\documentstyle{SibMatJ} %\proofmodetrue \topmatter \Author Gorokhova \Initial S. \Initial G. \Email lanagor71\@gmail.com \AffilRef 1 \endAuthor \Author Emelyanov \Initial E. \Initial Yu. \Email emelanov\@math.nsc.ru \AffilRef 2 \endAuthor \Affil 1 \Organization Southern Mathematical Institute \City Vladikavkaz \Country Russia \endAffil \Affil 2 \Organization Sobolev Institute of Mathematics \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \translator Author\endtranslator \iauthor Gorokhova~S.G. and Emelyanov~E.Y.\endiauthor \UDclass 517.983\endUDclass \Origin \Journal \VMZh \Year 2021 \CopyrightYear 2021 \Volume 24 \Issue 3 \Pages 55--61 \DOI 10.46698/f5525-0005-3031-h \endOrigin \pforename S.G.\endpforename \psurname Gorokhova\endpsurname \pemail lanagor71\@gmail.com\endpemail \pforename E.Y.\endpforename \psurname Emelyanov\endpsurname \pemail emelanov\@math.nsc.ru\endpemail \author S.~G.~Gorokhova and E.~Yu.~Emelyanov\endauthor \title On Operators Dominated by Kantorovich--Banach Operators and L\'{e}vi Operators in Locally Solid Lattices \endtitle \thanks The work was carried out in the framework of the State Task to the Sobolev Institute of Mathematics (Project FWNF--2022--0004). \endthanks \datesubmitted October 10, 2021\enddatesubmitted \dateaccepted March 4, 2023\enddateaccepted %\? \address \endaddress \affil S.~G.~Gorokhova\\ Southern Mathematical Institute, Vladikavkaz, Russia \endaffil \email lanagor71\@gmail.com\endemail %\orcid\endorcid \affil E.~Yu.~Emelyanov\\ Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia \endaffil \email emelanov\@math.nsc.ru\endemail %\orcid\endorcid \keywords locally solid lattice, Lebesgue operator, L\'evi operator, $KB$-operator, lattice homomorphism \endkeywords \abstract Линейный оператор $T$, действующий в локально солидной векторной решетке $(E,\tau)$, называется: лебеговым оператором, если $Tx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow}0$ для любой сети $x_\alpha{\downarrow} 0$ в $E$; $KB$-оператором, если для всякой $\tau$-ограниченной возрастающей сети $x_\alpha$ в $E_+$ существует $x\in E$ такой, что $Tx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} Tx$; квази $KB$-оператором, если он переводит $\tau$-ограниченные возрастающие сети в $E_+$ в $\tau$-фундаментальные; оператором Леви, если для всякой $\tau$-ограниченной возрастающей сети $x_\alpha$ в $E_+$ существует $x\in E$ такой, что $Tx_\alpha\overset{o}\to{\rightarrow}Tx$; оператором квази Леви, если $T$ переводит $\tau$-ограниченные возрастающие сети в~$E_+$ в $o$-фундаментальные. В данной заметке рассматривается проблема мажорирования операторов в локально солидных решетках с помощью квази $KB$-операторов и операторов квази Леви. Кроме того, исследуются некоторые свойства операторов Лебега, Леви и $KB$-операторов. В частности, установлено, что пространство операторов Лебега является подалгеброй алгебры всех регулярных операторов. \endabstract %A linear operator $T$ % acting in a locally solid vector lattice $(E,\tau)$ is said to be: a Lebesgue % operator, if $Tx_\alpha\overset{\tau}{\to}0$ for every net in $E$ satisfying % $x_\alpha\downarrow 0$; a $KB$-operator, if, for every $\tau$-bounded increasing net % $x_\alpha$ in $E_+$, there exists an $x\in E$ with $Tx_\alpha\overset{\tau}{\to}Tx$; % a quasi $KB$-operator, if $T$ takes $\tau$-bounded increasing nets % in $E_+$ to $\tau$-Cauchy ones; a L\'evi operator, if, for every $\tau$-bounded increasing net % $x_\alpha$ in $E_+$, there exists an $x\in E$ such that $Tx_\alpha\overset{o}{\to}Tx$; % a quasi Levi operator, if $T$ takes $\tau$-bounded increasing nets % in $E_+$ to $o$-Cauchy ones. The present article is devoted to the domination problem for % the quasi $KB$-operators and the quasi L\'evi operators in locally solid vector lattices. % Moreover, some properties of Lebesgue operators, L\'evi operators, and $KB$-operators are % investigated. In particularly, it is proved that the vector space Lebesgue operators % is a subalgebra of the algebra of all regular operators. \endtopmatter \noindent Все векторные решетки, о которых пойдет речь в данной заметке, предполагаются вещественными и архимедовыми, а векторные топологии --- хаусдорфовыми. Главная тема заметки: проблема мажорирования операторов в локально солидных решетках с помощью решеточных гомоморфизмов Канторовича --- Банаха, квази $KB$-операторов и операторов квази Леви. Интерес к этой тематике возник недавно (см.~[1]). Напомним, что локально солидная решетка $(E,\tau)$ называется: i)~{\it лебеговой} ($\sigma$-{\it лебеговой}), если для любой сети (последовательности) $x_\alpha\downarrow 0$ в $E$ выполняется $x_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$; ii)~{\it решеткой Леви} ($\sigma$-{\it Леви}), если любая возрастающая $\tau$-ограниченная сеть (последовательность) в $E_+$ обладает точной верхней гранью в $E$. Условие $x_\alpha\downarrow 0$ в i) можно заменить на $x_\alpha\overset{o}\to{\rightarrow} 0$. Нормированная решетка $(E,\|\cdot\|)$ называется {\it пространством Канторовича--Банаха\/} (или коротко {\it $KB$-пространством}), если всякое ограниченное по норме направленное вверх множество в $E_+$ сходится по норме. Каждое $KB$-пространство является решеткой Леви с порядково-непрерывной полной нормой; всякая нормированная решетка Леви ($\sigma$-Леви) является $K$-пространством ($K_\sigma$-пространством). iii)~Локально солидная решетка $(E,\tau)$ называется $KB$ ($\sigma$-$KB$) {\it решеткой}, если всякая возрастающая $\tau$-ограниченная сеть (последовательность) в $E_+$ $\tau$-сходится. Известно, что каждая $KB$ ($\sigma$-$KB$) решетка является решеткой Леви ($\sigma$-Леви), а всякая решетка Леви ($\sigma$-Леви) является $K$-пространством ($K_\sigma$-пространством) (см., например, [2, Теорема~2.21(c)]). Линейный оператор $T$, действующий в локально солидной решетке $(E,\tau)$, называется {\it $o\tau$-непрерывным} ({\it $\sigma$-$o\tau$-непрерывным}), если $Tx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$ для любой сети (последовательности) $x_\alpha$ такой, что $x_\alpha\overset{o}\to{\rightarrow}{0}$ [3]. Различные локально солидные версии свойств банаховых решеток, вроде свойства быть $KB$-пространством, изучались недавно многими авторами (см., например, [3--6]). %\cite{JAM}, \cite{BA}, \cite{AM}, \cite{TA}). Основная идея операторных версий свойств топологических векторных решеток заключается в перераспределении топологических и порядковых свойств между областью определения и областью значения исследуемого оператора. Поскольку порядковая сходимость в общем случае не топологична, наиболее важные операторные версии возникают, когда $o$- и $\tau$-сходимости вовлекаются одновременно. Следующее определение в общем виде можно найти в~[1]. \demo{Definition~1} Линейный оператор~$T$, действующий в локально солидной решетке~$E$, называется: {\rm (a)}~{\it лебеговым\/} ({\it $\sigma$-лебеговым}), если $Tx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$ для любой сети (последовательности) $x_\alpha\downarrow 0$ в $E$; {\rm (b)}~{\it $o\tau$-ограниченным} ({\it $o\tau$-компактным}), если множество $T[0,x]$ $\tau$-ограничено ($\tau$-вполне ограничено) в $E$ для каждого $x\in E_+$; {\rm (c)}~оператором ($\sigma$-) Канторовича~--- Банаха (далее ($\sigma$-) $KB$-оператором), если для всякой $\tau$-ограниченной возрастающей сети (последовательности) $x_\alpha$ в $E_+$ существует $x\in E$ такой, что $Tx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} Tx$; {\rm (d)}~{\it квази $KB$\/} ({\it квази $\sigma$-$KB$}) оператором, если он переводит $\tau$-ограниченные возрастающие сети (последовательности) в $E_+$ в $\tau$-фундаментальные сети; {\rm (e)}~оператором {\it Леви} ({\it $\sigma$-Леви}), если для всякой $\tau$-ограниченной возрастающей сети (последовательности) $x_\alpha$ в $E_+$ существует $x\in E$ такой, что $Tx_\alpha\overset{o}\to{\rightarrow} Tx$; {\rm (f)}~оператором {\it квази Леви} ({\it квази $\sigma$-Леви}), если $T$ переводит $\tau$-ограниченные возрастающие сети (последовательности) в $E_+$ в $o$-фундаментальные сети. \enddemo \proclaim{Proposition~1 \rm (cp. [1, Предложение 2.7])} Всякий непрерывный линейный оператор $T$ в локально солидной решетке $(E,\tau)$ является $o\tau$-ограниченным. \endproclaim \smallskip Утверждение сформулированного выше предложения непосредственно вытекает из двух классических фактов: 1) в локально солидной решетке $(E,\tau)$ порядково ограниченные множества $\tau$-ограничены; 2) всякий $\tau$-непрерывный линейный оператор переводит $\tau$-ограниченные множества в $\tau$-ограниченные. %\label{rP-operators} \demo{Definition~2 \rm (см. [7, Определение 2])} Пусть {\rm P} --- некоторое множество линейных операторов, действующих между полуупорядоченными векторными пространствами $X$ и~$Y$. Оператор $T:X\to Y$ называется {\it регулярным {\rm P}-оператором} $($коротко {\it {\rm r-P}-оператором}$)$, если существуют два положительных {\rm P}-оператора $T_1,T_2:X\to Y$ такие, что $T=T_1-T_2$. Множество всех \text{\rm r-P}-операторов из $X$ в $Y$ будет обозначаться через $\text{\rm r-P}(X,Y)$. \enddemo %\label{reg lebesgue is o-cont} \proclaim{Proposition~2} Всякий регулярно лебегов $($регулярно $\sigma$-лебегов$)$ оператор $T$ в~локально солидной решетке $(E,\tau)$ является порядково непрерывным $($порядково $\sigma$-непрерывным$)$. \endproclaim $\vartriangleleft$ Без ограничения общности предположим, что $T\ge 0$. Пусть $x_\alpha\downarrow 0$ --- сеть (последовательность) в $E$. Тогда $Tx_\alpha{\downarrow}$ и $Tx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$. Следовательно, $Tx_\alpha\downarrow 0$ в силу, например, [2, Теорема 2.21(c)].~$\vartriangleright$ \proclaim{Corollary~1} Множество $\text{\rm r-L}_{Leb}(E)$ $($$\text{\rm r-L}_{Leb}^\sigma (E)$$)$ регулярно лебеговых $($регулярно $\sigma$-лебеговых$)$ операторов в локально солидной решетке $(E,\tau)$ является подалгеброй алгебры $L_r(E)$ регулярных операторов в $E$. Более того, $I \in \text{\rm r-L}_{Leb}(E)$ $($$I \in \text{\rm r-L}_{Leb}^\sigma (E)$$)$ тогда и только тогда, когда решетка $(E,\tau)$ лебегова $($$\sigma$-лебегова$)$, где $I$ --- тождественный оператор в $E$. \endproclaim $\vartriangleleft$ Достаточно установить, что множество $\text{\rm r-L}_{Leb}(E)$ замкнуто относительно композиции операторов. Пусть $T,S \in\text{\rm r-L}_{Leb}(E)$. Без ограничения общности предположим, что $T,S\ge 0$. Возьмем сеть $x_\alpha\downarrow 0$. Тогда, по предложению~2, $Sx_\alpha\downarrow 0$ и, значит, $TSx_\alpha \overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$. В случае регулярно $\sigma$-лебеговых операторов доказательство аналогичное, а оставшаяся часть следствия тривиальна. ~$\vartriangleright$ %\label{PC1} \proclaim{Lemma~1 \rm (ср. [1, Лемма~2.1])} Линейный оператор $T$ в локально солидной решетке $(E,\tau)$ является регулярно лебеговым $($регулярно $\sigma$-лебеговым$)$ тогда и только тогда, когда $T$ регулярно $o\tau$-непрерывен $($регулярно $\sigma$-$o\tau$-непрерывен$)$. \endproclaim $\vartriangleleft$ Не ограничивая общности, предположим, что $T\ge 0$ и, поскольку случай $\sigma$-лебегового оператора сходный, рассмотрим только лебегов оператор. Достаточность доказывается непосредственной проверкой. Чтобы установить необходимость, допустим, что оператор $T$ лебегов, и $x_\alpha\overset{o}\to{\rightarrow}0$ в $E$. Возьмем в $E$ сеть $y_\beta\downarrow 0$ такую, что для каждого $\beta$ существует $\alpha_\beta$ удовлетворяющее $|x_\alpha|\le y_\beta$ при $\alpha\ge\alpha_\beta$. Поскольку $T\ge 0$, имеем $|Tx_\alpha|\le T|x_\alpha|\le Ty_\beta$ при $\alpha\geq\alpha_\beta$. И, так как оператор $T$ лебегов, $Ty_\beta\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$. Следовательно, $Tx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$, поскольку топология $\tau$ локально солидная. ~$\vartriangleright$ %\label{regular are otau-bounded} \proclaim{Proposition~3 \rm (см. [1, Предложение 2.1])} Всякий регулярный оператор $T$ в локально солидной решетке $(E,\tau)$ $o\tau$-ограничен. \endproclaim \smallskip Приведем список полезных свойств рассматриваемых операторов. a)~Тождественный оператор в $E$ лебегов/$KB$/Леви тогда и только тогда, когда решетка $E$~--- лебегова/$KB$/Леви соответственно. Всякий $o\tau$-непрерывный ($\sigma$-$o\tau$-непрерывный) оператор является лебеговым ($\sigma$-лебеговым) и, согласно лемме~1, всякий регулярно лебегов (регулярно $\sigma$-лебегов) оператор в $E$ является регулярно $o\tau$-непрерывным (регулярно $\sigma$-$o\tau$-непрерывным). Авторам неизвестно, является ли всякий регулярный лебегов ($\sigma$-лебегов) оператор $o\tau$-непрерывным ($\sigma$-$o\tau$-непрерывным). b)~Разрывный оператор $Tx:=(\sum_{k=1}^{\infty}x_k)e_1$ в нормированной решетке $(c_{00},\|\cdot\|_\infty)$ является $o\tau$-компактным и $o\tau$-непрерывным, однако $T$ не компактен. Всякий непрерывный линейный оператор $T$ в локально солидном локально выпуклом лебеговом дискретном $K$-пространстве $o\tau$-компактен, ввиду [2, Следствие~6.57]. c)~Всякий $KB$-оператор является квази $KB$-оператором, и всякий непрерывный линейный оператор в $KB$-пространстве --- $KB$-оператор. Хорошо известно, что тождественный оператор $I$ в банаховой решетке является $KB$-оператором тогда и только тогда, когда~$I$~--- $\sigma$-$KB$-оператор, тогда и только тогда, когда $I$ --- квази $KB$-оператор. Предложение~4 ниже показывает, что понятия квази $KB$ и квази $\sigma$-$KB$ операторов совпадают. Всякий порядково ограниченный оператор в $KB$-пространстве является квази $KB$-оператором. d)~Всякий компактный оператор $T$ в банаховой решетке $o\tau$-компактен. При этом, компактный оператор не обязан быть лебеговым (см. Пример~1 ниже). В частности, $o\tau$-компактный оператор не обязательно $o\tau$-непрерывен. %\label{c_w(R)} \demo{Example~1 \rm (ср. [1, Пример 3.1])} Пусть $E=(c_\omega(\Bbb{R}),\|\cdot\|_\infty)$ --- банахова решетка всех ограниченных вещественных функций на $\Bbb{R}$ таких, что каждая $f\in E$ отличается от константы~$a_f$ на не более, чем счетном подмножестве~$\Bbb{R}$. Определим положительный оператор $T$ в $E$ следующим образом: $Tf$ --- постоянная функция $a_f\cdot\Bbb{I}_{\Bbb{R}}\in E$, для которой множество $\{d\in\Bbb{R}: f(d)\ne a_f\}$ не более, чем счетно. (1)~$T$ --- непрерывный оператор ранга 1 $($и, следовательно, $KB$\, компактный и $o\tau$-компактный$)$ в $E$. Пусть $f_n\overset{o}\to{\rightarrow} 0$. Поскольку для всякого $\varepsilon>0$ существует $n_\varepsilon$ такое, что множество $\cup_{n\ge n_\varepsilon}\{d\in\Bbb{R}: |f_n(d)|\ge\varepsilon\}$ не более, чем счетно, то $\|Tf_n\|_\infty<\varepsilon$ для всех $n\ge n_\varepsilon$. Таким образом, оператор $T$ является $\sigma$-$o\tau$-непрерывным и, значит, $\sigma$-лебеговым по отношению к топологии нормы на $E$. (2)~Оператор $T$ не является лебеговым. В самом деле, для сети $f_\alpha:=\Bbb{I}_{\Bbb{R}\setminus\alpha}\in E$, индексированной семейством $\Delta$ всех конечных подмножеств $\Bbb{R}$, упорядоченных по включению, имеем $f_\alpha\downarrow 0$, при том, что $\|Tf_\alpha\|_\infty=\|\Bbb{I}_{\Bbb{R}}\|_\infty=1$ для всех $\alpha\in\Delta$. \endproclaim %\label{prop4} \proclaim{Proposition~4 \rm (ср., например, [1, Предложение 1.2])} Оператор $T$ в локально солидной решетке будет квази $KB$-оператором тогда и только тогда, когда $T$ квази $\sigma$-$KB$. \endproclaim Отсюда следует, что всякая топологически полная $\sigma$-$KB$ решетка $(E,\tau)$ является $KB$ решеткой (см. [1, Следствие~1.1]). Заметим, что множества $L_{o\tau}(E)$, $L_{o\tau{}b}(E)$ и $L_{o\tau{}c}(E)$ $o\tau$-непрерывных, $o\tau$-ограниченных и $o\tau$-компактных операторов в локально солидной решетке $E$ суть векторные пространства, удовлетворяющие $L_{o\tau c}(E)\subseteq L_{o\tau b}(E)$. Решетка $E$ называется {\it латерально $($$\sigma$-$)$полной}, если любое (счетное) подмножество попарно дизъюнктных векторов из $E_+$ имеет супремум. Латерально полная векторная решетка дискретна тогда и только тогда, когда она решеточно изоморфна $\Bbb{R}^S$ для некоторого множества $S$. \demo{Definition~3 \rm (ср., например, [1, Определение 2.1])} Локально солидная решетка $(E,\tau)$ является {\it $\tau$-латерально} ({\it $\sigma$-}) {\it полной}, если всякое $\tau$-ограниченное (счетное) подмножество попарно дизъюнктных векторов из $E_+$ обладает точной верхней гранью. \enddemo Всякая латерально ($\sigma$-) полная локально солидная решетка $(E,\tau)$ $\tau$-латерально ($\sigma$-) полна, и всякое порядково полное $AM$-пространство $X$ с порядковой единицей $\tau$-латерально полно по отношению к норме. \demo{Example~2 \rm (ср. [1, Пример 2.1])} Рассмотрим векторную решетку $E$ вещественных функций на $\Bbb{R}$ таких, что каждая $f\in E$ отличается от константы $a_f$ на не более, чем счетном подмножестве $\Bbb{R}$, и $f-a_f\Bbb{I}_\Bbb{R}\in\ell_1(\Bbb{R})$ для каждой $f\in E$. Векторная решетка $E$ полна по отношению к норме $\|f\|:=|a_f|+\|f-a_f\Bbb{I}_\Bbb{R}\|_1$. Ясно, что $E$ не является $K_\sigma$-пространством, поскольку $f_n:=\Bbb{I}_{\Bbb{R}\setminus\{1,2,\dots,n\}}{\downarrow} \ge 0$, при том, что точной нижней грани $\inf\nolimits_{n \in \Bbb{N}}f_n$ в $E$ не существует. Отметим, что $E$ не является $\tau$-латерально $\sigma$-полной по отношению к топологии, порожденной нормой на $E$. В самом деле, ограниченное по норме счетное множество попарно дизъюнктных ортов $e_n=\Bbb{I}_{\{n\}} \in E_+$ не имеет супремума в~$E$. \endproclaim В силу [1, Предложение 2.4], всякая решетка Леви $($$\sigma$-Леви$)$ является $\tau$-латерально ($\sigma$-) полным $K$($K_\sigma$) пространством. Рассмотрим теперь проблему мажорирования для положительных операторов. А~именно, пусть $T$ и $S$ --- положительные операторы в $E$ такие, что $0\le S\le T$. При каких условиях из предположения, что оператор $T$ лебегов, $o\tau$-ограниченный, $o\tau$-компактный, $KB$ или Леви, вытекает, что оператор $S$ обладает тем же свойством? Ясно, что проблема имеет положительное решение для лебеговых, $\sigma$-лебеговых и $o\tau$-ограниченных операторов. Напомним, что всякий порядково ограниченный сохраняющий дизъюнктность оператор $T$ в векторной решетке $E$ имеет модуль $|T|$, удовлетворяющий $|T||x|=|T|x||=|Tx|$ для всех $x\in E$ (см., например, [8, Теорема 2.40]); более того, существуют два решеточных гомоморфизма $R_1,R_2:E\to E$ такие, что $T = R_1-R_2$ (см.~[8, Exercise~1, p.~130]). %\label{$KB$ disj pres dominated property} \proclaim{Proposition~5 \rm (ср. [1, Теорема 2.5])} Пусть $T$~--- порядково ограниченный сохраняющий дизъюнктность $KB$ $($$\sigma$-$KB$$)$ оператор в локально солидной решетке $(E,\tau)$. Если $|S|\le|T|$, тогда $S$ также является $KB$ $($$\sigma$-$KB$$)$ оператором. \endproclaim $\vartriangleleft$ Возьмем $\tau$-ограниченную возрастающую сеть (последовательность) $x_\alpha$ в $E_+$. Тогда $T(x_\alpha-x)\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0$ для некоторого $x\in E$. И, значит, $$ |S(x_\alpha-x)|\le|S||x_\alpha-x|\le|T||x_\alpha-x|=|Tx_\alpha-Tx|\overset{\tau}\to{\rightarrow} 0. $$ Следовательно, $Sx_\alpha\overset{\tau}\to{\rightarrow} Sx$.~$\vartriangleright$ Поскольку для решеточного гомоморфизма $T$ всякий оператор $S$, удовлетворяющий $0\le S\le T$, является решеточным гомоморфизмом (см., например, [8, Теорема 2.14]), следующая теорема вытекает непосредственно из предложения~5. \proclaim{Theorem~1 {\rm (ср. [1, Следствие 2.3])}} Пусть $T$~--- решеточный $KB$ $($$\sigma$-$KB$$)$ гомоморфизм в локально солидной решетке. Тогда всякий оператор $S$, удовлетворяющий условию ${0\le S\le T}$, является решеточным $KB$ $($$\sigma$-$KB$$)$ гомоморфизмом. \endproclaim \smallskip Следующий результат обобщает [4, Предложение 2.9] на локально солидные решетки. \proclaim{Theorem~2 {\rm (ср. [1, Теорема 2.6])}} Пусть $T$~--- положительный квази $KB$-оператор в~локально солидной решетке $(E,\tau)$. Тогда всякий оператор $S$, удовлетворяющий условию $0\le S\le T$, также является квази $KB$-оператором. \endproclaim $\vartriangleleft$ Пусть $x_\alpha$~--- возрастающая $\tau$-ограниченная сеть в $E_+$. Тогда $Tx_\alpha{\uparrow}$ и, поскольку $T$~--- квази $KB$-оператор, сеть $Tx_\alpha$ будет $\tau$-фундаментальной. Возьмем $U\in\tau(0)$ и солидную окрестность $V\in\tau(0)$ такую, что $V-V\subseteq U$. Существует $\alpha_0$, удовлетворяющая $T(x_\alpha-x_\beta)\in V$ для всех $\alpha,\beta\ge\alpha_0$. В частности, $T(x_\alpha-x_{\alpha_0})\in V$ для всех $\alpha\ge\alpha_0$. Поскольку $0\le S\le T$, и $V$ солидна, то $S(x_\alpha-x_{\alpha_0})\in V$ для всех $\alpha\ge\alpha_0$. Таким образом, получаем $$ Sx_\alpha-Sx_\beta=S(x_\alpha-x_{\alpha_0})-S(x_\beta-x_{\alpha_0})\in V-V\subseteq U $$ для всех $\alpha,\beta\ge\alpha_0$. Поскольку окрестность $U\in\tau(0)$ выбрана произвольно, сеть $Sx_\alpha$ $\tau$-фундаментальна.~$\vartriangleright$ \proclaim{Theorem~3 \rm (ср., например, [1, Теорема 2.7])} Пусть $T$ --- положительный квази Леви оператор в локально солидной решетке $(E,\tau)$. Тогда всякий оператор $S$, удовлетворяющий условию $0\le S\le T$, тоже является квази Леви оператором. \endproclaim $\vartriangleleft$ Возьмем возрастающую $\tau$-ограниченную сеть $x_\alpha$ в $E_+$. Тогда сеть $Tx_\alpha$ $o$-фундаментальна. Значит, существует сеть $y_\beta\downarrow 0$ в $E$ такая, что для каждого $\beta$ найдется $\alpha_\beta$ такое, что $|Tx_{\alpha_1}-Tx_{\alpha_2}|\le y_\beta$ при всех $\alpha_1, \alpha_2\ge \alpha_\beta$. Тогда при $\alpha_1, \alpha_2\ge \alpha_\beta$ имеем $$ Sx_{\alpha_1}-Sx_{\alpha_2}\le S(x_{\alpha_1}-x_{\alpha_\beta})\le T(x_{\alpha_1}-x_{\alpha_\beta}) \le y_\beta, $$ $$ Sx_{\alpha_2}-Sx_{\alpha_1}\le S(x_{\alpha_2}-x_{\alpha_\beta})\le T(x_{\alpha_2}-x_{\alpha_\beta}) \le y_\beta . $$ Таким образом, $|Sx_{\alpha_1}-Sx_{\alpha_2}|\le y_\beta$ для всех $\alpha_1, \alpha_2\ge \alpha_\beta$, и значит $S$ тоже будет оператором квази Леви.~$\vartriangleright$ \Refs \ref\no 1 \by Alpay~S., Emelyanov~E., and Gorokhova~S. \paper $o\tau$-Continuous, Lebesgue, $KB$, and Levi operators between vector lattices and topological vector spaces \jour Results in Mathematics \yr 2022 \vol 77 \issue 3 \pages 1--25 %\?Article~117 \endref %DOI: 10.1007/s00025-022-01650-3. \ref\no 2 \by Aliprantis~C.D. and Burkinshaw~O. \book Locally Solid Riesz Spaces with Applications to Economics \bookinfo 2nd Edition \publaddr Providence \publ Amer. Math. Soc. \yr 2003 \finalinfo Mathematical Surveys and Monographs; vol.~105 \endref %doi: 10.1090/surv/105 \ref\no 3 \by Jalili~S.A., Azar~K.H., and Moghimi~M.B.F. \paper Order-to-topology continuous operators \jour Positivity \yr 2021 \vol 25 %\issue 3 \pages 1313--1322 \endref %DOI: 10.1007/s11117-021-00817-6. \ref\no 4 \by Bahramnezhad~A. and Azar~K.H. \paper $KB$-Operators on Banach lattices and their relationships with Dunford--Pettis and order weakly compact operators \jour University Politehnica of Bucharest Scientific Bulletin, Ser.~A: Applied Mathematics and Physics \yr 2018 \vol 80 \issue 2 \pages 91--98 \endref \ref\no 5 \by Alt{\i}n~B. and Machrafi~N. \paper Some characterizations of $KB$-operators on Banach lattices and ordered Banach spaces \jour Turkish~J. Math. \yr 2020 \vol 44 %\issue 3 \pages 1736--1743 \endref % DOI: 10.3906/mat-2004-106. \ref\no 6 \by Turan~B. and Alt{\i}n~B. \paper The relation between $b$-weakly compact operator and $KB$-operator \jour Turkish~J. Math. \yr 2019 \vol 43 %\issue 3 \pages 2818--2820 \endref % DOI: 10.3906/mat-1908-11. \ref\no 7 \by Emelyanov~E. \preprint Algebras of Lebesgue and $KB$ Regular Operators on Banach Lattices\nofrills \yr 2022 \bookinfo arXiv.org/abs/2203.08326v2 [math.FA] \endref \ref\no 8 \by Aliprantis~C.D. and Burkinshaw~O. \book Positive Operators \publaddr Dordrecht \publ Springer \yr 2006 \endref %doi: 10.1007/978-1-4020-5008-4 \endRefs \enddocument