\enddemo \head 5. Образы элементов $x_\alpha(t)$ \endhead Итак, на данном этапе изоморфизм переводит все $x_\alpha(1)$ и $\omega_\alpha$ соответственно в $x_{\delta^\varepsilon(\alpha)}(1)$ и $\omega_{\delta^\varepsilon(\alpha)}$, $\alpha \in \Phi$. \proclaim{Corollary 2} Если $\varepsilon = 1$, то кольцо $R$ имеет характеристику $3$. \endproclaim \demo{Proof} Рассмотрим корни $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_4 = \alpha_1 + 2\alpha_2$, $\alpha_5 = \alpha_1 + 3\alpha_2$, $\alpha_6 = 2\alpha_1 + 3\alpha_2$ и следующие соотношения вида \Tag(4): $$ (x_{\alpha_1}(1), x_{\alpha_6}(1)) = 1, \quad (x_{\alpha_2}(1), x_{\alpha_4}(1)) = x_{\alpha_5}(\pm 3). $$ Поскольку $\delta(\alpha_1) = \alpha_2$, $\delta(\alpha_6) = \alpha_4$, отсюда сразу следует $\pm 3 = 0$ в $R$. \qed\enddemo Изучим образы $x_\alpha(t)$, а именно, докажем, что эти матрицы переходят в некоторые $x_\alpha(t')$ в случае $\varepsilon = 0$ или в некоторые $x_{\delta(\alpha)}((t')^{\lambda(\alpha)})$ в случае $\varepsilon = 1$, где $t \mapsto t'$~--- кольцевой автоморфизм. Над полем это верно (см. [22]). Значит, в нашем случае они переходят в $x_\alpha(t') + T$ ($\varepsilon = 0$) или $x_{\delta(\alpha)}((t')^{\lambda(\alpha)}) + T$ ($\varepsilon = 1$), где $T \in \operatorname{M}_n(J)$. Нужно доказать, что во всех случаях $T = 0$. Однако это может быть неверно, если неправильно выбрать $t'$ и соответственно $T$. Правильный выбор будет описан ниже. \demo{Remark 5} На этом этапе мы ничего не говорим об отображении $t \mapsto t'$. Утверждается лишь, что существует такой элемент $t'$, что матрицы отображаются указанным образом. \enddemo \proclaim{Lemma 4} Все матрицы $x_\alpha(t)$, $\alpha \in \Phi$, выражаются через следующий набор матриц: $$\omega_\alpha,\ \alpha \in \Phi;\quad x_{\alpha_1}(t),\ x_{\alpha_2}(t). $$ \endproclaim \demo{Proof} По аналогии с \Par*{Lemma 2} данное утверждение сразу следует из соотношений \Tag(2), транзитивности действия группы Вейля на множестве корней одной длины и того факта, что $\alpha_1, \alpha_2$~--- это корни двух возможных различных длин. \qed\enddemo Рассмотрим матрицы $x_{\alpha_1}(t)$ и $x_{\alpha_2}(t)$. Пользуясь рассуждением выше, обозначим их образы при изоморфизме через $x_{\alpha_1}(t') + S$ и $x_{\alpha_2}(t') + T$ соответственно ($\varepsilon = 0$) или через $x_{\alpha_2}(t') + S$ и $x_{\alpha_1}((t')^3) + T$ соответственно ($\varepsilon = 1$), где $S, T \in \operatorname{M}_n(J)$~--- неизвестные матрицы с элементами из радикала $J$. Выберем $S$ и $T$ так, чтобы выполнялось $T_{7,11} = 0$. Как выяснится далее при компьютерном вычислении, это даст правильный выбор представителя. В силу \Par*{Lemma 4} достаточно доказать, что $S = T= 0$. Возьмем набор образов тех соотношений вида \Tag(2) и \Tag(4), в которые входят только элементы (и их степени) вида $x_\alpha(t)$, $x_\alpha(1)$ и $\omega_\alpha$, $\alpha \in \Phi$. Они дают систему (полиномиальных) уравнений относительно неизвестных матриц $S$ и $T$, т.~е. (с учетом условия $T_{7,11} = 0$) относительно $2n^2 - 1 = 2 \cdot 14^2 - 1 = 391$ переменных из радикала. Решим полученную систему методом линеаризации. Компьютерное вычисление показывает, что приведенная по модулю радикала $J$ линеаризация системы является системой полного ранга, равного $391$ (как при $\varepsilon = 0$, так и при $\varepsilon = 1$), и поэтому имеет только нулевое решение. Отсюда по теореме о линеаризации заключаем, что $S = T = 0$. \head 6. Доказательство \Par*{Theorem 2} \endhead Таким образом, на данном этапе изоморфизм переводит матрицы $x_\alpha(t)$ в некоторые $x_\alpha(t')$ ($\varepsilon = 0$) или в некоторые $x_{\delta(\alpha)}((t')^{\lambda(\alpha)})$ ($\varepsilon = 1$). Обозначим отображение $t \mapsto t'$ через $\rho \colon R \to R$. \proclaim{Lemma 5} Отображение $\rho$ инъективно, аддитивно и мультипликативно; в случае $\varepsilon = 1$ эндоморфизм Фробениуса $F$ также инъективен. \endproclaim \demo{Proof} Инъективность отображения $\rho$, а также эндоморфизма $F$ при $\varepsilon =1$, очевидна, так как у нас изоморфизм групп и при этом $x_\alpha(0) = 1$. Аддитивность $\rho$ сразу следует из соотношения \Tag(1). Мультипликативность $\rho$ следует, например, из соотношения \Tag(4) для корней $\alpha_1$ и $\alpha_5$: $$ (x_{\alpha_1}(t), x_{\alpha_5}(u)) = x_{\alpha_1 + \alpha_5}(tu) = x_{\alpha_6}(tu) $$ (это рассуждение остается в силе и при $\varepsilon = 1$, так как участвующие в соотношении корни длинные). \qed\enddemo \proclaim{Corollary 3} Отображение $\rho$ является изоморфизмом из кольца $R$ на некоторое его подкольцо~$R'$; в случае $\varepsilon = 1$ то же верно и для эндоморфизма Фробениуса $F$. \endproclaim Докажем сюръективность полученных эндоморфизмов кольца $R$. Заметим, что мы находимся в ситуации, в которой для некоторой матрицы $C \in \operatorname{GL}(V)$ выполнено $$ i_C \varphi(E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)) = C E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) C^{-1} \subset E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R') $$ (причем при $\varepsilon = 0$ имеет место равенство). Покажем, что $R' = R$. \proclaim{Lemma 6} Если для некоторого $C \in \operatorname{GL}(V)$ имеет место включение $$ CE_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) C^{-1} \subset E_{\operatorname{ad}}(\Phi,R'), $$ где $R'$~--- подкольцо в $R$, то $R' = R$. \endproclaim \demo{Proof} Обозначим матричные единицы через $E_{ij}$. Можно проверить, что $$ \align &((x_{\alpha_1}(1) - 1)(x_{\alpha_5}(1) - 1))^2 = E_{6,12}, \\ &\omega_{\alpha_6} ((x_{\alpha_1}(1) - 1)(x_{\alpha_5}(1) - 1))^2 \omega_{\alpha_6}^{-1} = E_{12,6}. \endalign $$ Произведение этих матричных единиц дает матричную единицу $E_{6,6}$. В~матрице $h_{\alpha_1}(t)$ элемент на позиции ($6$, $6$) равен $t$. Таким образом, с помощью нашей группы $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$ сложением и умножением матриц можно получить любую матрицу вида $tE_{6,6}$, где $t \in R^*$. Предположим теперь, что $R'$~--- собственное подкольцо в $R$. Так как $$ C E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) C^{-1} \subset E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R'), $$ то подкольцо кольца $\operatorname{M}_n(R)$, порожденное всеми элементами группы $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$, должно переходить в подкольцо кольца $\operatorname{M}_n(R')$, порожденное элементами группы $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R')$. Следовательно, все элементы матриц $C(tE_{6,6})C^{-1}$ при $t \in R^*$ должны лежать в подкольце $R'$. Очевидно, в обратимой матрице над локальным кольцом не может быть строки или столбца, полностью состоящего из необратимых элементов. Значит, существует такая пара индексов $i,j$, что элементы $C_{i,6}$ и $(C^{-1})_{6,j}$ обратимы. Отсюда заключаем, что при $t \in R^*$ $$ C_{i,6} t (C^{-1})_{6,j} = (C(tE_{6,6})C^{-1})_{i,j} \in R', $$ т.~е. $$ C_{i,6} R^* (C^{-1})_{6,j} = R^* \subset R'. $$ Но локальное кольцо $R$ аддитивно порождается множеством $R^*$, поэтому в действительности $R \subset R'$, что дает требуемое равенство $R' = R$. \qed\enddemo \proclaim{Corollary 4} Отображение $\rho$ является автоморфизмом кольца $R$; в случае $\varepsilon = 1$ эндоморфизм Фробениуса $F$ также является автоморфизмом кольца $R$, т.~е. в этом случае $R$~--- совершенное кольцо характеристики $3$. При этом выполнено $C E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) C^{-1} = E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R)$. \endproclaim Таким образом, показано, что композиция $i_C \varphi$ исходного автоморфизма $\varphi$ группы Шевалле и некоторого сопряжения (замены базиса) с помощью матрицы $C \in \operatorname{GL}_n(R)$, нормализующей данную группу, является композицией $\delta^\varepsilon \rho$, где $\delta$~--- диаграммный автоморфизм и $\varepsilon \in \{0, 1\}$, $\rho$~--- кольцевой автоморфизм. Это завершает доказательство \Par*{Theorem 2}. \enddemo \head 7. Доказательство \Par*{Theorem 3} \endhead Пусть $C \in \operatorname{GL}_n(R)$~--- матрица из нормализатора группы $G(R)$: $$C G(R) C^{-1} = G(R). $$ Наша цель~--- показать, что $C \in R^* \cdot G(R)$. Если $J$~--- максимальный идеал (радикал) кольца $R$, то матрицы из $\operatorname{M}_n(J)$ образуют радикал в кольце матриц $\operatorname{M}_n(R)$, поэтому $$ C \cdot \operatorname{M}_n(J) \cdot C^{-1} = \operatorname{M}_n(J), $$ следовательно, $$ C \cdot (1 + \operatorname{M}_n(J)) \cdot C^{-1} = 1 + \operatorname{M}_n(J), $$ т.~е. $$ C \cdot E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R, J) \cdot C^{-1} = E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R, J), $$ так как $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R, J) = E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R) \cap (1 + \operatorname{M}_n(J))$. Значит, образ $\overline{C}$ матрицы $C$ при факторизации кольца $R$ по радикалу $J$ индуцирует автоморфизм-сопряжение группы Шевалле $G(k) = E_{\operatorname{ad}}(\Phi, k)$, где $k$~--- поле вычетов $R/J$ характеристики~3. \proclaim{Lemma 7} Любой автоморфизм-сопряжение группы Шевалле типа ${\bold G}_2$ над полем $k$ характеристики $3$ является внутренним. \endproclaim \demo{Proof} Предположим, что некоторая матрица $C \in \operatorname{GL}_n(k)$ лежит в нормализаторе группы $G(k)$. Тогда автоморфизм-сопряжение $i_C$ стандартен (см. [22]), т.~е. $i_C = i_g \circ \delta^\varepsilon \circ \rho$, где $g \in G(k)$, $\delta$~--- диаграммный автоморфизм и $\varepsilon \in \{0, 1\}$, $\rho$~--- полевой автоморфизм. Следовательно, $i_{g^{-1}} i_C = i_{C'} = \delta^\varepsilon \rho$, $C' \in \operatorname{GL}_n(k)$. Заметим, что для любого $\alpha \in \Phi$ выполнено $\delta^\varepsilon \rho(x_\alpha(1)) = \delta^\varepsilon(x_\alpha(1)) = x_{\delta^\varepsilon(\alpha)}(1)$. Допустим, что $\varepsilon = 1$. Тогда имеем $C' x_\alpha(1) = x_{\delta(\alpha)}(1) C'$ для всех $\alpha \in \Phi$. Достаточно записать эти соотношения, рассматриваемые как уравнения относительно неизвестной матрицы $C' \in \operatorname{M}_n(k)$, для корней, положительно порождающих всю систему, а именно $\pm \alpha_1, \pm \alpha_2$. Вычисление показывает, что пространство решений полученной системы линейных уравнений над полем $k$ одномерно и не содержит решений, соответствующих обратимым матрицам. Это приводит к противоречию с предположением $\varepsilon = 1$. Таким образом, $\varepsilon = 0$ и $i_{g^{-1}} i_C = i_{C'} = \rho$, т.~е. сопряжение матрицей $C'$ задает полевой автоморфизм $\rho$. Значит, $C' x_\alpha(1) = x_\alpha(1) C'$ для всех $\alpha \in \Phi$. Следовательно, матрица $C'$ скалярна и автоморфизм $i_C$ внутренний. \qed\enddemo Из \Par*{Lemma 7} следует, что $i_{\overline{C}} = i_{g'}$, $g' \in G(k)$. Возьмем произвольный элемент $g \in G(R)$, для которого выполнено $\overline{g} = g'$, и рассмотрим матрицу $C' = g^{-1} \cdot C$. Очевидно, эта матрица также нормализует группу $G(R)$, при этом $\overline{C'} = 1$. Таким образом, описание матриц из нормализатора группы $G(R)$ сведено к описанию матриц из нормализатора данной группы, сравнимых с единичной по модулю радикала $J$. Далее будем считать, что изначальная матрица $C$ сравнима с единичной по модулю радикала: $C = 1 + Y$, $Y \in \operatorname{M}_n(J)$. Для каждого $\alpha \in \Phi$ имеет место равенство $$ C x_\alpha(1) C^{-1} = x_\alpha(1) \cdot g_\alpha,\quad g_\alpha \in E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R, J), $$ или, эквивалентно, $$ C x_\alpha(1) = x_\alpha(1) g_\alpha C. \eqno(5) $$ Любой элемент $g_\alpha \in E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R, J)$ можно разложить в произведение вида $$ t_{\alpha_1}(1 + a_{\alpha,1}) t_{\alpha_2}(1 + a_{\alpha,2}) x_{\alpha_1}(b_{\alpha,1}) \cdots x_{\alpha_6}(b_{\alpha,6}) x_{- \alpha_1}(c_{\alpha,1}) \cdots x_{-\alpha_6}(c_{\alpha,6}), $$ где $a_{\alpha,1}, a_{\alpha,2}, b_{\alpha,1}, \dots, b_{\alpha,6}, c_{\alpha,1}, \dots, c_{\alpha,6} \in J$ (см., например, [25]). Рассматривая набор соотношений вида \Tag(5) для корней $\pm \alpha_1, \pm \alpha_2$, положительно порождающих всю систему, получаем систему полиномиальных уравнений относительно неизвестных $Y_{ij}$, $a_{\alpha,i}$, $b_{\alpha,i}$, и $c_{\alpha,i}$, лежащих в радикале. Однако чтобы иметь возможность применить к ней метод линеаризации, необходимо произвести некоторые дополнительные преобразования. Заметим, что при умножении матрицы $C$ на матрицы из $E_{\operatorname{ad}}(\Phi, R, J)$ и на скаляры, сравнимые с $1$ по модулю радикала $J$, по-прежнему получается матрица из нормализатора группы $G(R)$, сравнимая с единичной по модулю $J$. \proclaim{Lemma 8} Существует такой набор элементов $d, a_1, a_2 \in 1 + J$, $b_1, \dots, b_6,c_1, \dots, c_6 \in J$, что для матрицы $$ \align C' &= d \cdot t_{\alpha_1}(a_1) t_{\alpha_2}(a_2) \cdot x_{-\alpha_2}(b_2) x_{-\alpha_6}(b_6) x_{-\alpha_5}(b_5) x_{-\alpha_4}(b_4) x_{-\alpha_3}(b_3) x_{-\alpha_1}(b_1) \\ &\quad \cdot C \cdot x_{\alpha_1}(c_1) x_{\alpha_3}(c_3) x_{\alpha_4}(c_4) x_{\alpha_5}(c_5) x_{\alpha_6}(c_6) x_{\alpha_2}(c_2) \endalign $$ выполнено $C' = 1 + Y'$, где $Y' \in \operatorname{M}_n(J)$ содержит нули на конкретных $n + 1 = 15$ позициях {\rm (}явно указанных в доказательстве{\rm ).} \endproclaim \demo{Proof} Положим $C^{(0)} = C$. Рассмотрим позицию $(\alpha_5, \alpha_6)$ и умножим $C^{(0)}$ слева на $x_{-\alpha_1} (-C^{(0)}_{\alpha_5, \alpha_6} / C^{(0)}_{\alpha_6, \alpha_6})$. В результате получим матрицу $C^{(1)}$, у которой $C^{(1)}_{\alpha_5, \alpha_6} = 0$. Рассмотрим позицию $(\alpha_4, \alpha_6)$ и умножим $C^{(1)}$ слева на $x_{-\alpha_3}(-C^{(1)}_{\alpha_4, \alpha_6} / C^{(1)}_{\alpha_6, \alpha_6})$. Получим матрицу~$C^{(2)}$, у которой $C^{(2)}_{\alpha_4, \alpha_6} = 0$ и при этом также сохраняется $C^{(2)}_{\alpha_5, \alpha_6} = 0$, так как в матрице $x_{-\alpha_3}(t)$ строка, соответствующая $\alpha_5$, содержит лишь диагональную единицу и все остальные нули. Рассмотрим позицию $(\alpha_3, \alpha_6)$ и умножим $C^{(2)}$ слева на $x_{-\alpha_4}(C^{(2)}_{\alpha_3, \alpha_6} / C^{(2)}_{\alpha_6, \alpha_6})$. Получим матрицу~$C^{(3)}$, у которой $C^{(3)}_{\alpha_3, \alpha_6} = 0$ и при этом все предыдущие нулевые позиции также остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(\alpha_1, \alpha_6)$ и умножим $C^{(3)}$ слева на $x_{-\alpha_5}(C^{(3)}_{\alpha_1, \alpha_6} / C^{(3)}_{\alpha_6, \alpha_6})$. Получим матрицу~$C^{(4)}$, у которой $C^{(4)}_{\alpha_1, \alpha_6} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(h_1, \alpha_6)$ и умножим $C^{(4)}$ слева на $x_{-\alpha_6}(C^{(4)}_{h_1, \alpha_6} / (2 C^{(4)}_{\alpha_6, \alpha_6}))$. Получим матрицу~$C^{(5)}$, у которой $C^{(5)}_{h_1, \alpha_6} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(\alpha_4, \alpha_5)$ и умножим $C^{(5)}$ слева на $x_{-\alpha_2}(-C^{(5)}_{\alpha_4, \alpha_5} / C^{(5)}_{\alpha_5, \alpha_5})$. Получим матрицу~$C^{(6)}$, у которой $C^{(6)}_{\alpha_4, \alpha_5} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Далее рассмотрим позицию $(\alpha_6, \alpha_5)$ и умножим $C^{(6)}$ уже справа на $x_{\alpha_1}(-C^{(6)}_{\alpha_6, \alpha_5} / C^{(6)}_{\alpha_6, \alpha_6})$. Получим матрицу~$C^{(7)}$, у которой $C^{(7)}_{\alpha_6, \alpha_5} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(\alpha_4, \alpha_2)$ и умножим $C^{(7)}$ справа на $x_{\alpha_3}(-C^{(7)}_{\alpha_4, \alpha_2} / (2 C^{(7)}_{\alpha_4, \alpha_4}))$. Получим матрицу $C^{(8)}$, у которой $C^{(8)}_{\alpha_4, \alpha_2} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(\alpha_4, h_2)$ и умножим $C^{(8)}$ справа на $x_{\alpha_4}(C^{(8)}_{\alpha_4, h_2} / C^{(8)}_{\alpha_4, \alpha_4})$. Получим матрицу~$C^{(9)}$, у которой $C^{(9)}_{\alpha_4, h_2} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(\alpha_4, -\alpha_2)$ и умножим $C^{(9)}$ справа на $x_{\alpha_5}(C^{(9)}_{\alpha_4, -\alpha_2} / C^{(9)}_{\alpha_4, \alpha_4})$. Получим матрицу $C^{(10)}$, у которой $C^{(10)}_{\alpha_4, -\alpha_2} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(\alpha_5, -\alpha_1)$ и умножим $C^{(10)}$ справа на $x_{\alpha_6}(C^{(10)}_{\alpha_5, -\alpha_1} / C^{(10)}_{\alpha_5, \alpha_5})$. Получим матрицу $C^{(11)}$, у которой $C^{(11)}_{\alpha_5, -\alpha_1} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Рассмотрим позицию $(\alpha_4, \alpha_3)$ и умножим $C^{(11)}$ справа на $x_{\alpha_2}(C^{(11)}_{\alpha_4, \alpha_3} / (2 C^{(11)}_{\alpha_4, \alpha_4}))$. Получим матрицу $C^{(12)}$, у которой $C^{(12)}_{\alpha_4, \alpha_3} = 0$ и все предыдущие нулевые позиции остаются нулевыми. Таким образом, матрица $C^{(12)}$ содержит ровно 12 (недиагональных) нулевых позиций. Положим $C^{(13)} = (C^{(12)}_{h_1, h_1})^{-1} \cdot C^{(12)}$. Тогда $C^{(13)}_{h_1, h_1} = 1$, т.~е. $Y^{(13)}_{h_1, h_1} = 0$, при этом, очевидно, все предыдущие нулевые позиции сохраняются. Осталось применить умножения на диагональные матрицы $t_{\alpha_1}$ и $t_{\alpha_2}$. Заметим, что у $t_{\alpha_1}(a)$ на позиции $(\alpha_6, \alpha_6)$ стоит $a$ и на позиции $(\alpha_4, \alpha_4)$ стоит $1$, а у $t_{\alpha_2}(a)$ на позиции $(\alpha_4, \alpha_4)$ стоит $a$ и на позиции $(\alpha_6, \alpha_6)$ стоит $1$, при этом у обеих матриц на позиции $(h_1, h_1)$ стоит $1$. Следовательно, если положить $C' = C^{(15)} = t_{\alpha_1}((C^{(13)}_{\alpha_6, \alpha_6})^{-1}) \cdot t_{\alpha_2}((C^{(13)}_{\alpha_4, \alpha_4})^{-1}) \cdot C^{(13)}$, то получим $C'_{\alpha_4, \alpha_4} = C'_{\alpha_6, \alpha_6} = 1$, т.~е. $Y'_{\alpha_4, \alpha_4} = Y'_{\alpha_6, \alpha_6} = 0$, при этом все предыдущие нулевые позиции также сохраняются. \qed\enddemo Итак, рассмотрим матрицу $C' = 1 + Y'$ из \Par*{Lemma 8}. Как уже отмечалось, $C'$ по-прежнему нормализует группу $G(R)$ и сравнима с единичной по модулю~$J$. Теперь вернемся к системе уравнений вида \Tag(5). Аналогичные уравнения справедливы для матрицы $C'$. Имеем систему уравнений относительно $n^2 - (n + 1) + 4n = 237$ неизвестных $Y'_{ij}, a_{\alpha,i}, b_{\alpha,i}, c_{\alpha,i}$, лежащих в радикале. Как показывает вычисление, линеаризация данной системы является системой полного ранга, равного $237$, поэтому имеет единственное нулевое решение. По теореме о линеаризации отсюда, в частности, следует, что $Y' = 0$, т.~е. $C' = 1$. Это завершает доказательство \Par*{Theorem 3}. \enddemo Основная \Par*{Theorem 1} теперь немедленно следует из доказанных \Par*{Theorems 2} и \Par{Theorem 3}{3}. \head 8. Приложение \endhead \specialhead 8.1. Знаки структурных констант $N_{\alpha\beta}$ \endspecialhead Напомним, что при $\alpha + \beta \in \Phi$ структурные константы $N_{\alpha\beta}$ базиса Шевалле выражаются формулой $$ N_{\alpha\beta} = \pm(r + 1), $$ где $r$~--- максимальное целое число, для которого $\beta - r\alpha \in \Phi$. Как уже упоминалось в работе, существуют алгоритмы согласованного выбора знаков всех констант $N_{\alpha\beta}$. Более подробные сведения об этом можно найти, например, в [29,\,30]. Готовые таблицы структурных констант для систем корней некоторых типов можно также найти, например, в [23,\,31]. \specialhead 8.2. Построение представления, некоторые элементы группы Шевалле \endspecialhead В пространстве представления возьмем следующий базис: $$ \align v_1 &= x_{\alpha_1}, \dots, v_6 = x_{\alpha_6}, \\ v_7 &= x_{-\alpha_1}, \dots, v_{12} = x_{-\alpha_6}, \\ v_{13} &= h_1,\ v_{14} = h_2. \endalign $$ Выпишем, к примеру, образы элементов $x_\alpha$ базиса, соответствующих простым корням, а также некоторые элементы группы Шевалле: %\newgeometry{left=1cm,right=1cm,top=2cm,bottom=5cm,bindingoffset=0cm} %{\footnotesize\setlength{\arraycolsep}{2pt}\medmuskip = 1mu %\newcommand\scalemath[2]{\scalebox{#1}{\mbox{\ensuremath{\displaystyle #2}}}} $$ X_{\alpha_1} = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \endmatrix\right), $$ $$ X_{\alpha_2} = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \endmatrix\right); $$ $$ x_{\alpha_1}(t) = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -t^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \, t & 3 \, t \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & t & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -t & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & t & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \endmatrix\right), $$ $$ x_{\alpha_2}(t) = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -t^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & t & -2 \, t \\ -t & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ t^{2} & 0 & -2 \, t & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ t^{3} & 0 & -3 \, t^{2} & 3 \, t & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \, t & 3 \, t^{2} & -t^{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \, t & -t^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & t & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \endmatrix\right); $$ $$ \omega_{\alpha_1} = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \endmatrix\right), $$ $$ \omega_{\alpha_2} = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \endmatrix\right); $$ $$ h_{\alpha_1}(-1) = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \endmatrix\right), $$ $$ h_{\alpha_2}(-1) = \left(\matrix\format \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r&\ \r\\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \endmatrix\right). $$ \acknowledgments Автор выражает благодарность Елене Игоревне Буниной за внимание к работе, ценные замечания и консультации. \Refs \ref\no 1 \by Bunina~E.I. \paper Automorphisms of Chevalley groups of types $\bold A_\ell$, $\bold D_\ell$, and $\bold E_\ell$ over local rings without $1/2$ \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2010 \vol 169 \issue 5 \pages 589--613 \endref \ref\no 2 \by Bunina~E.I. and Veryovkin~P.A. \paper Automorphisms of Chevalley groups of type $\bold G_2$ over local rings without $1/2$ \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2014 \vol 197 \issue 4 \pages 479--491 \endref \ref\no 3 \by Bunina~E.I. and Veryovkin~P.A. \paper Normalizer of Chevalley groups of type $\bold G_2$ over local rings without $1/2$ \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2014 \vol 201 \issue 4 \pages 446--449 \endref \ref\no 4 \by Steinberg~R. \paper Automorphisms of finite linear groups \jour Canad. J. Math. \yr 1960 \vol 12 \issue - \pages 606--615 \endref \ref\no 5 \by Humphreys~J.E. \paper On the automorphisms of infinite Chevalley groups \jour Canad. J. Math. \yr 1969 \vol 21 \issue - \pages 908--911 \endref \ref\no 6 \by Borel~A. and Tits~J. \paper Homomorphismes `abstraits' de groupes alg\'ebriques simples \jour Ann. Math. \yr 1973 \vol 97 \issue 3 \pages 499--571 \endref \ref\no 7 \by Carter~R.W. and Chen~Yu. \paper Automorphisms of affine Kac--Moody groups and related Chevalley groups over rings \jour J.~Algebra \yr 1993 \vol 155 \issue 1 \pages 44--94 \endref \ref\no 8 \by Chen~Yu. \paper Isomorphic Chevalley groups over integral domains \jour Rend. Sem. Mat. Univ. Padova \yr 1994 \vol 92 %\issue - \pages 231--237 \endref \ref\no 9 \by Chen~Yu. \paper Automorphisms of simple Chevalley groups over ${\Bbb Q}$-algebras \jour T\^ohoku Math.~J. \yr 1995 \vol 47 \issue 1 \pages 81--97 \endref \ref\no 10 \by Chen~Yu. \paper On representations of elementary subgroups of Chevalley groups over algebras \jour Proc. Amer. Math. Soc. \yr 1995 \vol 123 \issue 8 \pages 2357--2361 \endref \ref\no 11 \by Chen~Yu. \paper Isomorphisms of adjoint Chevalley groups over integral domains \jour Trans. Amer. Math. Soc. \yr 1996 \vol 348 \issue 2 \pages 521--541 \endref \ref\no 12 \by Chen~Yu. \paper Isomorphisms of Chevalley groups over algebras \jour J.~Algebra \yr 2000 \vol 226 \issue 2 \pages 719--741 \endref \ref\no 13 \by Abe~E. \paper Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings \jour Algebra Anal. \yr 1993 \vol 5 \issue 2 \pages 74--90 \endref \ref\no 14 \by Klyachko~A.A. \paper Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras \jour J.~Algebra \yr 2010 \vol 324 \issue 10 \pages 2608--2619 \endref \ref\no 15 \by Bunina~E.I. \paper Automorphisms of elementary adjoint Chevalley groups of types $\bold A_\ell$, $\bold D_\ell$, and $\bold E_\ell$ over local rings with $1/2$ \jour Algebra Logic \yr 2009 \vol 48 \issue 4 \pages 250--267 \endref %pr \ref\no 16 \by Bunina~E.I. \paper Automorphisms of Chevalley groups of types $\bold A_\ell$, $\bold D_\ell$, or $\bold E_\ell$ over local rings with~$1/2$ \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2010 \vol 167 \issue 6 \pages 749--766 \endref \ref\no 17 \by Bunina~E.I. \paper Automorphisms of Chevalley groups of types $\bold B_2$ and $\bold G_2$ over local rings \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2008 \vol 155 \issue 6 \pages 795--814 \endref \ref\no 18 \by Bunina~E.I. \paper Automorphisms of Chevalley groups of type $\bold F_4$ over local rings with $1/2$ \jour J.~Algebra \yr 2010 \vol 323 \issue 8 \pages 2270--2289 \endref \ref\no 19 \by Bunina~E.I. \paper Automorphisms of Chevalley groups of different types over commutative rings \jour J.~Algebra \yr 2012 \vol 355 \issue 1 \pages 154--170 \endref \ref\no 20 \by Bourbaki~N. \book Groupes et alg\`ebres de Lie \publaddr Paris \publ Hermann \yr 1968 \endref \ref\no 21 \by Humphreys~J.E. \book Introduction to Lie Algebras and Representation Theory \publaddr New York and Berlin \publ Springer \yr 1978 \finalinfo Grad. Texts in Math., 9 \endref \ref\no 22 \by Steinberg~R. \book Lectures on Chevalley Groups \publ Yale University \publaddr New Haven \yr 1968 \endref \ref\no 23 \by Carter~R.W. \book Simple Groups of Lie Type \bookinfo Reprint of the 1972 original \publaddr New York \publ John Wiley and Sons \yr 1989 \finalinfo Wiley Classics Lib.; Wiley-Intersci. Publ. \endref \ref\no 24 \by Petechuk~V.M. \paper Automorphisms of the groups $\operatorname{SL}_n$ and $\operatorname{GL}_n$ over certain local rings \jour Math. Notes \yr 1980 \vol 28 \issue 2 \pages 556--564 \endref \ref\no 25 \by Abe~E. \paper Chevalley groups over local rings \jour T\^ohoku Math. J. \yr 1969 \vol 21 \issue 3 \pages 474--494 \endref \ref\no 26 \by Abe~E. \paper Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings \inbook Algebraic $K$-Theory and Algebraic Number Theory \publaddr Providence \publ Amer. Math. Soc. \yr 1989 \pages 1--17 \finalinfo Contemp. Math., 83 \endref % (Honolulu, HI, 1987) \ref\no 27 \by Costa~D.L. and Keller~G.E. \paper On the normal subgroups of $\bold {G_2}(A)$ \jour Trans. Amer. Math. Soc. \yr 1999 \vol 351 \issue 12 \pages 5051--5088 \endref \ref\no 28 \by McDonald~B.R. \paper Automorphisms of $\operatorname{GL}_n(R)$ \jour Trans. Amer. Math. Soc. \yr 1976 \vol 215 %\issue - \pages 145--159 \endref \ref\no 29 \by Samelson~H. \book Notes on Lie Algebras \bookinfo Second edition \publaddr New York \publ Springer \yr 1990 \finalinfo Universitext \endref \ref\no 30 \by Cohen~A.M., Murray~S.H., and Taylor~D.E. \paper Computing in groups of Lie type \jour Math. Comp. \yr 2004 \vol 73 \issue 247 \pages 1477--1498 \endref \ref\no 31 \by Gilkey~P.B. and Seitz~G.M. \paper Some representations of exceptional Lie algebras \jour Geom. Dedicata \yr 1988 \vol 25 \iftex \issue 1--3 \else \issue 1 \fi \pages 407--416 \endref \endRefs \enddocument