\documentstyle{SibMatJ} %\TestXML \Rus \topmatter \Author Podvigin \Initial I. \Initial V. \Email ipodvigin\@math.nsc.ru \AffilRef 1 \Corresponding %\?Иван любит быть \Corresponding \endAuthor \Author Ryzhikov \Initial V. \Initial V. \Email vryzh\@mail.ru \AffilRef 2 \endAuthor \Affil 1 \Organization Sobolev Institute of Mathematics \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \Affil 2 \Division Faculty of Mechanics and Mathematics \Organization Lomonosov Moscow State University \City Moscow \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted January 24, 2024\enddatesubmitted %\daterevised February 25, 2025\enddaterevised \dateaccepted February 25, 2025\enddateaccepted \UDclass 517.987 \endUDclass \thanks Работа Подвигина И.В. выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № FWNF--2026--0022). %The work of I.V.~Podvigin was carried out in the framework of the State Task to the Sobolev Institute of Mathematics %(project FWNF--2026--0022). \endthanks \dedication Качуровскому Александру Григорьевичу по случаю его 65-летия. \enddedication \title Полный диапазон скоростей сходимости средних Биркгофа для~эргодических потоков \endtitle \abstract Для эргодического потока реализуется диапазон скоростей сходимости средних Биркгофа от максимальной скорости до сколь угодно медленной путем подбора усредняемой функции. Для обмоток тора при этом обеспечена непрерывность усредняемых функций. Это дополняет классический результат Кренгеля о медленных скоростях сходимости средних для эргодических автоморфизмов. %For an ergodic flow, a range of rates of convergence of Birkhoff averages from %the maximum rate to an arbitrarily slow rate is realized by choosing the %averaging function. For torus windings, the continuity of the averaging %functions is ensured. This complements Krengel's classical result on the slow %rates of convergence of means for ergodic automorphisms. \endabstract \keywords скорости сходимости в эргодических теоремах, специальное представление потока, одометр, обмотка тора %rates of convergence in ergodic theorems, %special flow, %odometer, %torus winding \endkeywords \endtopmatter \input epsf \input gutable \head 1. Введение \endhead Для эргодического сохраняющего меру потока $T_t$ на вероятностном пространстве $(X,m)$ и функции $f\in L_1(X,m)$ теорема Биркгофа утверждает, что временн\'{ы}е средние $$ A(f,t,x):=\frac 1 t \int\limits_0^t f(T_s x) \,ds $$ сходятся для почти всех ${x\in X}$ к пространственному среднему $\int f\,dm$. Для некоторых функций указанная сходимость может быть равномерной. Именно такая сходимость фигурирует в настоящей статье. Наша цель~--- показать управление скоростью сходимости средних путем подбора усредняемой функции. Последняя ищется в виде функционального ряда. В~результате для заданного потока реализуется диапазон скоростей от так называемой максимальной скорости до сколь угодно медленной. Для эргодических обмоток тора при этом найдены непрерывные реализации усредняемых функций. Мы также рассмотрим общий случай эргодических потоков без периодических траекторий. Здесь применяется теорема Рудольфа о специальном представлении потока, когда функция возвращения мало отличается от константы. Теорему Рудольфа можно рассматривать как непрерывный аналог леммы Рохлина~--- Халмоша. Следует отметить, что Кренгель в работе~[1] использовал эту лемму, а в~[2] для медленных сходимостей применялось деликатное обобщение леммы Рохлина~--- Халмоша, принадлежащее Альперну~[3]. Эффект замедления скорости сходимости возможен и в случае весовых усреднений, что показано в~[4]. Замечательно, что в определенных ситуациях весовые усреднения дают сверхбыстрые сходимости со скоростью~$o(\frac 1 t)$; см.~[5]. В предлагаемой статье рассматриваются только классические средние Биркгофа, для которых максимальная скорость сходимости средних не может быть $o(\frac 1 t)$ в случае ненулевой усредняемой функции. \head 2. Сходимоcть с~максимальной скоростью \endhead Пусть $X=[0,1)$, в качестве потока рассмотрим вращение окружности, т.~е. $T_t x=\{x+t\}$ (дробная часть суммы $x+t$). Очевидно, что для функции ${f\in L_1(X, m)}$ с нулевым средним для всех $x$ выполнено ${A(f,t,x)=0}$ при ${t\in{\Bbb Z}}$~и $$ |A(f,t,x)|\leq \frac {\|f\|_1} {t},\quad t>0. $$ Таким образом, сходимость в теореме Биркгофа равномерная с максимальной возможной скоростью (скорость вида $o(1/t)$ может быть только в случае нулевой функции)~[6]. Отметим, что дискретные суммы Биркгофа могут вести себя совсем иначе (см., например,~[7,\,8]). Выше мы упомянули вырожденный случай, когда все фазовое пространство потока является периодической траекторией. Максимальная скорость сходимости средних возникает и в неэргодическом случае, когда каждая точка фазового пространства имеет ограниченную (периодическую) траекторию. А~именно, пусть ${\Cal P}(x)$~--- период точки~${x\in X}$ относительно потока ${T_t}$, т.~е. такое минимальное число $t>0$, что ${T_tx=x}$; полагаем для непериодических точек ${{\Cal P}(x)=\infty}$. Если ${{\Cal P}\in L_\infty(X,m)}$, то сходимость эргодических средних также будет с максимальной скоростью, но уже, вообще говоря, не равномерная. Действительно, полагая $00$ и всех ${(x,y)\in M}$ $$ |A(f,t,(x,y))|\leq\frac{2\sum\limits_{n=1}^\infty\|f_n\|_{\infty,1}}{t}. $$ Действительно, пусть ${2^{N-1}2^n}$, в противном случае не возникнет множителя~2 в итоговой оценке. Для слагаемых первой суммы воспользуемся условием \Par{IT}{(2)}: $$ \align tA(f_n,t,(x,y)) &=\int\limits_0^{2^n-y_n}f_n(x_n,y_n+s)\,ds+ \underbrace{\int\limits_0^{2^n}f_n(x^{(1)}_n,s)\,ds}_{=0} \\ &\qquad+\dots +\underbrace{\int\limits_0^{2^n} f_n(x^{(k)}_n,s)\,ds}_{=0}+\int\limits_0^{t-k2^n- y_n}f_n(x^{(k+1)}_n,s)\,ds. \endalign $$ Здесь $k\in{\Bbb N}$ ~--- наибольшее натуральное число, для которого ${t-2^nk-y_n\geq0}$. Отсюда уже получаем оценку для слагаемых первой суммы: $$ |A(f_n,t, (x,y))|\leq\frac{1}{t}\Biggl|\int\limits_0^{2^n- y_n}f_n(x_n,y_n+s)\,ds+\int\limits_0^{t-k2^n-y_n} f_n(x^{k+1}_n,s)\,ds\Biggr|\leq \frac{2\|f_n\|_{\infty,1}}{t}. $$ Суммируя неравенства для обеих сумм, приходим к требуемой оценке для временных средних. \Par*{Theorem~2.1} доказана. \enddemo \head 3. Медленная сходимость средних Биркгофа для~потока над~диадическим одометром \endhead Отказ от условия~\Par{IT}{(3)} из изложенного выше примера позволяет получить сколь угодно медленную скорость сходимости временных средних. Покажем это. Пусть задана быстро растущая последовательность $p_n$ натуральных чисел. Обозначим $L_n=d_n2^{p_n-1}$, где ${d_n\in(0,1/2)}$. Рассмотрим на $M_n=[0, 2^{-p_n})\times [0, 2^{p_n})$ функцию $f_n$, которая на прямоугольнике $[0, 2^{-p_n})\times [0, L_n)$ равна ${a_n>0}$, на прямоугольнике $[0, 2^{-p_n})\times [2^{p_n-1}, 2^{p_n-1}+L_n)$ равна $-a_n$, а в остальных точках $M_n$ равна нулю. Нетрудно проверить, что для любого ${x_n\in[0,2^{-p_n})}$ $$ \int\limits_0^{2^{p_n}}f_n(x_n,y_n)\,dy_n=0,\quad \int\limits_0^{2^{p_n}}|f_n(x_n,y_n)|\,dy_n=2a_nL_n. $$ Чтобы для функции ${f(x,y)=\sum\nolimits_{n=1}^\infty f_n(x_n,y_n)}$ не выполнялось условие~\Par{IT}{(3)} из Lemma~1, %\?где лемма 1, закодировала (3) как выше, \Par{L1}{(3)} of Lemma~1 накладываем условие $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nL_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nd_n2^{p_n}=\infty. $$ При этом чтобы ${f\in L_1(M)}$, достаточно сходимости ряда из $L_1(M_n)$-норм функций $f_n$, т.~е. ряда ${\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}a_nd_n}$. Мы же потребуем более сильное условие $$ \sum\limits_{m=n+1}^\infty a_m=o(a_nd_n)\quad \text{при } n\to+\infty. $$ \proclaim{Theorem 3.1} Пусть $f$ --- построенная выше функция и $t_n=2^{p_n-2}$. Тогда последовательность средних $A(f,t_n,(x,y))$ для потока над $2$-одометром равномерно сходится к $0$ при $n\to\infty$ со скоростью ${\Cal O}(a_nd_n)$. \endproclaim \demo{Proof} Представляя $$ A(f, t_n, (x,y))=A\Biggl(\,\sum\limits_{m=1}^{n-1}f_m, t_n, (x,y)\Biggr) +A(f_n, t_n, (x,y))+ A\Biggl(\,\sum\limits_{m=n+1}^{\infty}f_m, t_n, (x,y)\Biggr), $$ замечаем, что для всех ${(x,y)\in M}$ $$ A\Biggl(\,\sum\limits_{m=1}^{n-1}\, f_m, t_n, (x,y)\Biggr)=0. $$ Это следует из того, что промежуток интегрирования $[0,t_n)$ разбивается на конечное число промежутков длины $2^{p_m}$ для каждого ${m=1,\dots ,n-1}$. Это действительно будет так, поскольку $2^{p_n-2}$ делится на $2^{p_m}$. Отсюда возникает уточняющее условие на возрастающую последовательность $p_n$: $$ p_{n+1}\geq p_n+2. $$ А на интервале длины $2^{p_m}$ интеграл от $f_m$ по переменной $y_m$ равен нулю. Теперь обратим внимание на распределение значений функции $$ {A_n(x,y)=A(f_n, t_n, (x,y))}. $$ На множестве меры ${\frac 1 2 - d_n}$ функция $A_n(x,y)$ равна $0$, на множестве меры $1/ 4 - d_n/2$ она равна $2a_nd_n$ (максимальное значение) и на множестве с такой же мерой $A_n(x,y)$ равна $-2a_nd_n$ (минимальное значение). Остальные промежуточные значения меняются линейным образом. Покажем теперь, как оцениваются значения функции $A(\sum\nolimits_{m=1}^\infty f_m, t_n, (x,y))$. Будем считать, что для всех $m>n$ выполняется условие $$ 2^{p_n-2}n$, то наибольшее по модулю значение среднего $A(f_m, t_n, (x,y))$ будет $a_m$. Таким образом, $$ \Biggl|A\Biggl(\,\sum\limits_{m=n+1}^\infty\, f_m, t_n , (x,y)\Biggr)\Biggr|\leq\sum\limits_{m=n+1}^\infty\,A(|f_m|, t_n , (x,y))\leq\sum\limits_{m=n+1}^\infty a_m=o(a_nd_n). $$ Собирая оценки вместе, получим для всех ${(x,y)\in M}$ $$ A(f, t_n, (x,y))={\Cal O}(a_nd_n)\quad \text{при }n\to\infty. $$ \Par*{Theorem~3.1} доказана. \enddemo Значения $A(f, t_n ,(x,y))$ на множестве меры, близкой к $1/2$, по модулю близки к $2a_nd_n$. Для большинства остальных точек значения функции $A(f, t_n ,(x,y))$ асимптотически являются $o(a_nd_n)$. Таким образом, нельзя получить оценку вида $o(a_nd_n)$. При этом для заданных последовательностей $a_n$ и $d_n$ мы можем выбирать $t_n\to\infty$, растущую сколь угодно быстро. Тем самым получаем сколь угодно медленную сходимость средних Биркгофа, причем распределение значений этих средних таково, что на почти половине пространства функция принимает значения асимптотически бесконечно большие по сравнению со значениями, которые функция принимает на оставшейся части пространства. \head 4. Медленные сходимости средних Биркгофа в~общем случае \endhead Мы показали, как реализуется медленная сходимость средних для потока над 2-одометром. Аналогичный эффект можно получить в общем случае. Мы отчасти повторяем предыдущее построение, при выборе $t_{n+1}$ и $f_{n+1}$ применяем специальное прямоугольное представление потока Рудольфа и эргодическую теорему Биркгофа. Момент $t_{n+1}$ выбирается таким, что средние $A(f_1+\dots +f_n, t_{n+1} ,x)$ для большинства $x$ чрезвычайно малы по сравнению с $a_{n+1}$. Для выбора $f_{n+1}$ используется теорема о специальном прямоугольном представлении~(см., например, [9, Chapter~11, Section~4]). По теореме Рудольфа для апериодического эргодического потока $T_t$ на вероятностном пространстве~${(X,m)}$ и любых положительных чисел $p,q$ таких, что $p/q$ иррационально, существует специальное представление потока с функцией, принимающей два значения: $p$ и $q$. Таким образом, фазовое пространство потока можно разбить на два измеримых множества, которые мы отождествляем с прямоугольниками. Первое множество состоит из отрезков траекторий длины $p$, а второе --- длины $q$. \proclaim{Theorem 4.1} Пусть $T_t$~--- апериодический эргодический поток на вероятностном пространстве~${(X,m)}$ и ${\varphi(t)\to+0}$. Тогда найдется функция ${f\in L_1(X,m)}$ с нулевым средним такая, что для п.в. ${x\in X}$ $$ \limsup_{t\to+\infty}\frac{1}{\varphi(t)}|A(f,t,x)|=+\infty. $$ \endproclaim \demo{Proof} Без ограничения общности можно считать, что $\varphi(t)$ монотонно стремится к нулю. Функцию ${f\in L_1(X,m)}$ ищем в виде $$ f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x_n,y_n), $$ где $f_n$ строится следующим образом. В представлении Рудольфа выбираем параметры высот прямоугольников: $p=h_n$ и $q=h_n+\varepsilon_n$. При этом $$ h_nc_n+(h_n+\varepsilon_n)d_n=1 $$ и ${h_n\to+\infty}$, ${\varepsilon_n\to0}$. Функция $ f_n(x_n,y_n)$ %\?в русском здесь запятая, будет зависеть только от высоты $y_n$. А именно, пусть ${f_n=a_n}$ при ${0\leq y_n1/2-2\delta_n-\frac{\varepsilon_nd_n}{2} $$ имеем $$ |A(f,t_n,x)|=a_n+o(a_n); $$ а на некотором множестве ${\Cal E}_n$ с такой же оценкой на меру $$ m({\Cal E}_n)>{1\over 2}-2\delta_n-\frac{\varepsilon_nd_n}{2} $$ будет $$ |A(f,t_n,x)|=o(a_n). $$ Пусть ${{\Cal F}=\bigcap\nolimits_{n=1}^\infty({\Cal E}_n\cup{\Cal D}_n)}$. Тогда, учитывая~\EquTag{I}{$(I)$}, имеем $$ {m({\Cal F})>1-\sum\limits_{n=1}^\infty\varepsilon_nd_n+4\delta_n>0}. $$ Для всех $x\in{\Cal F}$ для рассматриваемых средних $$ \text{либо}\quad |A(f,t_n,x)|=a_n(1+\alpha_n), \quad \text{либо}\quad |A(f,t_n,x)|=\alpha_na_n. $$ В любом случае для таких $x$ из второго условия в~\EquTag{III}{$(III)$} получим $$ \frac{ |A(f,t_n,x)|}{\varphi(t_n)}\to+\infty, $$ т.~е. для $x\in{\Cal F}$ $$ \limsup_{t\to+\infty}\frac{1}{\varphi(t)}|A(f,t,x)|=+\infty. $$ Для п.в. $x\in X\setminus {\Cal F}$ будет выполняться такое же соотношение ввиду закона нуля или единицы для скорости сходимости~[10]. \enddemo \head 5. О медленной сходимости временных средних для~обмотки тора и~непрерывной функции \endhead Оказывается, что усреднение непрерывной функции вдоль траекторий гладкого потока можно совместить с эффектом медленной сходимости средних. Для этого подходящим образом будем сглаживать функции $f_n$, рассмотренные выше. Пусть $T_t(x,y)=(\{x+t\},\{y+ct\})$, $(x,y)\in M$,~--- эргодическая обмотка тора вдоль вектора $(1,c)$, где $c$ --- иррациональное число, которое приближается рациональными дробями $p_n/q_n$ так, что $$ 00}$, с условием ${\sum\nolimits_n a_n<\infty}$. А именно, разделим $R_n$ на четыре равные по площади части. На первой четверти $f_n$ равна $a_n$ на множестве, отделенном от границы и площади близкой к $1/4$. На оставшейся части этой четверти $f_n$ гладко убывает до нуля на границе. На втором и четвертом параллелограммах $f_n$ равна 0. На третьей четверти значения антисимметричны значениям на первой четверти (\Fig*{Fig.~3}). \Figure \name{Fig.~3} \caption{Параллелограмм $R_n$ и определение функции $f_n$ на нем.} \body \iftex \epsfxsize150mm \epsfbox{4989.ams+fig3.eps} \else \file{4989.ams+fig3.png} \fi \endbody \endFigure Вне прямоугольника $R_n$ и на его границе пусть $f_n$ равна $0$. Также считаем, что $$ \int\limits_0^{q_n\sqrt{1+c^2}}f_n(x_n,y_n)\,dy_n=0 $$ для каждого ${x_n\in[0,1/q_n]}$. В результате получим непрерывную функцию $f(x,y)=\sum\nolimits_{n=1}^\infty f_n(x_n,y_n)$. Пусть ${\varphi(t)\to+0}$ при $t\to+\infty$. Положим $t_n=\delta_nq_n\sqrt{1+c^2}$, а также пусть выполняются условия \EquTag{II}{$(II)$} и \EquTag{III}{$(III)$}, где вместо $h_n$ берем $q_n$. \proclaim{Theorem 5.1} Пусть $f$~--- построенная выше функция. Тогда эргодические средние $A(f,t,(x,y))$ для обмотки тора вдоль вектора ${(1,c)}$ удовлетворяют для п.в. ${(x,y)\in M}$ соотношению $$ \limsup_{t\to+\infty}\frac{1}{\varphi(t)}|A(f,t,(x,y))|=+\infty. $$ \endproclaim \demo{Proof} Временн\'{о}е среднее представим в виде $$ A(f,t_n,(x,y))=A\Biggl(\,\sum\limits_{m=1}^{n-1}f_m, t_n, (x,y)\Biggr) +A(f_n,t_n,(x,y))+A\Biggl(\,\sum\limits_{m=n+1}^\infty f_m, t_n, (x,y)\Biggr). $$ Для всех ${(x,y)\in M}$ имеем очевидную оценку для третьего слагаемого $$ \Biggl|A\Biggl(\,\sum\limits_{m=n+1}^\infty f_m, t_n, (x,y)\Biggr)\Biggr|\leq \sum\limits_{m=n+1}^\infty A(|f_m|, t_n, (x,y))\leq\sum\limits_{m=n+1}^\infty a_m=o(a_n). $$ Чтобы оценить первое слагаемое в указанной выше сумме, воспользуемся занулением интегралов вдоль траектории потока. На большей части отрезков траекторий, вдоль которых берется интеграл, вклад в интеграл нулевой в силу выбора функций $f_m$. Нам нужно оценить только значения интегралов вдоль начальной и конечной частей отрезков траектории. А именно, для каждого $m=1,\dots ,n$ и всех $(x,y)\in M$ $$ \align t_nA(f_m, t_n, (x,y)) &=\int\limits_0^{q_m\sqrt{1+c^2}-y_m}f_m(T_s(x_m,y_m))\,ds+ \underbrace{\int\limits_0^{q_m\sqrt{1+c^2}}f_m(x^{(1)}_m,s)\,ds}_{=0}+ %\?такой перенос \\ &\qquad\dots +\underbrace{\int\limits_0^{q_m\sqrt{1+c^2}}f_m(x^{(k-1)}_m,s)\,ds}_{=0} +\int\limits_0^{y_m}f_m(x^{(k)}_m,s)\,ds. \endalign $$ Отсюда уже получаем $$ \Biggl|A\Biggl(\,\sum\limits_{m=1}^{n-1}f_m, t_n, (x,y)\Biggr)\Biggr|\leq\sum\limits_{m=1}^{n- 1}\frac{2a_mq_m\sqrt{1+c^2}}{t_n}={\Cal O}\Bigl(\frac{q_1+\dots+q_{n- 1}}{\delta_nq_n}\Bigr)=o(a_n). $$ Второе слагаемое ведет себя так же, как и в \Par*{Theorem~4.1} для общего случая. А именно, на множестве, близком по мере к $1/2$, средние $|A(f,t_n,(x,y))|=a_n+o(a_n)$, а на другом множестве, также близком по мере к $1/2$, средние ведут себя как ${o(a_n)}$. \Par*{Theorem~5.1} доказана. \enddemo \head 6. Заключительные замечания \endhead С тематикой скоростей сходимости эргодических средних сопряжено большое количество нерешенных задач. \specialhead Сходимость средних и гладкость усредняемой функции \endspecialhead Построенная в \Par*{Theorem~5.1} функция является лишь непрерывной. Интересен вопрос о существовании гладких функций со сколь угодно медленной скоростью сходимости средних. Как показал Ковада~[11] (см. также~[12]), начиная с некоторого показателя гладкости, зависящего от скорости аппроксимации иррационального числа $c$, скорость сходимости эргодических средних для обмотки тора будет максимальной ${\Cal O}(1/t)$. \specialhead Возможные распределения средних Биркгофа \endspecialhead Мы показали, как выбор подходящей усредняемой функции реализует диапазон скоростей сходимости от максимальной до сколь угодно медленной. Эффекты замедления скоростей сходимости средних можно обнаруживать для широкого класса групповых действий (см.~[4]). Интерес представляет не только оценка скоростей сходимости, но и более общая задача о возможных распределениях значений средних Биркгофа. Благодаря выбору усредняемой функции этими распределениями можно управлять. Например, пусть мы хотим, чтобы распределение значений функции $A(f, t_n, x)$ для эргодического потока было сколь угодно близко к распределению значений, например, функции $c_n s^2$, $s\in[0, 1]$, относительно меры Лебега на $[0, 1]$. Если числа $c_n$ достаточно быстро стремятся к $+0$, задача решается методом, похожим на изложенный выше, при подходящем выборе функций~$f_m$. \specialhead Поиск оптимальных весовых распределений \endspecialhead Как уже отмечалось, при рассмотрении весовых усреднений возможно увеличение диапазона быст\-рых скоростей сходимости средних (см.~[5], а также ссылки в этой работе). В~связи с этим возникает ряд новых задач. Сформулируем следующие частные случаи. Пусть $f$~--- функция с нулевым средним заданной гладкости $k\geq1$. Для эргодического сдвига $T$ на торе рассмотрим всевозможные выпуклые суммы вида $$ A_w(f,N,x)=\sum _{n=1}^Nw_{n,N}f(T^nx), $$ где $w=(w_{1,N},\dots,w_{N,N})$~--- вероятностный вектор. При каких вероятностных распределениях коэффициентов $w_{n,N}$ при заданном достаточно большом $N$ нормы $\|A_w\|$ (в пространствах $L_1$ или $L_2$, или $L_\infty$) будут минимальны? Аналогичный вопрос ставится для непрерывного времени и обмоток тора. Для средних $$ A_w(f,t,x) =\int\limits_0^t w(s,t) f(T_s x)\,ds, $$ где $w\geq 0$ и $\int\nolimits_0^t w(s,t)ds =1$ для каждого $t>0$, ищем $\inf_{w}\|A_w\|$. Даже в случае вращения окружности такие задачи представляются нетривиальными. \Refs \ref\no 1 \by Krengel~U. \paper On the speed of convergence in the ergodic theorem \jour Monatsh. Math. \yr 1978 \vol 86 \issue 1 \pages 3--6 \endref \ref\no 2 \by Ryzhikov~V.V. \paper Slow convergences of ergodic averages \jour Math. Notes \yr 2023 \vol 113 \issue 5 \pages 704--707 \endref \ref\no 3 \by Alpern~S. \paper Return times and conjugates of an antiperiodic transformation \jour Ergodic Theory Dynam. Systems \yr 1981 \vol 1 \issue 2 \pages 135--143 \endref \ref\no 4 \by Ryzhikov~V.V. \paper Slow convergence of weighted averages for flows and actions of countable amenable groups \jour Russian Math. Surveys \yr 2025 \vol 80 \issue 5 \pages 915--918 \endref \ref\no 5 \by Tong~Z. and Li~Y. \paper Quantitative uniform exponential acceleration of averages along decaying waves \jour Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. \yr 2025 \vol 89 \issue 6 \pages 131--161 \endref \ref\no 6 \by Kachurovskii~A.G., Podvigin I.V., and Svishchev~A.A. \paper The maximum pointwise rate of convergence in Birkhoff's ergodic theorem \jour Zap. Nauchn. Sem. POMI \yr 2020 \vol 498 \pages 18--25 \endref \ref\no 7 \by Kochergin~A.V. \paper On the growth of Birkhoff sums over a rotation of the circle \jour Math. Notes \yr 2023 \vol 113 \iftex \issue 5--6 \else \issue 5 \fi \pages 784--793 \endref \ref\no 8 \by Kochergin~A.V. \paper On the recurrence of Birkhoff sums for a circle rotation and the H\"older function \jour Theory Probab. Appl. \yr 2026 \vol 70 \issue 4 \pages 584--592 \endref \ref\no 9 \by Kornfeld~I.P., Sinai~Ya.G., and Fomin~S.V. \book Ergodic Theory \publ Springer \publaddr New York \yr 1981 \endref \ref\no 10 \by Kachurovskii~A.G., Podvigin I.V., and Svishchev~A.A. \paper A~zero-one law for the rates of convergence in the Birkhoff ergodic theorem with continuous time \jour Siberian Adv. Math. \yr 2022 \vol 32 \issue 3 \pages 186--196 \endref \ref\no 11 \by Kowada~M. \paper Convergence rate in the ergodic theorem for an analytic flow on the torus \inbook Proceedings of the Second Japan-USSR Symposium on Probability Theory \bookinfo (Kyoto, 1972) \publaddr Berlin and Heidelberg \publ Springer \yr 1973 \pages 251--254 \finalinfo Lecture Notes in Math., 330 \endref %(Maruyama, G., Prokhorov, Y.V. (eds)). \ref\no 12 \by Ladouceur~S. and Weber~M. \paper Note \`a propos d'un r\'esultat de Kowada sur les flots analytiques \inbook S\'eminaire de Probabilit\'es, XXVI \publaddr Berlin \publ Springer \yr 1992 \pages 608--618 \finalinfo Lecture Notes in Math., 1526 \endref %Note concerning a result of Kowada on analytic flows \endRefs \enddocument