\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Nazarov \Initial S. \Initial A. \Gender he \ORCID 0000-0002-8552-1264 \Email srgnazarov108\@gmail.com \Email serna108\@mail.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Institute of Problems of Mechanical Engineering \City St. Petersburg \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted May 4, 2025\enddatesubmitted %\daterevised March 12, 2026\enddaterevised \dateaccepted March 12, 2026\enddateaccepted \UDclass 517.956.8:517.958.539(3) \endUDclass \thanks Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект 124041500009--8). %This work is supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (project 124041500009--8). \endthanks \title Спектр упругих пчелиных сот с~закрепленной поверхностью %The Spectrum of an Elastic Honeycomb with a Fixed Surface \endtitle \abstract В~низкочастотном диапазоне спектра изотропного волновода в форме толстого слоя тонкостенных пчелиных сот с полностью закрепленной поверхностью обнаружено множество раскрытых широких лакун между узкими спектральными сегментами (соответственно зоны торможения и прохождения волн). Упругие волны концентрируются около и осциллируют вдоль ребер сотовых ячеек. Результаты получены посредством построения асимптотики собственных пар модельной задачи на ячейке периодичности, зависящей от параметра Флоке. Основную роль играет явление пограничного слоя, описываемого решениями двух --- плоской векторной и антиплоской скалярной --- задач теории упругости в симметричной двумерной треноге, составленной из единичных полуполос. Решающее наблюдение: единственное собственное число из дискретного спектра скалярной задачи лежит строго ниже спектра векторной. Обоснование асимптотики проведено при помощи классической леммы о ``почти собственных'' числах и векторах, а также проверки сходимости атрибутов собственных вектор-функций. %It is shown that in the low-frequency range of the spectrum of an isotropic %waveguide of thick thin-walled honeycomb layer shape with fully fixed surface %a plenty of gaps are opened between short spectral bands (respectively wave stopping %and passing zones). Elastic waves concentrate near and oscillate along the honeycomb edges. %The results are obtained by means of an asymptotic analysis of eigenpairs of the model problem %in the periodicity cell dependent on the Floquet parameter. The main role is played by the %boundary layer phenomenon described by solutions of two (plane vectorial and anti-plane scalar) %problems in elasticity theory in a symmetric two-dimensional tripod composed from unit semi-strips. %The decisive observation: the unique eigenvalue in the discrete spectrum of the scalar problem %is situated below the spectrum of the vectorial problem. The justification of asymptotics is %performed with the help of lemma about ``almost eigenvalues and eigenvectors'' and an assertion %on convergence of attributes of vector eigenfunctions. \endabstract \keywords гексагональная решетка, слой упругих пчелиных сот, задача Дирихле для пространственной системы Ламе, асимптотика собственных чисел, спектральные лакуны %hexagonal lattice, %layer of elastic honeycomb, %Dirichlet problem %for the spatial Lame system, %asymptotics of eigenvalues, %spectral gaps \endkeywords \endtopmatter \input epsf \input gutable \font\ss=lass1000 \specialhead\Label{Section 1} 1. Постановки задач \endspecialhead Пусть $\boxtimes^0$ --- правильная гексагональная сетка (рис.~1,a) на плоскости ${\Bbb R}^2\ni y=(y_1,y_2)$, т.~е. бесконечный граф с единичными ребрами, встречающимися в вершинах под углом $2\pi/3$, а $\boxtimes^h$ --- $(h/2)$-окрестность множества $\boxtimes^0$, часто называемая ``толстым'' графом, и $h>0$ --- (безразмерный) малый параметр. Систему декартовых координат $y$ зафиксируем так, чтобы ячейка периодичности $\bowtie ^0$ сетки располагалась в ромбе $\diamondsuit$ с вершинами $(\pm3/2,0)$, $(0,\pm\sqrt{3}/2)$ и состояла из двух симметричных ``треног'' $\text{\ss{Y}}^0_{\ell}$ и $\text{\ss{Y}}^0_{\wp}$ (левая $\ell$ и правая $\wp$) с горизонтальными звеньями $\text{\ss{I}}^0_{\ell0}=\{y: y_1\in(-1/2,0)$, $y_2=0\}$ и $\text{\ss{I}}^0_{\wp0}=\{y: y_1\in(0,1/2)$, $y_2=0\}$. Остальные звенья $\text{\ss{I}}^0_{\ell\pm}$ и $\text{\ss{I}}^0_{\wp\pm}$ длиной $1/2$ наклонены под углом $\pm\pi/3$ к оси абсцисс $y_1$, причем знак плюс отвечает тем из них, которые попали на верхнюю полуплоскость ${\Bbb R}^2_+={\Bbb R}_+\times(0,+\infty)$. Плоская ячейка периодичности $\bowtie ^h=\boxtimes^h\cap\diamondsuit$ (рис.~1,b) толстого графа (утолщенной сетки) образована шестью прямоугольниками ${\Bbb I}^h_{\ell/\wp, \alpha}$, $\alpha=0,\pm$, размером $h\times(1-h\sqrt{3})/2$ и двумя треугольниками $\triangle^h_{\ell/\wp}$ с равными сторонами длиной $h$ и с центрами в точках ${\Cal O}^h_{\ell/\wp}$ (рис.~1,b). Введем еще аппликату $z=x_3$ и пространственную декартову систему координат $x=(y,z)\in{\Bbb R}^3$, а также толстый (в вертикальном направлении) слой $\boxtimes^h_H=\boxtimes^h\times(0,H)$ гексагональной ячеистой структуры: у всех геометрических объектов верхний индекс $h$ указывает малую (нулевую при $h=0$) толщину стенок, а нижний $H$ --- их высоту (ср. рис.~1,b и рис.~2,a). \Figure \name{Fig.~1} \caption{Фрагмент плоской гексагональной сетки (a). Ячейка периодичности $\bowtie ^h$ (b)~ утолщенной сетки $\boxtimes^h$: левая тренога $\text{\ss{Y}}^h_\ell$ тонирована глубоко и ее узел $\vartriangle^h_\ell$ зачернен, но узел $\vartriangle^h_\wp$ правой треноги $\text{\ss{Y}}^h_\wp$ высветлен.} \body \iftex \epsfxsize120mm \epsfbox{4991.ams+fig1.eps} \else \file{4991.ams+fig1.png} \fi \endbody \endFigure \Figure \name{Fig.~2} \caption{Пространственная ячейка периодичности (a); прямоугольники, на которых ставятся условия квазипериодичности глубоко тонированы. Плоская бесконечная (левая) тренога (b).} \body \iftex \epsfxsize120mm \epsfbox{4991.ams+fig2.eps} \else \file{4991.ams+fig2.png} \fi \endbody \endFigure Гармонические во времени с частотой $\varsigma^h$ колебания изотропного и однородного (с постоянными Ламе $\lambda\geq0$, $\mu>0$ и плотностью $\varrho>0$) упругого волновода $\boxtimes^h_H$, ячейка периодичности $\bowtie ^h_H$ которого схематично изображена на рис.~2,a, описываются системой трех уравнений в частных производных $$ L(\nabla_x)u^h(x):=-\mu\Delta_xu^h(x)-(\lambda+\mu)\nabla_x\nabla_x\cdot u^h(x)=\varrho(\varsigma^h)^2u^h(x), \quad x\in\boxtimes^h_H. \eqno(1) $$ Здесь $\nabla_x=\operatorname{grad}$, $\nabla_x\cdot=\operatorname{div}$, а $\Delta_x=\nabla_x\cdot\nabla_x$ --- оператор Лапласа. Кроме того, $u^h$ --- вектор смещений и $u^h_j=e_{(j)}\cdot u^h$ --- его проекции на оси $x_j$ с ортами $e_{(j)}$. Поверхность волновода считаем фиксированной --- жестко закрепленной, т.~е. назначаем на ней условия Дирихле $$ u^h(x)=0,\quad x\in\partial\boxtimes^h_H. \eqno(2) $$ Как известно из теории Флоке~--- Блоха~--- Гельфанда (см. [1--5] и др.), спектр $$ \sigma^h=\bigcup\limits_{q\in{\Bbb N}}\Sigma^h(q) \eqno(3) $$ задачи (1), (2) состоит из спектральных сегментов (зон прохождения волн) $$ \Sigma^h(q)=\big\{\Lambda_q^h(\theta)\mid \theta=(\theta_\ell,\theta_\wp)\in[0,2\pi]^2\bigr\}, \quad {\Bbb N}=\{1,2,3,\dots\}, \eqno(4) $$ между которыми могут располагаться раскрытые лакуны (зоны торможения волн). Сами сегменты (4) определяются по собственным числам $$ 0<\Lambda^h_1(\theta) \leq\Lambda^h_2(\theta)\leq\Lambda^h_3(\theta)\leq\dots \leq\Lambda^h_q(\theta)\leq \dots\rightarrow +\infty \eqno(5) $$ зависящей от параметра Флоке $\theta$ модельной задачи на ячейке периодичности $$ -\mu\Delta_xU^h(x;\theta)-(\lambda+\mu)\nabla_x\nabla_x\cdot U^h(x;\theta)= \Lambda^h(\theta)u^h(x;\theta),\quad x\in\bowtie _H^h, \eqno(6) $$ $$ U^h(x;\theta)=0,\quad x\in\partial\bowtie _H^h\setminus \overline{{\Bbb I}^h_H}, \eqno(7) $$ $$ \gathered U^h(x;\theta)|_{{\Bbb I}^{h+}_{H\ell/\wp}}=e^{i\theta_{\ell/\wp}} U^h(x;\theta)|_{{\Bbb I}^{h-}_{H\wp/\ell}}, \\ \partial_nU^h(x;\theta)|_{{\Bbb I}^{h+}_{H\ell/\wp}}=- e^{i\theta_{\Im/\Re}} \partial_nU^h(x;\theta)|_{{\Bbb I}^{h-}_{H\wp/\ell}}. \endgathered \tag8 $$ Здесь ${\Bbb I}^h_H$ --- объединение прямоугольников ${\Bbb I}^{h\pm}_{H\ell/\wp} \subset \overline{{\Bbb I}^h_H}$ размером $h\times H$, попадающих на призматическую поверхность $\diamondsuit\times(0,H)$ (тонированы на рис.~2,a) и называемых также торцами трехмерной ячейки, а $\partial_n$ --- производная вдоль внешней нормали. %\resizebox{!}{4cm} {\includegraphics{elbee1.eps}} Спектр (3) задачи (6)--(8) дискретный, а функции $[0,2\pi]^2\ni\theta \mapsto \Lambda^h_k(\theta)$ непрерывны и $2\pi$-периодичны (см. любой из цитированных источников). Собственные вектор-функции $U^h_{(k)}(\cdot;\theta)\in H^1_{0,\theta} (\bowtie _H^h)^3$ подчиним условиям ортогональности и нормировки $$ \big(U^h_{(k)}(\cdot;\theta),U^h_{(j)}(\cdot;\theta)\big)_{\bowtie_H^h}= \delta_{j,k}, \quad j,k\in{\Bbb N}. \eqno(9) $$ Здесь $\delta_{j,k}$ --- символ Кронекера, $(\cdot,\cdot)_{\bowtie_H^h}$ --- натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега $L^2\bigl(\bowtie _H^h\bigr)$, $H^1_{0,\theta}\bigl(\bowtie _H^h\bigr)^3$ --- пространство Соболева вектор-функций, удовлетворяющих условию Дирихле (7) и первому условию квазипериодичности (8), а верхний индекс $3$ указывает количество компонент вектор-функций, но он отсутствует в обозначениях скалярных произведений и норм. Основная цель работы --- построение и обоснование асимптотики собственных пар $\bigl\{\Lambda^h_k(\theta);U^h_{(k)}(\cdot;\theta)\bigr\}$ задачи (6)--(8) и как следствие выяснение лакунарного строения спектра (3) задачи (1), (2). Тело $\boxtimes^h_H$ можно интерпретировать как восковое гнездо пчелиных сот, однако с некоторой натяжкой: условия Дирихле подразумевают, что пласт сот зажат между абсолютно жесткими фланцами, а содержащийся в них мед полностью затвердел. Распространение волн в сотовой вощине $\boxtimes^h_H$ оказывается необычным, поскольку в главном они концентрируются около ребер ячеек и являются продольными, т.~е. колебания происходят в вертикальном направлении. %\begin{figure}\label{fig2} %\begin{center} %\resizebox{!}{5cm} {\includegraphics{elbee2.eps}} \caption{ %\end{center} %\end{figure} Публикации [6,\,7] и другие, содержащие описание замечательных свойств графена, и особенно присуждение авторам Нобелевской премии привели к большому количеству физических и математических статей, в которых предлагались и изучались разнообразные модели этих незаурядных объектов. Упомянем лишь два исследования, имеющие прямое отношение к тематике данной работы и выявляющих лакунарное строение спектров задач Неймана\footnote"${}^{1)}$"{В~этой работе применяется одномерная модель Полинга [8], но общие результаты (см. [9--12] и др.) устанавливают близость спектров задач на обычном и ``толстом'' графах.} [13] и Дирихле [14] для оператора Лапласа на тонких плоских гексагональных решетках. Оставив в стороне физическую природу упругой структуры, подчеркнем, что проведенный далее анализ задачи теории упругости (1), (2) отличается от предшествующих разработок многими аспектами, так как рассматривается не скалярная и плоская, а векторная и пространственная задача. Проверенная далее локализация собственных вектор-функций модельной задачи (6)--(8) подсказывает, что в асимптотических формулах на первый план выходит явление пограничного слоя, который описывается при помощи решений двух, плоской и антиплоской --- векторной и скалярной (см., например, [15]), задач в двумерной симметричной бесконечной ``треноге'' ${\Bbb Y}$ (рис.\,2,\,b), образованной тремя ($\alpha=0,\pm$) полуполосами $\Pi_\alpha$ единичной толщины со средними линиями, исходящими из начала ${\Cal O}$ декартовой системы координат $\eta\in {\Bbb R}^2$ под углом $2\pi/3$ одна к другой, причем $$ \Pi_0 =\{\eta=(\eta_1, \eta_2): \,\eta_1>0,\,|\eta_2|<1/2\}. \eqno(10) $$ Если дискретный спектр скалярной задачи полностью известен (см. публикацию [16]), то об изолированных собственных числах векторной задачи нет вообще никакой информации. На помощь приходит теорема 2, показывающая, что в низкочастотном диапазоне спектра (5) пограничный слой порожден именно собственной функцией антиплоской задачи. Основной технический прием --- замена обычного функционала упругой энергии (см., например, [15]) квазиэнергией $$ E\bigl(U^h,U^h;\bowtie _H^h\bigr) =\mu\bigl\|\nabla_xU^h;L^2\bigr(\text{$\bowtie$}_H^h\bigr)\bigr\|^2 +(\lambda+\mu) \bigl\|\nabla_x\cdot U^h;L^2\bigl(\bowtie _H^h\bigr)\bigr\|^2.\eqno(11) $$ Такая возможность появилась благодаря постановке условий Дирихле, а именно, умножив \Tag(6) скалярно на пробную вектор-функцию $\Psi^h(\cdot;\theta)\in H^1_{0,\theta}\bigl(\bowtie _H^h\bigr)^3$ и проинтегрировав по частям при учете условия \Tag(7) и первого условия \Tag(8) для $\Psi^h$, а также второго условия \Tag(8) для $U^h(\cdot;\theta)$ приходим к интегральному тождеству (см. [17--19] и др.) $$ E\bigl(U^h(\cdot;\theta),\Psi^h(\cdot;\theta);\bowtie _H^h\bigr)= \Lambda^h(\theta)(U^h(\cdot;\theta),\Psi^h(\cdot;\theta))_{\bowtie_H^h} \quad \forall \Psi^h\in H^1_{0,\theta}\bigl(\bowtie _H^h\bigr)^3.\eqno(12) $$ Полуторалинейная форма $$ E\bigl(\Phi,\Psi;\bowtie _H^h\bigr)= \mu (\nabla_x\Phi,\nabla_x\Psi )_{\text{$\bowtie$}_H^h}+(\lambda+\mu) (\nabla_x\cdot\Phi,\nabla_x\cdot\Psi )_{\text{$\bowtie$}_H^h} $$ положительно определенна, симметрична и замкнута в $H^1_{0,\theta}\bigl(\bowtie _H^h\bigr)^3$, что и обеспечивает все упомянутые свойства спектра задачи \Tag(12) (или \Tag(6)--\Tag(8) в дифференциальной форме). Кратко опишем строение статьи. В~теореме 1 из разд.~2 доказана локализация собственных вектор-функций $U^h_{(k)}(\cdot;\theta)$ около ребер $\vartriangle^h_{\ell/\wp}\times(0,H)$ ячейки $\bowtie _H^h$ и экспоненциальное затухания при удалении от них. В разд.~3 приведена информация о спектрах двух, плоской \Tag(18) и антиплоской (19), задач теории упругости в бесконечной треноге ${\Bbb Y}$ (центральный результат~--- теорема 2), а порожденная захваченной волной во второй, скалярной, задаче асимптотика собственных пар задачи \Tag(6)--\Tag(8) построена в разд.~4. В~разд.~5 исследовано явление пространственного пограничного слоя. Найденные асимптотические конструкции обоснованы в разд.~6 и~7, а выводы о лакунарном строении спектра (3) приведены в разд.~8 (соответственно теоремы 5 и 6). Наконец, в разд.~9 перечислено несколько открытых вопросов. \specialhead\Label{Section 2} 2. Концентрация собственных функций около ребер решетки \endspecialhead Введем непрерывную кусочно-гладкую экспоненциальную весовую функцию $$ {\Cal R}^h_\beta(x)= \cases e^{\beta r(y)/h}&\text{при } r(y):=\operatorname{dist}(y,\vartriangle^h)\leq1/4, \\ e^{\beta /4h}&\text{при } r(y)\geq1/4, \endcases \eqno(13) $$ где $\vartriangle^h=\vartriangle^h_{\ell}\cup\vartriangle^h_{\wp}$ --- объединение треугольных узлов плоской ячейки $\boxtimes^h$. \proclaim{Теорема 1} Пусть для некоторых $p\in{\Bbb N}$, $\theta\in[0,2\pi]^2$ и $d>0$ собственное число $\Lambda^h_p(\theta)$ подчинено соотношению $$ \Lambda^h_p(\theta)\leq h^{-2}\mu(\pi^2-d).\eqno(14) $$ Тогда найдутся такие не зависящие от $\theta$ и $p$ положительные величины $h_d$, $\beta_d$ и $c_d$, что при $h\in(0,h_d]$ нормированная в пространстве $L^2(\bowtie _H^h)^3$ собственная вектор-функция $U^h_{(p)}(\cdot;\theta)$ задачи $(6)$--$(8)$, удовлетворяет весовой оценке $$ h^2\bigl\|{\Cal R}^h_{\beta_d}\nabla_xU^h_{(p)}(\cdot;\theta); L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 +\bigl\|{\Cal R}^h_{\beta_d}U^h_{(p)}(\cdot;\theta); L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2\leq c_d.\eqno(15) $$ \endproclaim \demo{Доказательство} Индексы $d$, $p$ и по-возможности аргумент $\theta$ не пишем. Подставим в интегральное тождество (12) пробную вектор-функцию $\Psi^h={\Cal R}^h_\beta\Phi^h$, где $\Phi^h:={\Cal R}^h_\beta U^h \in H^1_{0,\theta}\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)^3$, а первое условие квазипериодичности (8) сохранено потому, что вес (13) постоянен около прямоугольников ${\Bbb I}^{h\pm}_{H\ell/\wp}$. Двукратное коммутирование градиент-оператора $\nabla_x$ и множителя ${\Cal R}^h_\beta(y)$ превращает названное тождество в равенство $$ \aligned \mu\big(\bigl\|\nabla_x\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 &-\big(\Phi^h {\Cal R}^h_{-\beta} \nabla_x{\Cal R}^h_\beta,\nabla_x\Phi^h\big)_{\bowtie^h_H} \\ &\qquad+\big(\nabla_x\Phi^h,\Phi^h {\Cal R}^h_{-\beta} \nabla_x{\Cal R}^h_\beta\big)_{\bowtie^h_H} - \bigl\|\Phi^h {\Cal R}^h_{-\beta} \nabla_x{\Cal R}^h_{\beta}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2\big) \\ &\qquad+ (\lambda+ \mu)\big( \bigl\|\nabla_x\cdot \Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2- \big({\Cal R}^h_{-\beta}\Phi^h \cdot \nabla_x{\Cal R}^h_\beta,\nabla_x\cdot \Phi^h\big)_{\bowtie^h_H} \\ &\qquad +\big(\nabla_x\cdot \Phi^h,{\Cal R}^h_{-\beta}\Phi^h \cdot \nabla_x{\Cal R}^h_{\beta}\big)_{\bowtie^h_H)} - \bigl\|{\Cal R}^h_{-\beta}\Phi^h \cdot \nabla_x{\Cal R}^h_{\beta}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2\big) \\ &=\Lambda^h \bigl\|\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 . \endaligned \tag16 $$ После выделения вещественных частей все скалярные произведения в левой части взаимно уничтожаются и в результате остаются только квадраты норм. Теперь заметим, что ${\Cal R}^h_{\beta}=1$, $\nabla_x{\Cal R}^h_{\beta}=0$ и $\Phi^h=U^h$ на треугольниках $\vartriangle^h_{\ell/\wp}$ и $$ {\Cal R}^h_{-\beta}(y)\bigg|\frac{\partial {\Cal R}^h_{\beta}}{\partial y_j}(y)\bigg|\leq \frac{\beta}{h} \quad \text{при}\quad y\in \bowtie ^h\setminus\vartriangle^h , \ j= 1,2. \eqno(17) $$ Кроме того, одномерное неравенство Фридрихса на интервале $(-h/2,h/2)$, условие Дирихле \Tag(7) и геометрическое строение сечения ячейки обеспечивают оценку $$ \bigl\|\nabla_x\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\setminus\vartriangle_H^h\bigr)\bigr\|^2\geq\pi^2h^{-2} \bigl\|\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\setminus\vartriangle_H^h\bigr)\bigr\|^2. $$ При помощи перечисленных соотношений придаем равенству (16), из которого удалим ненужные слагаемые, следующий вид: $$ \align \sigma\mu\bigl\|\nabla_x\Phi^h; &L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \leq(\sigma-1)\mu \bigl\|\nabla_x\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \\ &\qquad+(\mu+2(\lambda+\mu)) \bigl \|\Phi^h {\Cal R}^h_{-\beta} \nabla_x{\Cal R}^h_{\beta}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 +\Lambda^h \bigl\|\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \\ &\leq h^{-2}(\pi^2(\sigma-1)\mu+\beta^2 (2\lambda+3\mu) +h^2\Lambda^h)\bigl\|\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\setminus\vartriangle_H^h\bigr)\bigr\|^2+ \Lambda^h\bigl\|\Phi^h; L^2\bigl(\vartriangle_H^h\bigr)\bigr\|^2. \endalign $$ При учете ограничения (14) фиксируем величины $\sigma\in(0,1)$ и $\beta>0$ так, чтобы множитель при $\bigl\|\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\setminus\vartriangle_H^h\bigr)\bigr\|^2$ стал меньше $-h^{-2}d/2$ (знак минус). К~тому же в силу нормировки (9) и равенства $\Phi^h=U^h$ на $\vartriangle_H^h:= \bigl(\vartriangle_\ell^h\cup\vartriangle_\wp^h\bigr)\times(0,H)$ последнее слагаемое не превосходит $\mu\pi^2h^{-2}$. В~итоге, сократив общий множитель $\mu$, выводим, что $$ h^2\sigma\bigl\|\nabla_x\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 +\frac{d}{2} \bigl\|\Phi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2\leq \pi^2. $$ Оценка второй нормы из левой части (15) уже получена, а для оценки первой нужно еще раз применить коммутирование и учесть формулу (17). Теорема доказана. \specialhead\Label{Section 3} 3. Задачи о двумерном пограничном слое \endspecialhead Растяжение продольных координат $y\mapsto\eta^\ell=h^{-1} (y-{\Cal O}_\ell)$ и $y\mapsto\eta^\wp=-h^{-1}(y-{\Cal O}_\wp)$ относительно центров треугольников $\vartriangle^h_\ell$ и $\vartriangle^h_\wp$, но сохранение масштаба для аппликаты $z$ с последующим формальным переходом к $h=0$ трансформирует область $\bowtie _H^h$ в прямое произведение ${\Bbb Y}\times(0,H)\ni (\eta,z)$. Обратим внимание на знак минус в формуле для $\eta^\wp$ (зеркальное отражение треноги $\text{\ss{Y}}^0_{\wp}$, требующее также преобразование вектора смещений $u^h\mapsto \bigl(u^h_1,u^h_3,u^h_2\bigr)$), но далее индексы $\ell$ и $\wp$ у координат $\eta$ не пишем. Указанные действия расщепляют оператор Ламе $L(\nabla_\eta,0)$ на блочно-диагональную матрицу с двумерным оператором Ламе $L^\prime(\nabla_\eta)=-\mu\Delta_\eta-(\lambda+\mu)\nabla_\eta\nabla_\eta\cdot$ и оператором $-\mu\Delta_\eta$ на главной диагонали. В~итоге возникают две задачи, а именно плоская задача теории упругости $$ -\mu\Delta_\eta w^\prime (\eta)-(\lambda+\mu)\nabla_\eta\nabla_\eta\cdot w^\prime (\eta)=M^\prime w^\prime(\eta),\ \eta\in{\Bbb Y}, \quad w^\prime (\eta)=0,\ \eta\in\partial{\Bbb Y}, \eqno(18) $$ для вектора продольных смещений $w^\prime=(w_1, w_2)$ и антиплоская задача для депланации $w^\odot:=w_3$ (символ $\odot$ --- обычное обозначение на плоскости для перпендикулярной ей оси аппликат) $$ -\mu\Delta_\eta w^\odot(\eta)=M^\odot w^\odot(\eta),\ \eta\in{\Bbb Y}, \quad w^\odot(\eta)=0,\ \eta\in\partial{\Bbb Y}.\eqno(19) $$ По этим задачам выстраиваются симметричные, положительно определенные, замкнутые соответственно в $H^1({\Bbb Y})^2$ и $H^1({\Bbb Y})$ квадратичные формы $$ E^\prime(w^\prime,w^\prime;{\Bbb Y})=\mu(\nabla_\eta w^\prime,\nabla_\eta w^\prime)_{{\Bbb Y}}+ (\lambda+\mu)(\nabla_\eta\cdot w^\prime,\nabla_\eta\cdot w^\prime)_{{\Bbb Y}} \text{ и } \mu(\nabla_\eta w^\odot,\nabla_\eta w^\odot)_{{\Bbb Y}}, \eqno(20) $$ а значит, согласно [20, Chapter~10] и неограниченные самосопряженные положительно определенные операторы $A^\prime$ и $A^\odot$ в гильбертовых пространствах $L^2({\Bbb Y})^2$ и $L^2({\Bbb Y})$. Непрерывные спектры $\wp^\prime_c$ и $\wp^\odot_c$ этих операторов совпадают и занимают луч $[M_\dag,+\infty)$ с точкой отсечки $M_\dag=\mu\pi^2$ (см., например, статью [21] по поводу плоской задачи, а для антиплоской результат очевиден). В~работе [16] доказано, что дискретный спектр $\wp^\odot_d$ оператора $A^\odot$ состоит из единственного собственного числа $M^\odot_1\in(0,\mu\pi^2)$. Соответствующая собственная функция $w^\odot_1\in H^1_0({\Bbb Y})$, положительная в области ${\Bbb Y}$ и нормированная в $L^2({\Bbb Y})$, обладает вращательной симметрией на угол $2\pi/3$ относительно начала координат ${\Cal O}$ и допускает в полуполосе (10) представление $$ w^\odot_1(\eta)=K^\odot_1e^{-\eta_1\sqrt{\pi^2-\mu^{- 1}M^\odot_1}}\cos(\pi\eta_2) +O(e^{-|\eta|\sqrt{4\pi^2-\mu^{-1}M^\odot_1}}) \quad \text{при } \eta_1\rightarrow+\infty. \eqno(21) $$ В~каждой из трех ($\alpha=0,\pm$) угловых точек раствором $4\pi/3$ на границе $\partial{\Bbb Y}$ (вершин ${\Cal O}^\alpha$ узла $\vartriangle$ --- равностороннего треугольника с единичной стороной) справедливо разложение $$ w^\odot_1(\eta)=C^\odot_1\rho_\alpha^{3/4} \sin\left(\frac{3\varphi_\alpha}{4}\right)+ O\big(\rho_\alpha^{3/2}\big),\quad \rho\rightarrow+0, \eqno(22) $$ где $(\rho_\alpha,\varphi_\alpha)\in{\Bbb R}_+\times(0,4\pi/3)$ --- система полярных координат с центром в вершине ${\Cal O}^\alpha$. Коэффициенты $K^\odot_1$ и $C^\odot_1$ положительны, так как положительная функция $w^\odot_1$ раскладывается в сходящиеся ряды Фурье на полуполосе и секторе, но среди членов рядов только отделенные в формулах (21) и (22) не меняют знак. Автор не знает, пустым или нет является дискретный спектр $\wp^\prime_d$ оператора $A^\prime$ плоской задачи теории упругости (18). Следующее утверждение, компенсирующее недостаток информации, понадобится при построении асимптотики собственных пар задачи (6)--(8). \proclaim{Теорема 2} Полуинтервал $\bigl(0,M^\odot_1\bigr]$ свободен от дискретного спектра $\wp^\prime_d$ оператора $A^\prime$. \endproclaim \demo{Доказательство} Допустим, что существует собственная пара $\{M^\prime_1;w^\prime_{(1)}\}\in\bigl(0,M^\odot_1\bigr]\times H^1_0({\Bbb Y})^2$. В~силу минимального принципа (см., например, [20; теорема~10.2.2]) первое (наименьшее) собственное число находится по формуле $$ M^\prime_1=\min\limits_{\psi^\prime\in H^1_0({\Bbb Y}^2)\setminus\{0\}} \frac{E^\prime(\psi^\prime,\psi^\prime;{\Bbb Y})}{\|\psi^\prime;L^2 ({\Bbb Y})\|^2}= \frac{E^\prime(w^\prime_{(1)},w^\prime_{(1)};{\Bbb Y})}{\|w^\prime_{(1)}; L^2({\Bbb Y})\|^2}. \eqno(23) $$ Согласно левому определению (20) имеем $$ M^\prime_1\geq\min\limits_{\psi^\prime\in H^1_0({\Bbb Y})^2\setminus\{0\}} \frac{\mu\|\nabla_\eta\psi_1;L^2({\Bbb Y})\|^2+\mu \|\nabla_\eta\psi_2;L^2({\Bbb Y})\|^2}{\|\psi_1;L^2({\Bbb Y})\|^2 +\|\psi_2;L^2({\Bbb Y})\|^2} =\mu\min\limits_{\psi^\odot\in H^1_0({\Bbb Y})\setminus\{0\}} \frac{\|\nabla_\eta\psi^\odot;L^2({\Bbb Y})\|^2}{\|\psi^\odot; L^2({\Bbb Y})\|^2}=M^\odot_1. \tag24 $$ Первое неравенство в цепочке (24) можно считать строгим, так как минимум в формуле (23) можно вычислять по конусу $$ {\goth Y}_\delta:=\bigl\{\psi^\prime\in H^1_0({\Bbb Y})^2: \|\nabla_\eta\cdot\psi;^\prime L^2({\Bbb Y})\|\geq\delta\bigl\|\psi^\prime;L^2({\Bbb Y})\bigr\|\bigr\}. $$ Число $\delta>0$ нужно выбрать так, чтобы в ${\goth Y}_\delta$ попали и нормированный в $L^2({\Bbb Y})^2$ вектор $w^\prime_{(1)}$, на котором реализуется минимум (23), и вектор $2^{-1/2}\bigl(w^\odot_1,w^\odot_1\bigr)$, включающий дважды собственную функцию задачи (19). Это возможно потому, что $\|\nabla_\eta\cdot w^\prime_{(1)}; L^2({\Bbb Y})\|>0$ и $\big\|\partial_{\eta_1}w^\odot_1+ \partial_{\eta_2}w^\odot_1; L^2({\Bbb Y})\big\|>0$. В~самом деле, если $\nabla_\eta\cdot w^\prime_{(1)}=0$, то каждая ($j=1,2$) из компонент $w^\prime_{(1)j}$ удовлетворяет задаче $$ -\mu\Delta_\eta w^\prime_{(1)j}(\eta)=M^\prime_1 w^\prime_{(1)j}(\eta),\ \eta\in{\Bbb Y}, \quad w^\prime_{(1)j}(\eta)=0,\ \eta\in\partial{\Bbb Y}. $$ При учете соотношения (24) видим, что $M^\prime_1=M^\odot_1$ и в силу простоты собственного числа $M^\odot_1$ вектор-функция $w^\prime_{(1)}(\eta)$ совпадает с $Cw^\odot_1(\eta)$ при некотором столбце $C\in{\Bbb R}^2\setminus \{0\}$, а значит, $$ C_1\frac{\partial w^\odot_1}{\partial \eta_1}(\eta)+C_2\frac{\partial w^\odot_1}{\partial \eta_2}(\eta)=0,\quad \eta\in {\Bbb Y}. $$ Последнее равенство невозможно, так как нетривиальное решение задачи (19), зависящее только от одной переменной $C_2\eta_1-C_1\eta_2$, --- нонсенс. Теорема доказана. \medskip Сама собственная пара $\bigl\{M^\odot_1;w^\odot_1\bigr\}$ и ее свойства будут использованы в разд.~4. Перечисленные факты означают, что справедливы неравенства $$ \mu\|\nabla_\eta w_3;L^2({\Bbb Y})\|^2\geq M_1^\odot \|w_3;L^2({\Bbb Y})\|^2\quad \forall w_3\in H_0^1({\Bbb Y}), $$ $$ \mu\|\nabla_\eta w_3;L^2({\Bbb Y})\|^2\geq\mu\pi^2 \|w_3;L^2({\Bbb Y})\|^2\ \forall w_3\in H_0^1({\Bbb Y}) \text{ в случае } \big(w_3,w^\odot_1\big)_{{\Bbb Y}}=0, \eqno(25) $$ $$ E^\prime(w^\prime,w^\prime;{\Bbb Y}) \geq(M^\odot_1+d_{\Bbb Y})\|w^\prime ;L^2({\Bbb Y})\|^2 \quad \forall w^\prime\in H_0^1({\Bbb Y})^2 \text{ при некотором } d_{\Bbb Y}>0. $$ \demo{Замечание 1} Если какая-либо часть поверхности упругого волновода свободна от внешних воздействий (условия Неймана в напряжениях) и вместо квазиэнергии приходится пользоваться истинной упругой энергией, то теорема~2 перестает быть верной. Контрпримером служат задачи теории упругости в полуполосе (10) с условиями Дирихле на боковых сторонах и Неймана на торце: дискретный спектр скалярной задачи пуст из-за возможности разделить переменные, но у векторной задачи собственное число на интервале $(0,M_\dag)$ есть (см. [21--23] и др.). \specialhead\Label{Section 4} 4. Формальная асимптотика \endspecialhead На плоской ячейке $\bowtie ^h$ введем гладкие срезающие функции $\chi^h_{\ell/\wp}$, служащие для локализации асимптотических конструкций на левую $\text{\ss{Y}}^h_{\ell}$ и правую $\text{\ss{Y}}^h_{\wp}$ треноги, $$ \chi_{\ell/\wp}(y)=1 \text{ при } |y-{\Cal O}_{\ell/\wp}| \leq \gamma \text{ и } \chi_{\ell/\wp}(y)=0 \text{ при } |y-{\Cal O}_{\ell/\wp}|\geq (2\gamma+1)/4. \eqno(26) $$ Параметр $\gamma\in(0,1/2)$ выбирается произвольно (см. разд.~9,~$1^\circ$). В~соответствии с теоремой 1 о локализации собственных вектор-функций и теоремой~2 о пограничном слое примем следующие асимптотические анзацы для двух ($\ell$ и $\wp$) собственных пар $\bigl\{\Lambda^{h}_{k_{\ell/\wp}}(\theta); U^{h}_{(k_{\ell/\wp})}(\cdot;\theta)\bigr\}$ задачи (6)--(8) при каком-нибудь параметре Флоке $\theta$: \iftex $$ \align &\Lambda^h=h^{-2}M^\odot_1+\kappa+\cdots, \tag27 \\ &U^{h}(x)=\chi_{\ell/\wp}(y)\big(e_{(3)} w^\odot_1(\eta^{\ell/\wp})v(z)+hW(\eta^{\ell/\wp}) \partial_zv(z) +h^2 {V}(\eta^{\ell/\wp},z)\big)+\cdots. \tag28 \endalign $$ \else $$ \Lambda^h=h^{-2}M^\odot_1+\kappa+\cdots, \tag27 $$ $$ U^{h}(x)=\chi_{\ell/\wp}(y)\big(e_{(3)} w^\odot_1(\eta^{\ell/\wp})v(z)+hW(\eta^{\ell/\wp}) \partial_zv(z) +h^2 {V}(\eta^{\ell/\wp},z)\big)+\cdots. \tag28 $$ \fi Индекс $k_{\ell/\wp}$ и аргумент $\theta$ для краткости не указываем, многоточие замещает младшие асимптотические члены, растянутые координаты $\eta^{\ell/\wp}\in{\Bbb R}^2$ и спектральная пара $\{M^\odot_1;w^\odot_1\}$ задачи (19) введены в разд.~3, а вектор-функции $W$, ${V}$ и число $\kappa$ подлежат определению. Подставим анзацы (27) и (28) в систему уравнений (6) и соберем множители при одинаковых степенях малого параметра. Учитывая расщепление оператора Ламе $L(\nabla_x)$, вызванное растяжением продольных координат $y$, но сохранением масштаба для $z$ (см. начало разд.~3), получаем для вектора $W^\prime=(W_1,W_2)$ и скаляра ${V}_3$ (остальные компоненты у $W$ и $V$ нулевые) задачи теории упругости, плоскую $$ L^\prime(\nabla_\eta) W^\prime(\eta)- M^\odot_1W^\prime(\eta)=(\lambda+\mu)\nabla_\eta w_1^\odot(\eta),\ \eta\in{\Bbb Y}, \quad W^\prime(\eta)=0,\ \eta\in\partial{\Bbb Y}, \eqno(29) $$ и антиплоскую $$ \multline -\mu\Delta_\eta V_3(\eta;z)-M^\odot_1V_3(\eta;z)=F_3(\eta,z):=\kappa w^\odot_1(\eta)+(\lambda+2\mu) w_1^\odot(\eta)\partial_z^2v(z) \\ +(\lambda+\mu)\nabla_\eta\cdot W^\prime(\eta)\partial_z^2v(z),\ \eta\in{\Bbb Y}, \quad V_3(\eta;z)=0,\ \eta\in\partial{\Bbb Y}. \endmultline \tag30 $$ Условия Дирихле на границе треноги унаследованы от условий (7) на поверхности $\partial\bowtie ^h_H\setminus{\Bbb I}^h_H$. В~силу упомянутых и доказанных фактов из разд.~3 задача (29) с двумерным оператором Ламе $L^\prime(\nabla_\eta)$ однозначно разрешима в классе Соболева $H^1_0({\Bbb Y})^2$, а у задачи (30) есть одно условие разрешимости в классе экспоненциально затухающих функций --- ортогональность правой части $F_3$ собственной функции $w_1$. Оно принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения $$ -b\partial_z^2 v(z)=\kappa v(z),\quad z\in(0,H), \eqno(31) $$ которое, отталкиваясь от условия Дирихле (7), снабдим краевыми условиями $$ v(0)=0 \quad \text{и}\quad v_{Hk}(H)=0. \eqno(32) $$ \proclaim{Теорема 3} Для коэффициента в уравнении $(31)$ выполнено соотношение $$ b=\int\limits_{{\Bbb Y}}w_1^\odot(\eta) \big((\lambda+2\mu) w^\odot_1(\eta)+ (\lambda+\mu)\nabla_\eta\cdot W^\prime(\eta)\big)\,d\eta>\mu. \eqno(33) $$ \endproclaim \demo{Доказательство} Интегрируя по частям, находим, что $$ \multline b=\lambda+2\mu+2(\lambda+\mu)\int\limits_{{\Bbb Y}}w^\odot_1(\eta) \nabla_\eta\cdot W^\prime(\eta)\,d\eta +(\lambda+\mu)\int\limits_{{\Bbb Y}}\nabla_\eta w^\odot_1(\eta)\cdot W^\prime(\eta)\,d\eta \\ =\mu+(\lambda+\mu) \bigl\|w^\odot_1+\nabla_\eta\cdot W^\prime; L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2 \\ +(\mu\|\nabla_\eta W^\prime; L^2({\Bbb Y})\|^2-M_1\|W^\prime; L^2({\Bbb Y})\|^2). \endmultline \tag34 $$ Второе слагаемое в правой части неотрицательно, а последняя разность положительна благодаря первому неравенству (25) и невозможности формулы $W^\prime=Cw^\odot_1$ со столбцом $C\in{\Bbb R}^2$. Теорема доказана. \medskip Наконец, упомянем, что собственные пары задачи (31), (32) имеют вид $$ \kappa_m=\pi^2H^{-2}m^2,\quad v_m(z)=(2H)^{-1/2}\sin(\pi mz/H),\quad m\in{\Bbb N}. \eqno(35) $$ \specialhead\Label{Section 5} 5. Трехмерный пограничный слой \endspecialhead В~силу формул (35) второй член анзаца (28), принятого на начальном этапе асимптотического анализа, не удовлетворяет условиям Дирихле (7) на основаниях ячейки $\bowtie ^h_H$. Согласно общим принципам построения асимптотик (см., например, монографии [24,\,25]) компенсация возникающих невязок производится при помощи построения трехмерных пограничных слоев около треугольников $\vartriangle^h_{\ell/\wp}\times\{0\}$ и $\vartriangle^h_{\ell/\wp}\times\{H\}$ на основаниях ячейки. Вблизи одного из них, например $\vartriangle^h_{\ell}\times\{0\}$, производим растяжение координат $x\mapsto \xi^0_{\ell}=\big(h^{-1}\bigl(y-{\Cal O}^h_\ell\bigr),h^{-1}z\big)$ и перейдем формально к $h=0$. В~результате получим следующую задачу Дирихле в неограниченной области $\Xi_+={\Bbb Y}\times{\Bbb R}_+$: $$ \aligned &L(\nabla_\xi)Z^0_\ell(\xi)-M^\odot_1Z^0_\ell(\xi)=0,\quad\xi\in\Xi_+, \\ &Z^0_\ell(\xi)=0,\ \xi\in\partial{\Bbb Y}\times{\Bbb R}_+, \quad Z^0_\ell(\eta,0)=G(\eta,0),\ \eta\in\partial{\Bbb Y}. \endaligned \tag36 $$ Такие же задачи возникают около трех других треугольников после подходящих поворотов систем координат. Ограничимся рассмотрением указанного треугольника, но не будем писать символы $0$ и $\ell$. В~силу первого соотношения (25) и следствия одномерного неравенства Харди $$ \|(1+\zeta)^{-1}\Psi; L^2(\xi)\|^2\leq 4\|\nabla_\xi\Psi; L^2(\xi)\|^2 \quad \forall \Psi\in C^\infty_c(\Xi_+), \eqno(37) $$ а также определения (11) выводим оценку первой нормы в правой части $$ \big(E(Z,Z;\Xi_+)-M^\odot_1\|Z; L^2(\Xi_+)\|^2\big)^{1/2} \geq c_\Xi \bigg(\left\|\frac{Z}{1+\zeta}; L^2(\Xi_+) \right\|^2+\left\|\frac{\nabla_\xi Z}{1+\zeta}; L^2(\Xi_+) \right\|^2\bigg)^{1/2} \tag38 $$ с множителем $c_\Xi>0$, не зависящим от $Z\in C^\infty_c(\Xi_+)$. Оценка второй нормы требует разбиения множества $\Xi$ на ячейки $\upsilon_n$, $n\in{\Bbb N}$, двух типов: единичные кубы и призмы с основаниями $\vartriangle$ единичной высоты, на которых верны подлежащие суммированию соотношения $$ \mu\left\|\frac{\nabla_\xi Z}{1+\zeta}; L^2(\upsilon_n)\right\|^2\leq \frac{\max\{1+\zeta\mid \xi\in\upsilon_n\}} {\min\{1+\zeta\mid \xi\in\upsilon_n\}} %\\\times \bigg(\frac{E(Z,Z;\upsilon_n)-M^\odot_1 \|Z; L^2(\upsilon_n)\|^2}{\max\{1+\zeta\mid \xi\in\upsilon_n\}}+C \left\|\frac{Z}{1+\zeta}; L^2(\upsilon_n)\right\|^2\bigg), $$ где общий множитель не превосходит двух, а максимум в знаменателе дроби больше единицы. Через ${\bold H}^1_0(\Xi_+)^3$ обозначим пополнение линейного множества $C^\infty_c(\Xi_+)^3$ (бесконечно дифференцируемые вектор-функции с компактными носителями) по норме $\|Z;{\bold H}^1_0(\Xi)\|$ из левой части неравенства (38), которое означает, что пространство состоит из вектор-функций $Z\in H^1_{0,\loc}(\overline{\Xi_+})^3$, для которых конечна названная норма. Теорема Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве обеспечивает очередное утверждение. \proclaim{Лемма 1} При любом функционале ${\bold F}\in \big({\bold H}^1_0(\Xi_+)^3\big)^\ast$ интегральное тождество $$ E(Z^\sharp,\Psi;\Xi_+)- M^\odot_1\big(Z^\sharp,\Psi)_{\Xi_+}={\bold F}(\Psi)\quad \forall \Psi\in {\bold H}^1_0(\Xi_+)^3 \eqno(39) $$ имеет единственное решение $Z^\sharp\in{\bold H}^1_0(\Xi_+)^3$ и верна оценка $$\bigl\|Z^\sharp;{\bold H}^1_0(\Xi_+)\bigr\|\leq C_\Xi\bigl\|{\bold F};\big({\bold H}^1_0(\Xi_+)^3\big)^\ast\bigr\|. $$ \endproclaim Под {\it обобщенным решением } $Z\in{\bold H}^1_0(\Xi;\partial{\Bbb Y}\times{\Bbb R}_+)^3$ (норма сохранена, но нет обращения в нуль на основании полуцилиндра $\Xi_+$) задачи (36), в которой правая часть --- след вектор-функции $G\in{\bold H}^1_0(\Xi;\partial{\Bbb Y}\times{\Bbb R}_+)^3$, понимаем сумму $Z=Z^\sharp+G$, где $Z^\sharp\in{\bold H}^1_0(\Xi_+)^3$ --- решение задачи (39) при $$ {\bold F}(\Psi)=E(G,\Psi;\Xi_+)-M^\odot_1(G,\Psi)_{\Xi_+}. \eqno(40) $$ Теперь применим теорию Кондратьева [26] (см. также [27, Chapter3, Section~1; 28, Section~ 3] и др.). Именно, рассмотрим интегральное тождество на бесконечном в обе стороны цилиндре $\Xi={\Bbb Y}\times{\Bbb R}$: $$ E(Z,\Psi;\Xi)-M^\odot_1\big(Z,\Psi)_\Xi={\bold F}(\Psi)\quad \forall \Psi\in C^\infty_c(\Xi)^3 \eqno(41) $$ с подходящим (см. ниже) функционалом ${\bold F}$ в правой части. Применим преобразование Фурье ${\Cal F}_{\zeta\rightarrow\rightarrow{\goth z}}$ вдоль прямой $\{{\goth z}\in{\Bbb C}: \operatorname{Im}{\goth z}=t\}$, $t\ne0$, %$t\not=0$, и придем к интегральному тождеству $$ \widehat{E}_{{\goth z}} (\widehat{Z},\widehat{\Psi};{\Bbb Y}))- M^\odot_1(\widehat{Z},\widehat{\Psi})_{{\Bbb Y}}=\widehat{\bold F} (\widehat{\Psi})\quad \forall \widehat{\Psi}\in H^1_0({\Bbb Y})^3, \eqno(42) $$ где образы Фурье снабжены значком\ $\widehat{}$, а полуторалинейная форма имеет вид $$ \widehat{E}_{{\goth z}} (\widehat{Z},\widehat{\Psi};{\Bbb Y}))= \mu(\nabla_\eta\widehat{Z},\nabla_\eta\widehat{\Psi})_{{\Bbb Y}}+ \mu{\goth z}^2(\widehat{Z},\widehat{\Psi})_{{\Bbb Y}}+ (\lambda+\mu)(\nabla_\eta\widehat{Z}^{\prime}+i{\goth z}\widehat{Z}_3, \nabla_\eta\widehat{\Psi}^{\prime}+i\overline{\goth z} \widehat{\Psi}_3)_{{\Bbb Y}}, \eqno(43) $$ причем $i$ --- мнимая единица и черта указывает на комплексное сопряжение. Интегральное тождество (12) порождает полиномиальный пучок $$ {\Bbb C}\ni {\goth z}\mapsto \bigl({\goth A}({\goth z}): H^1_0({\Bbb Y})^3 \rightarrow\big(H^1_0({\Bbb Y})^3\bigr)^\ast\bigr). \eqno(44) $$ К сожалению, по причине отсутствия компактности вложения $H^1({\Bbb Y})\subset L^2({\Bbb Y})$ (область ${\Bbb Y}$ неограниченна) невозможно применить привычную схему исследования эллиптических краевых задач в областях с цилиндрическими выходами на бесконечность, использующую оценки [29] решений в cоболевских нормах, зависящих от параметра, и аналитическую альтернативу Фредгольма [20, Chapter~1, Theorem~5.1]. Впрочем, для конкретной задачи (42) без особого труда находим следующие их заменители. \smallskip $1^\circ.$ При ${\goth z}\in{\Bbb R}\setminus\{0\}$ оператор ${\goth A}({\goth z})$ обратим, так как форма (43) положительно определена. \smallskip $2^\circ.$ Существует такое ${\goth k}>0$, что при ${\goth z}={\goth x}+i{\goth y}$ и $|{\goth y}|<{\goth k}|{\goth x}|$ оператор ${\goth A}({\goth z})$ обратим, так как оказывается малым возмущением оператора ${\goth A}({\goth x})$. \smallskip $3^\circ.$ В~силу вычислений из разд.~4 (центральные момент --- теорема~3) у пучка (44) в точке ${\goth z}=0$ есть одна (непродолжимая) жорданова цепочка длиной два, состоящая из собственного ${\goth u}^0=e_{(3)}w^\odot_1$ и присоединенного ${\goth u}^1=-iW$ векторов. Кроме того, в силу абстрактных результатов [31] и [32, Chapter~9] существует такой радиус ${\goth r}>0$, что проколотая окрестность $\{{\goth z}\in{\Bbb C} : 0<|{\goth z}|<{\goth r}\}$ свободна от спектра пучка ${\goth z}\mapsto {\goth A}({\goth z})$. \smallskip В~итоге находим такую величину ${\goth h}>0$, что в полосе $\varpi({\goth h})=\{{\goth z}\in{\Bbb C}: |\operatorname{Im}{\goth z}|<{\goth h}\}$ резольвента ${\goth A}(\cdot)^{-1}$ --- абстрактная голоморфная функция с единственным полюсом в точке ${\goth z}=0$ (второго порядка). Теперь повторим буквально все рассуждения теории Кондратьева. Именно, предположим, что правая часть ${\bold F}$ интегрального тождества (41) --- функционал на обоих пространствах ${\goth W}^1_{0,\pm{\goth h}}(\Xi)^3$, полученных пополнением линеала $C^\infty_c({\Bbb Y}\times{\Bbb R})^3$ по экспоненциальным весовым соболевским нормам $$ \bigl\|\Psi;{\goth W}^1_{0,\pm{\goth h}}(\Xi)\bigr\| =\bigg( \int\limits_{{\Bbb R}}e^{\pm2{\goth h}\zeta}(\|\Psi(\cdot,\zeta); H^1({\Bbb Y})\|^2+ \|\partial_\zeta \Psi(\cdot,\zeta); L^2({\Bbb Y})\|^2)\,d\zeta\bigg)^{1/2}. $$ Тогда преобразование Фурье задает аналитическую функцию $\widehat{\bold F}$ в полосе $\varpi({\goth h})$. Зафиксируем весовой показатель ${\goth b}\in(0,{\goth h})$. Обратные преобразования Фурье функции ${\goth z}\mapsto{\goth A}({\goth x})^{-1}\widehat{\bold F}(\cdot;{\goth z})$ вдоль прямых ${\goth L}_{\pm{\goth b}} = \{{\goth z}\in{\Bbb C} : \operatorname{Im}{\goth z}=\pm{\goth b}\}$ предоставляет два решения $Z^\pm\in{\goth W}^1_{0,\pm{\goth h}}(\Xi)^3$ задачи (41), а теорема Коши о вычетах --- их связь $$ Z^-(\xi)=C_0e_{(3)}w^\odot_1(\eta)+C_1 \big(\zeta e_{(3)}w^\odot_1(\eta)+W(\eta)\big)+Z^+(\xi). \eqno(45) $$ Вернемся к рассмотрению задачи (39) на полуцилиндре $\Xi_+$ с правой частью (40), порожденной вектор-функцией $G$, равной нулю при $\zeta>1$, --- это свойство достигается разрешенным умножением на срезку $\chi_1\in C^\infty({\Bbb R})$, для которой $\chi_1(\zeta)=1$ при $\zeta<1/2$ и $\chi_1(\zeta)=0$ при $\zeta>1$. Теперь умножим само решение $Z^\sharp\in{\bold H}^1_0(\Xi)^3$ на $1-\chi_1$ и придем к интегральному тождеству (41) с функционалом ${\bold F}$, имеющим носитель на множестве $\overline{{\Bbb Y}}\times[0,1]$. Вектор-функция $Z^-=(1-\chi_1)Z^\sharp$, продолженная нулем на $\Xi_-={\Bbb Y}\times(-\infty,0)$, принадлежит пространству ${\goth W}^{1}_{0,-{\goth b}}(\Xi)^3$ (заменили степенной вес $(1+\zeta)^{-1}$ экспоненциальным $e^{-{\goth b}\zeta}$) и допускает представление (45), которое сузим на полуцилиндр $\Xi_+$. Слагаемое $C_0e_{(3)}w^\odot_1$ попадает в пространство ${\bold H}^1_0(\Xi_+;\partial{\Bbb Y}\times{\Bbb R}_+)^3$, а слагаемое $C_1\bigl(\zeta e_{(3)}w^\odot_1+W\bigr)$ --- только при $C_1=0$. Уточним полученный результат. \proclaim{Теорема 4} Существует такой показатель $\beta>0$, что в случае $e^{\beta(1+|\eta|^2)^{1/2}} G\in H^1_0({\Bbb Y})^3$ решение $Z\in{\bold H}^1_0(\Xi_+;\partial{\Bbb Y}\times{\Bbb R}_+)^3$ задачи $(36)$ допускает представление $$ Z(\xi)=C(G)e_{(3)}w^\odot_1(\eta)+\widetilde{Z}(\xi), $$ причем модуль коэффициента $C(G)\in{\Bbb R}$ и норма $\|e^{\beta(1+|\xi|^2)^{1/2}} \widetilde{Z}; H^1({\Bbb \Xi_+})\|$ остатка $\widetilde{Z}(\xi)$, исчезающего на бесконечности с экспоненциальной скоростью, не превосходят $c\|e^{\beta(1+|\eta|^2)^{1/2}}G;H^1({\Bbb Y})\|$. \endproclaim \demo{Доказательство} Осталось убедиться в экспоненциальном затухании остатка $\widetilde{Z}(\eta,\zeta)$ при $|\eta|\rightarrow+\infty$. Для этого достаточно заметить, что компоненты $w^\odot_1$ и $W_1$, $W_2$ собственного и присоединенного векторов принадлежат пространству ${\goth W}^1_{\vartheta,0}({\Bbb Y})$ с весовой нормой $\bigl\|\Psi;{\goth W}^1_{\vartheta,0}({\Bbb Y})\bigr\| =\|e^{\vartheta(1+|\eta|^2) ^{1/2}}\Psi; H^1({\Bbb Y})\|$. Таким образом, в определении пучка (44) пространство Соболева $H^1_0({\Bbb Y})$ можно заменить пространством Кондратьева ${\goth W}^1_{\vartheta,0}({\Bbb Y})$ при сохранении основных свойств пучка. При этом задачу следует интерпретировать как обыкновенное дифференциальное уравнение с операторными коэффициентами в банаховом или гильбертовом пространстве (см. [33--35] и др.). Теорема~4 доказана. \medskip В~разд.~6 будет использовано следствие теоремы~4: существует постоянная $C_W\in{\Bbb R}$, при которой решение $Z^W(\xi)$ задачи (36) с правой частью $G(\eta,0)=W(\eta)- C_We_{(3)}w^\odot_1(\eta)$ исчезает на бесконечности с экспоненциальной скоростью. \specialhead\Label{Section 6} 6. Обоснование асимптотики некоторых собственных чисел \endspecialhead В~пространстве Соболева ${\Cal H}^h(\theta)=H^1_{0,\theta}(\bowtie ^h_H)^3$ введем новое скалярное произведение $$ \langle U^h(\cdot ;\theta),\Psi^h(\cdot ;\theta)\rangle =E\bigl(U^h(\cdot ;\theta),\Psi^h(\cdot ;\theta);\bowtie ^h_H\bigr) \eqno(46) $$ и определим положительно определенный, непрерывный и симметричный, а значит, самосопряженный оператор ${\Cal T}^h(\theta)$ при помощи тождества $$ \langle{\Cal T}^h(\theta) U^h(\cdot ;\theta),\Psi^h(\cdot ;\theta)\rangle =(U^h(\cdot ;\theta),\Psi^h(\cdot ;\theta))_{\text{$\bowtie$}^h_H}\quad \forall U^h(\cdot ;\theta),\Psi^h(\cdot ;\theta)\in{\Cal H}^h(\theta). \eqno(47) $$ Поскольку ячейка $\bowtie ^h_H$ ограничена, этот оператор компактный, т.~е. согласно общим результатам [20, теоремы 10.1.5 и 10.2.2] его существенный спектр состоит из единственной точки $\tau=0$, а дискретный спектр образует монотонную положительную бесконечно малую последовательность (нормальных) собственных чисел, составленную при учете их (конечных) кратностей, $$ \tau^h_1(\theta)\geq\tau^h_2(\theta)\geq\tau^h_3(\theta) \geq\dots\geq\tau^h_k (\theta)\geq\dots\rightarrow+0. \eqno(48) $$ При этом вариационная задача (12) превращается в абстрактное уравнение $$ {\Cal T}^h(\theta) {\Cal U}^h(\theta)= \tau^h{\Cal U}^h(\theta)\in {\Cal H}^h(\theta) $$ с новым спектральным параметром $$ \tau^h(\theta)=\Lambda^h(\theta)^{-1}. \eqno(49) $$ Связь (49) переделывает последовательность (48) в последовательность (5). Следующее утверждение известно как лемма о ``почти собственных'' числах и векторах (см. первоисточник [36]) и основано на спектральном разложении резольвенты оператора ${\Cal T}^h(\theta)$ (см., например, [20, Chapter~6]). \proclaim{Лемма 2} Зафиксируем какой-нибудь параметр Флоке $\theta\in[0,2\pi]^2$. Пусть ${\bold U}^h(\theta)\in{\Cal H}^h(\theta)$ и ${\bold t}^h(\theta)\in{\Bbb R}_+$ таковы, что $$ \|{\bold U}^h(\theta);{\Cal H}^h(\theta)\|=1,\quad \|{\Cal T}^h(\theta){\bold U}^h(\theta)-{\bold t}^h(\theta){\bold U}^h(\theta); {\Cal H}^h(\theta)\|=:{\boldsymbol \delta}^h(\theta)\in (0,{\bold t}^h(\theta)). \eqno(50) $$ Тогда есть собственное число $\tau^h_{{\bold n}^h(\theta)}$ оператора ${\Cal T}^h(\theta)$, подчиненное оценке $$ \big|\tau^h_{{\bold n}^h(\theta)}-{\bold t}^h(\theta)\big| \leq{\boldsymbol \delta}^h(\theta). $$ Более того, при любом ${\boldsymbol \delta}^h_{\ast}(\theta) \in ({\boldsymbol \delta}^h(\theta),{\bold t}^h(\theta))$ найдется столбец коэффициентов $$ {\bold c}^h(\theta)=\big({\bold c}^h_{{\Cal N}^h(\theta)} ,\dots,{\bold c}^h_{{\Cal N}^h(\theta)+ {\Cal X}^h(\theta)-1}\big)\in{\Bbb R}^{{\Cal X}^h(\theta)}, $$ для которого $$ \Bigg\|{\bold U}^h(\theta)- \sum\limits_{j={\Cal N}^h(\theta)}^{{\Cal N}^h(\theta) +{\Cal X}^h(\theta)-1}{\bold c}^h_j(\theta){\Cal U}^h_j(\theta); {\Cal H}^h(\theta)\Bigg\|\leq 2\frac{{\boldsymbol \delta}^h(\theta)} {{\boldsymbol \delta}^h_{\ast}(\theta)} , \eqno(51) $$ $$ \sum\limits_{j={\Cal N}^h(\theta)}^{{\Cal N}^h(\theta)+ {\Cal X}^h(\theta)-1}\big|{\bold c}^h_j(\theta)\big|^2=1. $$ Здесь $\tau^h_{{\Cal N}^h(\theta)},\dots, \tau^h_{{\Cal N}^h(\theta)+{\Cal X}^h(\theta)-1}$ --- набор всех собственных чисел оператора ${\Cal T}^h(\theta)$ из замкнутого сегмента $\big[{\bold t}^h(\theta)-{\boldsymbol \delta}^h_{\ast}(\theta), {\bold t}^h(\theta)+{\boldsymbol \delta}^h_{\ast}(\theta)\big]$, а соответствующие собственные векторы ${\Cal U}^h_{{\Cal N}^h(\theta)}(\theta),\dots, {\Cal U}^h_{{\Cal N}^h(\theta)+{\Cal X}^h(\theta)-1}(\theta)$ удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки $$ \big\langle{\Cal U}^h_{j}(\theta), {\Cal U}^h_{k}(\theta)\big\rangle=\delta_{j,k}. \eqno(52) $$ \endproclaim В~согласии с асимптотическим анализом из разд.~4 соорудим по собственной паре (35) предельной задачи (31), (32) следующие ``почти собственные'' число и вектор оператора ${\Cal T}^h(\theta)$: $$ {\bold t}^h_{n\ell/\wp}=h^2(M_1+h^2\kappa_n)^{-1}, \eqno(53) $$ $$ {\bold U}^h_{n\ell/\wp}(x)=\bigl\|{\bold v}^h_{n\ell/\wp}; {\Cal H}^h(\theta)\bigr\|^{-1}{\bold v}^{h}_{n\ell/\wp}(x). \eqno(54) $$ Отметим, что каждому индексу $n\in{\Bbb N}$ отвечают два ($\ell$ и $\wp$) не зависящих от параметра Флоке экземпляра числа (53), а вектор-функции $$ \multline {\bold v}^{h}_{n\ell/\wp}(x)=\chi^h_{\ell/\wp}(y)\bigl(e_{(3)} w_1(\eta^{\ell/\wp})v_n(z)+hW(\eta^{\ell/\wp})\partial_z v_n(z) +h^2e_{(3)}V_3(\eta^{\ell/\wp})v_n(z) \\ +h\big(e_{(3)}w_1(\eta^{\ell/\wp}) {\goth v}_n(z)+hW(\eta^{\ell/\wp})\partial_z{\goth v}_n(z))- \chi_H(z)\partial_z v_n(0)Z^W(\xi^0_{\ell/\wp}) \\ -\chi_H(H-z)\partial_z v_n(H)Z^W\bigl(\xi^H_{\ell/\wp}\bigr) \bigr) \endmultline $$ локализованы на треногах $\text{\ss{Y}}^h_{H\ell}$ и $\text{\ss{Y}}^h_{H\wp}$ благодаря определению срезок (26). Кроме того, $\{M_1;w_1\}$ --- собственная пара задачи (19), вектор $W=(W^\prime,0)$ включает решение задачи (29), а компонента $V_3(\eta^{\ell/\wp})v_n(z)$ находится в результате решения задачи (30), из правой части которой при помощи уравнения (31) устранена вторая производная $\partial_z^2v_n(z)$. Наконец, $\xi^{0/H}_{\ell/\wp}$ и $Z^W$ --- растянутые координаты и специальное решение задачи (36), введенные соответственно в начале и конце разд.~5, а ${\goth v}_n$ --- любая гладкая функция, $$ {\goth v}_n(z)=-\partial_zv_n(0) \text{ при } z\in(0,H/3)\ \text{\rm и}\ {\goth v}_n(z)=-\partial_zv_n(H)\text{ при } z\in(2H/3,H). $$ Согласно краевым условиям для $Z^W$ и $v_n$, введению срезки $\chi_H\in C_c^\infty[0,H)$, для которой $\chi_H(z)=1$ вблизи точки $z=0$, а также равенствам $\partial_z{\goth v}_n(0)=\partial_z{\goth v}_n(H)=0$ и конструкциям из разд.~4 вектор-функция ${\bold v}^{h}_{n\ell/\wp}$ удовлетворяет условию Дирихле (7), а значит, ввиду присутствия срезки $\chi^h_{\ell/\wp}$ выполнено включение ${\bold v}^{h}_{n\ell/\wp}\in{\Cal H}^h(\theta)$ при любом $\theta\in[0,2\pi]$. Обработаем величину ${\boldsymbol \delta}^h_{n\ell/\wp}(\theta)$ из формулы (50), найденную по паре (53), (54). Из определений (46) и (47) вытекает цепочка равенств $$ \aligned {\boldsymbol \delta}^h_{n\ell/\wp}(\theta) &=\sup\big|\bigl\langle {\Cal T}^h(\theta) {\bold U}^h_{n\ell/\wp}-{\bold t}^h_{n\ell/\wp}{\bold U}^h_{n\ell/\wp}, \psi^h(\cdot;\theta)\bigr\rangle\big| \\ &=\bigl\|{\bold v}^h_{n\ell/\wp};{\Cal H}^h(\theta)\bigr\|^{-1} {\bold t}^h_{n\ell/\wp} \sup\big|E\bigl({\bold v}^h_{n\ell/\wp},\psi^h(\cdot;\theta); \bowtie ^h_H\bigr) \\ &\qquad-(h^{-2}M_1+\kappa_n)\big({\bold v}^h_{n\ell/\wp}, \psi^h(\cdot;\theta)\big)_{\text{$\bowtie$}^h_H}\big| \\ &= \bigl\|{\bold v}^h_{n\ell/\wp};{\Cal H}^h(\theta)\bigr\|^{-1} {\bold t}^h_{n\ell/\wp} \sup\bigl|\bigl((L(\nabla_x)-h^{-2}M_1- \kappa_n){\bold v}^h_{n\ell/\wp},\psi^h(\cdot;\theta))_{\text{$\bowtie$} ^h_H}\big|. \endaligned \tag55 $$ Супремум вычисляется по единичному шару в пространстве ${\Cal H}^h(\theta)$, т.~е. в силу неравенства Фридрихса на тонкостенной конструкции $\bowtie ^h_H$ выполнено соотношение $$ 1\geq\|\psi^h(\cdot;\theta);{\Cal H}^h(\theta)\|^2 \geq\mu\bigl\|\nabla_x\psi^h(\cdot;\theta); L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \geq c_{\bowtie}\mu h^{-2} \bigl\|\psi^h(\cdot;\theta);L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2, \quad c_{\bowtie}>0. \tag56 $$ Для укорочения формул индексы $n$, $\ell/\wp$ и аргумент $\theta$ не пишем. Имеем $$ \multline (L(\nabla_x)-h^{-2}M_1-\kappa){\bold v}^h= [L(\nabla_x),\chi] (e_{(3)}w_1v+hW\partial_z v+h^2e_{(3)}V_3 v) \\ -h^{-2}\chi ve_{(3)}(\mu\Delta_\eta +M_1)w_1+ h^{-1}\chi \partial_zv ((L^\prime(\nabla_\eta)-M_1)W^\prime-(\lambda+\mu)\nabla_\eta w_1,0) \\ -h^0\chi e_{(3)}\big((\mu\Delta_\eta +M_1)V_3v+\kappa w_1v+(\lambda+2\mu)w_1\partial_z^2v +(\lambda+\mu)\nabla_\eta\cdot W^\prime \partial_z^2v\big) \\ -h^1\chi \big(\mu W^\prime\partial_z^3v +\kappa W^\prime\partial_zv +(\lambda+\mu)\nabla_\eta V_3\partial_zv, 0\big) -h^2\chi e_{(3)}((\lambda+2\mu)V_3\partial^2_zv+\kappa V_3v) \\ +h(L(\nabla_x)-h^{-2}M_1- \kappa)(e_{(3)}w_1{\goth v}+hW)\partial_z{\goth v} \\ -h\sum\limits_{G=0,H}\partial_z v(G) (L(\nabla_x)-h^{-2}M_1-\kappa)(\chi_H(\cdot^G)Z^W(\cdot^G)) =:\sum\limits_{l=}^8 I^h_l. \endmultline \tag57 $$ Напомним, что у векторных множителей при степенях параметра $h$ с четными показателями равна нулю третья компонента, а с нечетными показателями --- первые две. Построения из разд.~4 показывают, что $I^h_2=I^h_3=I^h_4=0$. Кроме того, $$ \big|\bigl(I^h_1,\psi^h\bigr)_{\text{$\bowtie$}^h_H}\big|\leq c_1 h^{-q} e^{- \gamma\sqrt{\pi^2-\mu^{-1}M_1}/h}. $$ Здесь учтено неравенство (56) для пробной функции $\psi^h$, экспоненциальное затухание функций $w_1$, $W_j$ и $V_3$ на бесконечности в треноге ${\Bbb Y}$, а также расположение носителей производных срезки (26). Аналогичные соображения обеспечивают при $p=5,6$ оценки $$ |(I^h_p,\psi^h)_{{\text{$\bowtie$}}^h_H}|\leq c_p h \biggl(\ \int\limits_{{\bowtie}^h_H} \{1+|\eta|^4+\sum\limits_{\alpha=0,\pm} \rho_\alpha^{2(\phi-1)}\} e^{-2\sqrt{\pi^2-\mu^{-1}M_1}|\eta|}\,dx\biggr)^{1/2} %\\\times \bigl\|\psi^h; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|\leq C_ph^3. $$ Дополнительный весовой множитель, выделенный фигурными скобками, возник по причине искажения представлений (21) и (22) для функций $W_1$, $W_2$ и $V_3$ на бесконечности, упомянутого в разд.~3 перед теоремой 2. Он, разумеется, не влияет на сходимость интеграла по ячейке $\bowtie ^h_H$, который приобретает порядок $h^2$ ввиду быстрого экспоненциального затухания подынтегрального выражения. Наконец, верны оценки $$ \big|\bigl(I^h_7,\psi^h\bigr)_{{\bowtie}^h_H}\big| \leq c_ph^3\quad\text{и}\quad \big|(I^h_8,\psi^h\bigr)_{\text{$\bowtie$}^h_H}\big|\leq c_ph^{7/2}. $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Первая выполнена согласно построениям из разд. 4, в силу которых после применения оператора $L(\nabla_x)-M^\odot_1$ остается вектор-функция, зависящая полиномиально от $h$ и гладко от $z$, а также исчезающая с экспоненциальной скоростью при $|\eta|\rightarrow+\infty$, а вторая --- по причине экспоненциального затухания на бесконечности решения $Z^W$ задачи (36) в трехмерной области $\Xi$: коммутирование со срезкой $\chi_H$ дает вклад $O(he^{-\beta H/3h})$, а умножение на $\kappa$ --- вклад $O(hh^{3/2}h)$. При учете нормировок собственных функций $w_1$ и $v_n$ выводим еще и соотношение $$ \|{\bold v}^h ;{\Cal H}^h\|^2=\|\nabla_\eta w_1; L^2({\Bbb Y})\|^2 \|v_n; L^2(0,H)\|^2+O(h)=M_1+O(h). $$ Таким образом, $\|{\bold v}^h ;{\Cal H}^h\|\geq M_1^{1/2}/2$ при малом $h$. Вспомним порядок $h^2$ еще одного сомножителя (53) в последнем выражении для величина (55). В~итоге обнаруживаем, что эта величина удовлетворяет неравенству $$ {\boldsymbol \delta}^h_{n\ell/\wp}(\theta)\leq c_n h^5. $$ Теперь лемма 2 предоставляет собственные числа $\tau^h_{N^h_{n,\ell/\wp}(\theta)}(\theta)$ оператора ${\Cal T}^h(\theta)$ и $\Lambda^h_{N^h_{n,\ell/\wp}(\theta)}(\theta) =\tau^h_{N^h_{n,\ell/\wp}(\theta)}(\theta)^{-1}$ задачи (6)--(8), подчиненные неравенствам $$ \big|\tau^h_{N^h_{n,\ell/\wp}(\theta)}(\theta)- {\bold t}^h_{n,\ell/\wp}(\theta)\big|\leq c_nh^5 \Rightarrow \big|\Lambda^h_{N^h_{n,\ell/\wp}(\theta)}(\theta)-h^{-2}M_1-\kappa_n\big| \leq c_nh^3 (M_1+h^2\kappa_n) \Lambda^h_{N^h_{n,\ell/\wp}(\theta)}(\theta). \tag58 $$ Последняя оценка гарантирует, что $$ \frac{1}{2}\Lambda^h_{N^h_{n,\ell/\wp}}(\theta)\leq h^{-2}M_1+\kappa_n $$ при $c_nh^3(M_1+h^2\kappa_n)\leq\frac{1}{2}$. В~результате превращаем неравенство (58) в такое: $$ \big|\Lambda^h_{N^h_{n,\ell/\wp}(\theta)}(\theta)-h^{-2}M_1-\kappa_n\big| \leq 2c_nh(M_1+h^2\kappa_n)^2. \eqno(59) $$ Сформулируем финальное утверждение, доказательство которого будет закончено в очередном разделе. \proclaim{Теорема 5} Для любого $k\in{\Bbb N}$ найдутся такие положительные величины $h_k$ и $C_k$, что при $h\in(0,h_k]$ и любом $\theta\in[0,2\pi]^2$ для членов $\Lambda^h_{2k-1}(\theta)$ и $\Lambda^h_{2k}(\theta)$ последовательности $(5)$ собственных чисел задачи $(6)$--$(8)$ выполнено неравенство $$ \big|\Lambda^h_q(\theta)-h^{-2}M_1-\kappa_k\big| \leq C_kh \quad \text{при}\quad q=2k-1,2k. \eqno(60) $$ \endproclaim \specialhead\Label{Section 7} 7. Утверждение о сходимости и доказательство теоремы~5 \endspecialhead Сначала убедимся в том, что найдется два ($\ell$ и $\wp$) разных собственных числа, удовлетворяющих соотношению (59) --- воспользуемся второй частью леммы~2. Введем какой-либо множитель $\varrho>1$ в формулу $$ {\boldsymbol \delta}^h_{\ast n\ell/\wp}(\theta)=\varrho {\boldsymbol \delta}^h_{ n\ell/\wp}(\theta). \eqno(61) $$ Через ${\bold c}^h_{(n\ell/\wp)}\in{\Bbb R}^{{\Cal X}^h_n(\theta)}$ и ${\bold S}^h_{n\ell/\wp}\in{\Cal H}^h(\theta)$ обозначим пары столбцов и линейных комбинаций собственных векторов оператора ${\Cal T}^h(\theta)$, предоставленные формулой (51). Условия ортогональности и нормировки (52) показывают, что $$ \align |({\bold c}^h_{(n\ell)}, {\bold c}^h_{(n\wp)})_{{\Bbb R}^{{\Cal X}^h_n(\theta)}}| &= |\langle {\bold S}^h_{n\ell},{\bold S}^h_{n\wp}\rangle |\leq |\langle {\bold S}^h_{n\ell}- {\bold U}^h_{n\ell},{\bold S}^h_{n\wp}\rangle_\varepsilon| \\ &\qquad+|l\langle {\bold U}^h_{n\ell},{\bold S}^h_{n\wp}- {\bold U}^h_{n\wp}\rangle| +|\langle {\bold U}^h_{n\ell}, {\bold U}^h_{n\wp}\rangle|\leq 2\rho^{-1}+2\rho^{-1}+0. \endalign $$ Последний нуль возник потому, что носители вектор-функций ${\bold U}^h_{n\ell}$ и ${\bold U}^h_{n\wp}$ не пересекаются (см. определение срезок (26)). При большом $\varrho$ столбцы ${\bold c}^h_{(n\ell)}$ и ${\bold c}^h_{(n\wp)}$ ``почти ортогональны,'' что возможно только в случае ${\Cal X}^h_n(\theta)\geq2$. Зафиксируем подходящий множитель $\varrho$ в формуле (61). Итак, оценка (59) с увеличенной в $\varrho$ раз мажорантой (несущественное ее изменение) выполнена по крайней мере для двух членов последовательности (5). Теперь проверим, что такой оценке удовлетворяют только собственные числа $\Lambda^h_{2n-1}(\theta)$ и $\Lambda^h_{2n}(\theta)$. Заметим, что по доказанному к настоящему моменту верны неравенства $$ \Lambda^h_{2n-1}(\theta)\leq\Lambda^h_{2n}(\theta)\leq \max\limits_{\ell,\wp} \big\{\Lambda^n_{N^n_{n\ell/\wp}(\theta)}(\theta)\big\} \leq h^{-2}M_1+\kappa_n+ 2\varrho c_nh(M_1+h^2\kappa_n)^2\leq h^{-2}M_1+C_n. \tag62 $$ Таким образом, для каждых $n\in{\Bbb N}$ и $\theta\in[0,2\pi]^2$ найдется положительная бесконечно малая последовательность $\bigl\{h^{(n)}_m(\theta)\bigr\}_{m\in{\Bbb N}}$, вдоль которой имеют место сходимости (индекс $n$ и аргумент $\theta$ по обычаю не пишем) $$ \Lambda^h_q-h^{-2}M_1\rightarrow\widehat{\kappa}_q \text{ при } h\rightarrow+0, \quad\text{где } q=2n-1,2n. \eqno(63) $$ Определим следующие функции переменной $z\in(0,H)$ и вектор-функции переменных $(\eta^{\ell/\wp}, z)\in{\Bbb Y}\times(0,H)$: \iftex $$ \align &W^{h\ell/\wp}_{q3}(z;\theta)=h\int\limits_{{\Bbb Y}}w_1(\eta) \chi_{\ell/\wp}(y)U^h_{(q)3}(y^{\ell/\wp}\pm h\eta^{\ell/\wp},z)\,d\eta^{\ell/\wp}, \tag64 \\ &W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot}(\eta^{\ell/\wp},z;\theta)=h\chi_{\ell/\wp}(y) U^h_{(q)}(y^{\ell/\wp}\pm h\eta^{\ell/\wp},z;\theta) -e_{(3)}w_1(\eta^{\ell/\wp})W^{h\ell/\wp}_{q3}(z;\theta). \tag65 \endalign $$ \else $$ W^{h\ell/\wp}_{q3}(z;\theta)=h\int\limits_{{\Bbb Y}}w_1(\eta) \chi_{\ell/\wp}(y)U^h_{(q)3}(y^{\ell/\wp}\pm h\eta^{\ell/\wp},z)\,d\eta^{\ell/\wp}, \tag64 $$ $$ W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot}(\eta^{\ell/\wp},z;\theta)=h\chi_{\ell/\wp}(y) U^h_{(q)}(y^{\ell/\wp}\pm h\eta^{\ell/\wp},z;\theta) -e_{(3)}w_1(\eta^{\ell/\wp})W^{h\ell/\wp}_{q3}(z;\theta). \tag65 $$ \fi Здесь $\chi_{\ell/\wp}$ --- срезки (26), $U^h_{(q)}$ --- нормированная в пространстве $L^2(\bowtie ^h\times(0,H))^3$ собственная вектор-функция задачи (6)--(8), а знаки плюс и минус отвечают индексам $\ell$ и $\wp$ соответственно. Далее аргумент $\theta$ не пишем. Понятно, что выполнены краевые условия $$ W^{h\ell/\wp}_{q3}(0)=W^{h\ell/\wp}_{q3}(H)=0. \eqno(66) $$ Благодаря весовой оценке (15) и ограничению (26) несложные преобразования, порождающие экспоненциально малые погрешности, превращают интегральное тождество (12), в котором фигурируют пара $\bigl\{\Lambda^h_q;U^h_{(q)}\bigr\}$ и пробная вектор-функция $\Psi^h=\chi_{\ell/\wp}^2U^h_{(q)}$, в соотношение $$ \multline \mu\bigl\|\partial_z\bigl(\chi_{\ell/\wp}U^h_{(q)}\bigr); L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \\ \leq \Lambda^h_q\bigl\|\chi_{\ell/\wp}U^h_{(q)}; L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2- \mu\bigl\|\nabla_y\bigl(\chi_{\ell/\wp}U^h_{(q)}\bigr); L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2+c_qe^{-\beta_q/h} \\ \leq \big(\Lambda^h_q-M_1h^{-2}\big) \bigl\|\chi_{\ell/\wp}U^h_{(q)}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 +c_qe^{-\beta_q/h} \\ \leq C_q \bigl\|U^h_{(q)}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2+c_qe^{-\beta_q/h} \leq {\bold C}_q. \endmultline \tag67 $$ Величины $c_qe^{-\beta_q/h}$ учитывают невязки, возникающие вследствие коммутирования градиент-оператора $\nabla_x$ со срезками $\chi_{\ell/\wp}$, неотрицательное слагаемое $(\lambda+\mu) \bigl\|\nabla_y\cdot\bigl(\chi_{\ell/\wp}U^h_{(q)}\bigr); L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2$ из квазиэнергии (11) отброшено за ненадобностью, а в конце цепочки использовано первое неравенство в списке (25). Вектор-функция (65) при всех $z\in(0,H)$ удовлетворяет условию ортогональности $$ \big(W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot3},w_1\big)_{{\Bbb Y}}=0, \eqno(68) $$ а значит, из второго и третьего неравенств (25) вытекает, что $$ \int\limits_0^H \bigl\|\nabla_\eta W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot3}(\cdot;z);L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2\,dz\geq \pi^2\int\limits_0^H \bigl\|\nabla_\eta W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot3}(\cdot;z);L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2\,dz, $$ $$ \multline \int\limits_0^H \big(\mu\bigl\|\nabla_\eta W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot}(\cdot;z);L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2+ (\lambda+\mu)\bigl\|\nabla_\eta\cdot W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot}(\cdot;z);L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2\big)\,dz \\ \ge (M_1+d_{{\Bbb Y}})\int\limits_0^H \bigl\|W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot}(\cdot;z);L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2\,dz. \endmultline \tag69 $$ Напомним, что $d_{{\Bbb Y}}>0$. По той же причине (68) имеем $$ \multline \int\limits_{\bowtie ^h_H} \big|\chi_{\ell/\wp}(y) U^h_{(q)}(x)\big|^2\,dx= h^2\int\limits_0^H\int\limits_{{\Bbb Y}} \big|\chi_{\ell/\wp}(y) U^h_{(q)}(x)\big|^2\,d\eta dz \\ = \int\limits_0^H\big|{W}^{h\ell/\wp}_{q3}(z)\big|^2\,dz+ \int\limits_0^H\big\|W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot}(\cdot,z);L^2({{\Bbb Y}})\big\| ^2\,dz, \endmultline $$ $$ \multline \mu h^2\int\limits_0^H\int\limits_{{\Bbb Y}} \big|\chi_{\ell/\wp}(y) \partial_zU^h_{(q)}(x)\big|^2\,d\eta dz \\ =\mu \int\limits_0^H \bigl|\partial_z{W}^{h\ell/\wp}_{q3}(z)\bigr|^2\,dz+\mu \int\limits_0^H\big\|\partial_zW^{h\ell/\wp}_{(q)\bot}(\cdot,z); L^2({\Bbb Y})\big\|^2\,dz, \endmultline \tag70 $$ $$ \multline \mu h^2\int\limits_0^H\int\limits_{{\Bbb Y}} \big|\nabla_y(\chi_{\ell/\wp}(y) U^h_{(q)3}(x))\big|^2\,d\eta dz=\mu\int\limits_{{\Bbb Y}}|\nabla_\eta w_1(\eta)|^2\,d\eta \int\limits_0^H\big|{W}^{h\ell/\wp}_{q3}(z)\big|^2\,dz \\ +\mu\int\limits_0^H\int\limits_{{\Bbb Y}}\big|\nabla_\eta W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot3}(\eta,z)\big|^2\,d\eta dz +2\mu \int\limits_0^H\int\limits_{{\Bbb Y}}{W}^{h\ell/\wp}_{q3}(z)\nabla_\eta w_1(\eta)\cdot \nabla_\eta W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot3}(\eta,z)\,d\eta dz \\ =M_1\big\|{W}^{h\ell/\wp}_{q3}; L^2(0,H)\bigr\|^2 +\big\|\nabla_\eta {W}^{h\ell/\wp}_{q\bot3}; L^2({\Bbb Y}\times(0,H))\bigr\|^2. \endmultline $$ Последний интеграл обратили в нуль при помощи интегрирования по частям, формулы $-\Delta_\eta w_1=M_1w_1$ и условия ортогональности (68). Из неравенств (70), (67) и соотношений (9), (66) вытекает, что вдоль разреженной последовательности $\{h^{(n)}_m\}_{m\in{\Bbb N}}$ (сохраняем то же обозначение, что и в (63)) имеет место сходимость $$ {W}^{h\ell/\wp}_{q3}\rightarrow \widehat{v}_q^{ \ell/\wp}\quad \text{слабо в}\quad H_0^1(0,H)\quad \text{и сильно в}\quad L^2(0,H). \eqno(71) $$ С целью проверить предельный переход для вектор-функции (65) $$ W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot} \rightarrow 0\quad \text{сильно в}\quad L^2({\Bbb Y}\times(0,H))^3 \eqno(72) $$ придадим уже использованному в формуле (67) интегральному тождеству такой вид: $$ \multline \mu\bigl\|\nabla_y\bigl(\chi_{\ell/\wp} U^{h\prime}_{(q)}\bigr); L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2+ (\lambda+\mu) \bigl\|\nabla_y\cdot\bigl(\chi_{\ell/\wp} U^{h\prime}_{(q)}\bigr)+\chi_{\ell/\wp} \partial_z U^{h}_{(q)3}; L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2 \\ -\Lambda^h_q\bigl\|\chi_{\ell/\wp}U^{h\prime}_{(q)}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2+ \mu\bigl\|\nabla_y\bigl(\chi_{\ell/\wp} U^{h}_{(q)3}\bigr); L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2- \Lambda^h_q\bigl\|\chi_{\ell/\wp}U^{h}_{(q)3}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \\ \leq-\mu\bigl\|\chi_{\ell/\wp} \partial_z U^{h}_{(q)}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 +c_qe^{-\beta_q/h}\leq c_q. \endmultline $$ В~силу простого алгебраического соотношения $(a+b)^2\geq(1-\varepsilon)a^2- (\varepsilon^{-1}-1)b^2$ с произвольным $\varepsilon>0$, неравенств (69) и первой формулы (70) выводим, что левая часть превосходит величину $$ \multline 0\geq\mu\bigl\|\nabla_y\bigl(\chi_{\ell/\wp} U^{h\prime}_{(q)}\bigr); L^2(\bowtie ^h_H)\bigr\|^2+ (1-\varepsilon)(\lambda+\mu) \bigl\|\nabla_y\cdot(\chi_{\ell/\wp} U^{h\prime}_{(q)}); L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \\ -\Lambda^h_q\bigl\|\chi_{\ell/\wp}U^{h\prime}_{(q)}; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 -(\varepsilon^{-1}-1)(\lambda+\mu) \bigl\|\chi_{\ell/\wp}\partial_z U^{h}_{(q)3}; L^2 \bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2 \\ +\big(M_1h^{-2}-\Lambda^h_q\big) \bigl\|W^{h\ell/\wp}_{(q)3}; L^2(0,H)\bigr\|^2 +\bigl(\mu\pi^2h^{-2}-\Lambda^h_q\big) \bigl\|W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot3}; L^2({\Bbb Y}\times(0,H))\bigr\|^2 \\ \geq \frac{1-\varepsilon}{h^2} \int\limits_0^HE^\prime\big(W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot}(\cdot,z), W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot}(\cdot,z);{\Bbb Y}\big)\,dz \\ -\Lambda^h_q\int\limits_0^H \big\|W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot}(\cdot,z);L^2({\Bbb Y})\big\|^2\,dz -C_q\big\|W^{h\ell/\wp}_{(q)3}; L^2(0,H)\big\|^2 \\ +\left(\frac{\mu\pi^2-M_1}{h^2}-C_q\right) \big\|W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot3}; L^2({\Bbb Y}\times(0,H))\big\|^2- \left(\frac{1}{\varepsilon}-1\right)(\lambda+\mu){\bold C}_q \\ \geq \frac{1}{h^2}\int\limits_0^H \bigl(\bigl\{(M_1+d_{{\Bbb Y}})(1-\varepsilon)-h^2 \Lambda^h_q\bigr\} \bigl\|W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot}(\cdot,z);L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2 \\ +\{\mu\pi^2-M_1-C_qh^2\} \bigl\|W^{h\ell/\wp\prime}_{(q)\bot3}(\cdot,z); L^2({\Bbb Y})\bigr\|^2\big)\,dz- C_q-(\varepsilon^{-1}-1)(\lambda+\mu){\bold C}_q. \endmultline $$ В~силу ограничения (62) число $\varepsilon>0$ можно выбрать так, чтобы первый коэффициент, выделенный фигурными скобками, стал больше $c_{{\Bbb Y}}>0$ при $h\in(0,h_{{\Bbb Y}}]$ и некотором $h_{{\Bbb Y}}>0$. Второй такой коэффициент положителен, поскольку $M_1<\mu\pi^2$ (см. разд.~3). Следовательно, выполнено неравенство $$ \big\|W^{h\ell/\wp}_{(q)\bot};L^2({\Bbb Y}\times(0,H))\big\|^2\leq c^\prime_qh^2, $$ влекущее за собой сходимость (72), причем предельный переход (71) и условие нормировки (9) собственной вектор-функции $U^h_{(q)}$ показывают, что $$ \big\|\widehat{v}_q^{\ell/\wp}; L^2(0,H)\big\|^2=1. \eqno(73) $$ Теперь возьмем какую-либо функцию $\varphi\in C_c^\infty(0,H)$ и в интегральное тождество (12) для пары $\bigl\{\Lambda^h_q;U^h_{(q)}\bigr\}$ подставим имитирующую асимптотический анзац (28) пробную вектор-функцию $$ \Psi^h(x)=h\chi_{\ell/\wp}(y)(e_{(3)}w_1(\eta^{\ell/\wp})\varphi(z)+ hW(\eta^{\ell/\wp})\partial_z\varphi(z)+h^2V(\eta^{\ell/\wp},z)), $$ В~отличие от разд.~4 компонента $V_3$ последнего члена находится из задачи $$ \alignat2 &-\mu\Delta_\eta V_3(\eta;z)-M_1V_3(\eta;z) =(\lambda+\mu)\nabla_\eta \cdot W^\prime(\eta)\partial_z^2\varphi(z)+w_1(\eta)(\lambda+2\mu-b) \partial_z^2\varphi(z),&\quad& \eta\in{\Bbb Y}, \\ &V_3(\eta;z)=0,&\quad& \eta\in\partial{\Bbb Y}. %в русском , \endalignat $$ В~силу формулы \Tag(33) для коэффициента $b$ такая задача имеет решение, но модификация анзаца имеет следующее последствие: в соответствии с проведенными в разд.~4 вычислениями упомянутое интегральное тождество переписывается в виде $$ \aligned 0&=h\big(U^h_{(q)},\bigl(L(\nabla_x)-\Lambda^h_q\bigr) (\chi_{\ell/\wp}(e_{(3)}w_1\varphi+ hW\partial_z\varphi+h^2V))_{\text{$\bowtie$}^h_H} \\ &=h^{-1}\big(\chi_{\ell/\wp}U^h_q,w_1 \bigl(\partial_z^2\varphi +\bigl(\Lambda^h_q-h^{-2}M_1\bigr)\varphi\bigr)\big)_{\text{$\bowtie$}^h_H} +O(1). \endaligned \tag74 $$ Согласно сходимостям \Tag(63) и \Tag(71), \Tag(72) предельный переход $h\rightarrow+0$ в формуле \Tag(74) превращает ее в соотношение $$ \big(\widehat{v}_q^{\ell/\wp}, b\partial_z^2\varphi+\widehat{\beta}_q\varphi\big)_{(0,H)}=0 \quad \forall %\?\text{для всех } \varphi\in C^\infty_c(0,H). $$ Отсюда при учете равенства \Tag(73) выводим нужное утверждение. \proclaim{Лемма 3} При ограничении \Tag(62) предельные переходы \Tag(63) и \Tag(71) дают собственную пару хотя бы одного из двух $(\ell$ и $\wp)$ экземпляров задачи \Tag(31), \Tag(32). \endproclaim Теперь можно завершить проверку теоремы 5. Соотношение \Tag(62) обеспечивает неравенство $\max\bigl\{N^h_{n\ell/\wp}(\theta)\bigr\}\geq2n$. Если случилось, что один из индексов $N^h_{n\ell/\wp}(\theta)$ строго больше $2n$ при каких-нибудь $\theta\in[0,2\pi]^2$ и последовательности $\{h_n(\theta)\}_{n\in{\Bbb N}}$, стремящейся к $+0$, то на сегменте ${\Cal J}^{h_n(\theta)}_n:=[0,h_n(\theta)^{-2} M_1+k_n+C_kh_n(\theta)]$ найдется собственное число $\Lambda^{h_n(\theta)}_{\#}$ (как обычно, индекс $n$ и аргумент $\theta$ далее не пишем), у которого собственная вектор-функция $U^{h}_{(\#)}$ ортогональна в $L^2\big(\bowtie ^h_H\big)^3$ не менее $2n$ собственным вектор-функциям той же задачи (6)--(8), отличающимся от $U^{h}_{(\#)}$, но отвечающим собственным числам из сегмента ${\Cal J}^h$. Предельные переходы (63) и (71) предоставляют спектральную пару $\{\kappa_{\#}; v_{\#}\}\in[0,\kappa_n]\times H^1_0(0,H)$ задачи (31), (32), причем сильные $L^2$-сходимости (71) и (72) гарантируют, что $v_{\#}$ ортогональна функциям $v_1,\dots,v_n$ из списка (35). Это, разумеется невозможно, т.~е. теорема~5 доказана в полном объеме. \specialhead\Label{Section 7} 8. Лакунарное строение спектра \endspecialhead Теорема 5 показывает, что спектральные сегменты $\Sigma^h_{2k-1}=\Sigma^h_{2k}$ располагаются около точек $$ h^{-2}M_1+\pi^2H^{-2}k^2+O(h), \eqno(75) $$ однако она дает неправильную --- степенн\'{у}ю --- оценку для их длин. Следующее утверждение, опирающееся на теорему~1, показывает, в частности, что эти длины экспоненциально малы. \proclaim{Теорема 6} Для любого $k\in{\Bbb N}$ найдутся такие положительные $h_k$ и $C_k$, что при $h\in(0,h_k]$ длины ${\Cal L}^h_k$ сегментов $\Sigma^h_{2k- 1}=\Sigma^h_{2k}$ удовлетворяют неравенству $$ {\Cal L}^h_k\leq 2C_kh^{-2} e^{-\beta/h}, \eqno(76) $$ где $\beta=\beta_d>0$ --- показатель, предоставленный теоремой~$1$, например, при $d=(\mu\pi^2-M_1)/2$. \endproclaim \demo{Доказательство} В~условиях теоремы 1 для собственных чисел (5) проверим оценку $$ \big|\Lambda^h_k(\theta)-\Lambda^h_k(0)\big|\leq C_kh^{-2}e^{-\beta/h}, \eqno(77) $$ из которой сразу же вытекает искомая формула (76). Подчеркнем, что в силу асимптотической формулы (60) при малом $h$ ограничение (14) выполнено при любом $d\in(0,\mu\pi^2-M_1)$. Применим максиминимальный принцип (см. [20; теорема~10.2.2]) для оператора задачи (6)--(8) $$ \Lambda^h_p(\theta)=\max\limits_{{\Cal E}_p(\theta)} \inf\limits_{\Psi^h(\cdot;\theta)\in{\Cal E}_p(\theta)\setminus\{0\}} \frac{E\bigl(\Psi^h(\cdot;\theta),\Psi^h(\cdot;\theta);\bowtie ^h_H\bigr)} {\bigl\|\Psi^h(\cdot;\theta) ; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2}, $$ в котором ${\Cal E}_p(\theta)$ --- любое подпространство в $H^1_{0,\theta}\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)^3$ с коразмерностью $p-1$. Зафиксируем два параметра Флоке $\theta^1$ и $\theta^2$ в квадрате $[0,2\pi]^2$. Произведения ${Z}^{ h}_{(j)}(x;\theta^1)=\chi (y)U^h_{(j)}(x;\theta^1)$, $j=1,\dots,p$, собственных вектор-функций $U^h_j(\cdot;\theta^1)$ и суммы $\chi=\chi_\ell+\chi_\wp$ срезок \Tag(26) аннулируются около торцов ${\Bbb I}^{h\pm}_{H\ell/\wp\pm}$ ячейки и потому попадают в пространство $H^1_{0,\theta}\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)^3$ при любом параметре Флоке $\theta$. Более того, в силу экспоненциальной весовой оценки \Tag(15) они подчинены неравенствам $$ \align & |({Z}^{ h}_{(j)}(\cdot;\theta^1),{Z}^{ h}_{(m)}(\cdot;\theta^1) )_{\text{$\bowtie$}^h_H}-\delta_{j,m}| \leq c^0_pe^{-\beta/h}, \\ &|E({\Cal Z}^{ h}_{(j)}(\cdot;\theta^1),{\Cal Z}^{h}_{(m)}(\cdot; \theta^1); \bowtie ^h_H)- \delta_{j,m}\Lambda^h_j(\theta^1)|\leq c^1_ph^{-2}e^{-\beta/h},\quad j,m=1,\dots,p, \endalign $$ и сохраняют линейную независимость. Таким образом, в любом подпространстве ${\Cal E}^h_p(\theta^2)$ (сменили параметр Флоке), имеющем коразмерность $p-1$, находим линейную комбинацию $$ {\Cal Z}^{ h}_{{\Cal E}^h_p(\theta^2)}(x)=\sum\limits_{j=1}^p {\Cal C}^h_j(\theta^2)Z^{ h}_{(j)}(x),\quad\text{причем}\quad \sum\limits_{j=1}^p| {\Cal C}^h_j(\theta^2)|^2=1. $$ В~силу приведенных формул дробь Рэлея удовлетворяет соотношению $$ \frac{E\bigl( {\Cal Z}^{ h}_{{\Cal E}^h_p(\theta^2)}, {\Cal Z}^{ h}_{{\Cal E}^h_p(\theta^2)} ;\bowtie ^h_H\bigr)} {\bigl\| {\Cal Z}^{ h}_{{\Cal E}^h_p(\theta^2)} ; L^2\bigl(\bowtie ^h_H\bigr)\bigr\|^2} \leq\frac{\sum\limits_{j=1}^p\big|{\Cal C}^h_j(\theta^2)\big|^2\Lambda^h_j (\theta^1) +c^1_pp^2h^{-2}e^{-\beta/h}}{\sum\limits_{j=1}^p\big| {\Cal C}^h_j(\theta^2)\big|^2-c^0_pp^2e^{-\beta/h}} \leq \Lambda^h_p(\theta^1)+ C_ph^{-2}e^{-\beta/h}. \tag78 $$ Для проверки оценки (77), а вместе с ней и оценки (76) нужно в неравенстве (78) поменять местами параметры $\theta^1$ и $\theta^2$, а затем положить $\theta^1=\theta$ и $\theta^2=0$. Теорема 6 доказана. \medskip Установленные асимптотические формулы означают, что в низкочастотном диапазоне спектра (3) зоны прохождения волн (4) располагаются около точек (75), но имеют экспоненциально малые длины, а между парами $\Sigma^h_{2k-1}=\Sigma^h_{2k}$ и $\Sigma^h_{2k+1}=\Sigma^h_{2k+2}$ спектральных сегментов раскрыта лакуна шириной $\pi^2H^{-2}(2k+1)$. При этом зоны торможения волн оказываются значительно более широкими, что в значительной степени препятствует распространению упругих волн в тонкостенной сотовой конструкции $\boxtimes^h_H$. \specialhead\Label{Section 7} 9. Разное \endspecialhead $1^\circ$. {\sc Размеры спектральных сегментов.} Теорема~5 с приемлемой точностью $O(h)$ устанавливает положение сегментов (4), однако такая точность не дает правильного представления об их длинах. В~принципе продолжение процедуры построения асимптотики из разд.~4 позволяет соорудить разложение собственных чисел в ряды по степеням малого параметра $h$, что все-таки не позволяет вычислить экспоненциально малую величину ${\Cal L}^h_k$ (см. теорему~6). Таким образом, построение асимптотики длин спектральных сегментов остается открытым вопросом. Кроме того, из-за присутствия в сумме (57) членов степенн\'{о}го порядка малости безразличен выбор величины $\gamma\in(0,1/2)$ в формуле (26) для срезок $\chi_{\ell/\wp}$, вообще говоря, влияющий на экспоненциальную точность использованных асимптотических приближений. \smallskip $2^\circ.$ {\sc Постановка краевых условий в предельной задаче.} Краевые условия (32) были назначены в концах отрезка $(0,H)\ni z$ по причине условий Дирихле (7) на основаниях $\bowtie ^h\times\{0\}$ и $\bowtie ^h\times\{H\}$ ячейки $\bowtie ^h_H$, но также подтверждены предельным переходом (71) в равенствах (68). Вместе с тем асимптотический анализ многих задач в тонких областях связывает краевые условия в предельной задаче с явлением порогового резонанса [37,\,11,\,28] в задаче (36) о пограничном слое около торцов призм $\Upsilon^h_{H\ell/\wp}:= \vartriangle^h_{\ell/\wp}\times (0,H)$. Говоря приблизительно, пороговый резонанс возникает при наличии у названной задачи нетривиального ограниченного решения, причем в этом случае предельное уравнение (31) следует снабдить краевыми условиями Неймана. Однако классический прием [39], приспособленный к задаче Дирихле для системы Ламе (см. [40,\,22,\,23] и др.), доказывает отсутствие у задачи (36) не только порогового резонанса, но и точечного спектра. В~итоге постановка условий Дирихле (32) приобретает и обсуждаемый способ обоснования. $3^\circ.$ {\sc Условия свободного края.} Как упоминалось в замечании~1, смена типа краевых условий на боковой поверхности $\partial\bowtie ^h\times(0,H)$ ячейки периодичности коренным образом изменяет свойства пограничного слоя и, как следствие, требует полной перестройки асимптотических анзацев для собственных пар $\{\Lambda^h(\theta);U^h(\cdot;\theta)\}$. Вместе с тем вполне разумны сужение условий Дирихле в смещениях (2) на объединение боковых поверхностей ячеек $\bigl\{x\in \partial \boxtimes^h_H: z\in(0,H)\bigr\}$ и постановка на основаниях сотового слоя условий Неймана в напряжениях (см., например, [15]): $$ \align &2\mu\frac{\partial u^h_3}{\partial z}(y,z)+\lambda\nabla_x\cdot u^h(y,z)=0, \\ &\mu \Bigl(\frac{\partial u^h_j}{\partial z}(y,z)+ \frac{\partial u^h_3}{\partial y_j}(y,z)\Bigr)=0,\quad j=1,2, \ y\in\ %\? \bowtie ^h, \ z=0,H. \endalign $$ В~этом случае задачи (18) и (19) для пограничного слоя около ребер $\Upsilon^h_{H\ell/\wp}$ ячейки $\bowtie ^h_H$ сохраняются полностью, а асимптотический анализ из разд.~4 предоставляет обыкновенное дифференциальное уравнение (31) на отрезке $(0,H)\ni z$. Вместе с тем краевые условия на границе полубесконечной призмы $\Xi_+$ также становятся смешанными, но никакой информации о спектре подобных задач теории упругости в слоевидных областях до сих пор нет. Поэтому вид краевых условий для уравнения (31) пока остается неизвестным. Более того, при наличии дискретного спектра в задаче на $\Xi$ возникает явление околовершинной локализации собственных (вектор)-функций (см. [41,\,42] и др.), т.~е. асимптотические анзацы для собственных пар становятся совершенно другими. \Refs \ref\no1 \by Gelfand~I.M. \paper Expansion in eigenfunctions of an equation with periodic coefficients \jour Dokl. Akad. Nauk SSSR \yr 1950 \vol 73 %\issue - \pages 1117--1120 \endref \ref\no 2 \by Reed~M. and Simon~B. \book Methods of Modern Mathematical Physics. III. Scattering Theory \publ Academic \publaddr New York and London \yr 1979 \endref \ref\no 3 \by Kuchment P.A. \paper Floquet theory for partial differential equations \jour Russian Math. Surveys \yr 1982 \vol 37 \issue 4 \pages 1--60 \endref \ref\no 4 \by Skriganov~M.M. \paper Geometric and arithmetic methods in the spectral theory of multidimensional periodic operators \jour Proc. Steklov Inst. Math. \vol 171 \yr 1987 \pages 1--121 \endref \ref\no 5 \by Kuchment~P. \book Floquet Theory for Partial Differential Equations \publ Birkh\"auser \publaddr Basel \yr 1993 \endref \ref\no 6 \by Geim~A.K. and Novoselov~K.S. \paper The rise of graphene \jour Nature Materials \yr 2007 \vol 6 \issue 3 \pages 183--191 \endref \ref\no 7 \by Geim~A.K. \paper Graphene: status and prospects \jour Science \yr 2009 \vol 324 \issue 5934 \pages 1530--1534 \endref \ref\no 8 \by Pauling~L. \paper The diamagnetic anisotropy of aromatic molecules \jour J.~Chem. Phys. \yr 1946 \vol 4 %\issue \pages 673--677 \endref \ref\no 9 \by Kuchment~P.A. and Zeng~H. \paper Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph \jour J.~Math. Anal. Appl. \yr 2001 \vol 258 %\issue \pages 671--700 \endref \ref\no 10 \by Exner~P. and Post~O. \paper Convergence of spectra of graph-like thin manifolds \jour J.~Geom. Phys. \yr 2005 \vol 54 \issue 1 \pages 77--115 \endref \ref\no 11 \by Grieser~D. \paper Spectra of graph neighborhoods and scattering \jour Proc. London Math. Soc. \yr 2008 \vol 97 \issue 3 \pages 718--752 \endref \ref\no 12 \by Post~O. \book Spectral Analysis on Graph-Like Spaces \publaddr Heidelberg \publ Springer \yr 2012 \bookinfo Lecture Notes Math., 2039 \endref \ref\no 13 \by Kuchment~P.A. and Post~O. \paper On the spectra of carbon nano-structure \jour Commun. Math. Phys. \yr 2007 \vol 275 \issue 3 \pages 805--826 \endref \ref\no 14 \by Nazarov~S.A., Ruotsalainen~K., and Uusitalo~P. \paper Asymptotics of the spectrum of the Dirichlet Laplacian on a~thin carbon nano-structure \jour C.~R. Mecanique \yr 2015 \vol 343 %\issue \pages 360--364 \endref \ref\no 15 \by Rabotnov~Yu.N. \book Mechanics of a~Deformable Solid \publ Nauka \publaddr Moscow \yr 1988 \lang Russian \endref \ref\no 16 \by Nazarov~S.A., Ruotsalainen~K., and Uusitalo~P. \paper The $Y$-junction of quantum waveguides \jour Z.~Angew. Math. Mech. \yr 2014 \vol 94 \issue 6 \pages 477--486 \endref \ref\no 17 \by Ladyzhenskaya~O.A. \book The Boundary Value Problems of Mathematical Physics \publ Springer \publaddr New York etc. \yr 1985 \finalinfo Appl. Math. Sci., 49 \endref \ref\no 18 \by Fichera~G. \book Existence Theorems in Elasticity %. Handbuch der Physic \publ Springer \publaddr Berlin \yr 1972 \endref \ref\no 19 \by Lions~J.-L. and Magenes~E. \book Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications \publ Springer \publaddr Berlin, Heidelberg, and New York \yr 1971 \endref \ref\no 20 \by Birman~M.Sh. and Solomjak~M.Z. \book Spectral Theory of Selfadjoint Operators in Hilbert Space \publaddr Dordrecht \publ D.~Reidel \yr 1987 \endref \ref\no 21 \by Kamotskii~I.V. and Nazarov~S.A. \paper On eigenfunctions localized in a~neighborhood of the lateral surface of a~thin domain \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2000 \vol 101 \issue 2 \pages 2941--2974 \endref %\by Kamotskii~I.V. and Nazarov~S.A. %\paper %The eigenvalues of functions localized near an edge of a~thin domain % On eigenfunctions localized in a~neighborhood of the lateral surface of a thin domain %\inbook Problems of Mathematical Analysis. Vol.~19 [Russian] % \publaddr Novosibirsk % \publ Nauchnaya Kniga %\yr 1999 %\pages 105--148 %\endref \ref\no 22 \by Nazarov~S.A. \paper Elastic waves captured by a semi-infinite strip with clamped sides and a broken end \jour Prikl. Mat. Mekh. \yr 2023 \vol 87 \issue 2 \pages 265--279 \endref \ref\no 23 %\bibitem{na753} \by Nazarov~S.A. \paper Natural oscillations of an elastic half-strip with different locations of the fixation sections of its edges \jour Akust. Zh. \yr 2023 \vol 69 \issue 4 \pages 398--409 \endref \ref\no 24 \by Mazya V., Nazarov~S., and Plamenevskij~B. \book Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains %. Vol.~1 \publ Birkh\"auser \publaddr Basel \yr 2000 \endref \ref\no 25 \by Il'in~A.M. \book Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems \publaddr Providence \publ Amer. Math. Soc. \yr 1992 \finalinfo Transl. Math. Monogr., 102 \endref \ref\no 26 \by Kondrat'ev~V.A. \paper Boundary problems for elliptic equations in domains with conical or angular points \jour Trans. Moscow Math. Soc. \yr 1967 \vol 16 %\issue 1 \pages 227--313 \endref \ref\no 27 \by Nazarov S.A. and Plamenevsky B.A. \book Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries \publaddr Berlin and New York \publ Walter de Gruyter \yr 1994 \endref %pr \ref\no 28 \by Nazarov~S.A. \paper The polynomial property of self-adjoint elliptic boundary-value problems and an algebraic description of their attributes \jour Russian Math. Surveys \yr 1999 \vol 54 \issue 5 \pages 947--1014 \endref \ref\no 29 \by Agranovich~M.S. and Vishik~M.I. \paper Elliptic problems with a parameter and parabolic problems of general type \jour Russian Math. Surveys \yr 1964 \vol 19 \issue 3 \pages 53--157 \endref \ref\no 30 \by Gokhberg~I.Ts. and Krein M.G. \book An Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators in Hilbert Space \publ Amer. Math. Soc. \publaddr Providence \yr 1969 %1965 \finalinfo Transl. Math. Monogr., 18 \endref \ref\no 31 \by Vishik~M.I. and Lyusternik~L.A. \paper The solution of some perturbation problems for matrices and selfadjoint or non-selfadjoint differential equations. I \jour Russian Math. Surveys \yr 1960 \vol 15 \issue 3 \pages 1--73 \endref \ref\no 32 \by Vainberg~M.M. and Trenogin~V.A. \book The Branching Theory of Solutions to Nonlinear Equations %Theory of Branching of Solutions of Non-Linear Equations \publ Noordhoff \publaddr Leyden \yr 1974 \endref \ref\no 33 \by Agmon~S. and Nirenberg~L. \paper Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space \jour Commun. Pure. Appl. Math. \yr 1963 \vol 16 %\issue \pages 121--239 \endref \ref\no 34 \by Pazy~A. \paper Asymptotic expansions of solutions of ordinary differential equations in Hilbert space \jour Arch. Rational Mech. Anal. \yr 1967 \vol 24 %\issue \pages 193--218 \endref \ref\no 35 \by Mazya V.G. and Plamenevskij~B.A. \paper Estimates in $L^p$ and in H\"older classes and the Miranda--Agmon maximum principle for solutions of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary \jour Math. Nachr. \yr 1977 \vol 77 \issue 1 \pages 25--82 \endref %Transl., Ser. 2, Amer. Math. Soc. 123, 1--56 (1984). \ref\no 36 \by Vishik~M.I. and Lyusternik~L.A. \paper Regular degeneration and a~boundary layer for linear differential equations with a~small parameter \jour Uspekhi Mat. Nauk %perevoda net \yr 1957 \vol 12 \issue 5 \pages 3--122 \endref \ref\no 37 \by Molchanov~S. and Vainberg~B. \paper Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics \jour Comm. Math. Phys. \yr 2007 \vol 273 \issue 2 \pages 533--559 \endref \ref\no 38 \by Nazarov~S.A. \paper Threshold resonances and virtual levels in the spectrum of cylindrical and periodic waveguides \jour Izv. Math. \yr 2020 \vol 84 \issue 6 \pages 1105--1160 \endref \ref\no 39 \by Rellich~F. \paper \"{U}ber das asymptotische Verhalten der L\"{o}sungen $\Delta u+\lambda u=0$ in unendlichen Gebieten \jour Jahresber. Deutsch. Math.-Verl. %Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. \yr 1943 \vol 53 \issue 1 \pages 57--65 \endref \ref\no 40 \by Nazarov~S.A. \paper Elastic waves trapped by a~homogeneous anisotropic semicylinder \jour Sb. Math. \yr 2013 \vol 204 \issue 11 \pages 1639-–1670 \endref \ref\no 41 \by Nazarov~S.A. \paper Spectral gaps in a thin-walled infinite rectangular Dirichlet box with a periodic family of cross walls \jour Sb. Math. \yr 2023 \vol 214 \issue 7 \pages 982--1023 \endref \ref\no 42 \by Nazarov~S.A. \paper Different types of localization for eigenfunctions of scalar mixed boundary value problems in thin polyhedra \jour Ufa Math.~J. \yr 2025 \vol 17 \issue 1 \pages 22--58 \endref \endRefs \enddocument