Качуровский Александр Григорьевич

---

Место и дата рождения:

  Родился 21 января 1961 г. в Усолье-Сибирском Иркутской обл.

Образование:

1978: Физико-математическая школа при Новосибирском государственном университете.

1983: Новосибирский государственный университет (механико-математический факультет по кафедре математического анализа). Дипломная работа по итогам Всесоюзного конкурса получила медаль Минвуза СССР.

1987: защищена кандидатская диссертация «О существовании и строении инвариантных мер динамических систем» по специальности «математический анализ» в Институте математики СО АН СССР.

1999: защищена докторская диссертация «Скорости сходимости в эргодических теоремах» по специальности «математический анализ» в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Основные направления исследований:

•  Скорости сходимости в эргодических теоремах
•  Унификации эргодических теорем и теорем о сходимости мартингалов

  Основные результаты:

• Доказано (1996), что степенная скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана эквивалентна степенной же, с тем же показателем степени, особенности в нуле спектральной меры усредняемой функции относительно соответствующей динамической системы. Тем самым показано, что оценки скорости сходимости в этой эргодической теореме с необходимостью являются спектральными. Получены (1996; с 2010 – с учениками) оценки скоростей сходимости: в эргодической теореме фон Неймана – по особенности в нуле спектральной меры, и по скорости убывания корреляций (т.е. коэффициентов Фурье этой меры); в эргодической теореме Биркгофа – по скорости сходимости в теореме фон Неймана, и по скорости убывания вероятностей больших уклонений. Даны асимптотически точные оценки скоростей сходимости в обеих этих эргодических теоремах для некоторых известных бильярдов и систем Аносова.
  
  
• Введен (1998) в рассмотрение новый стохастический процесс, содержащий эргодические средние и мартингалы как частные вырожденные случаи, для которого доказаны сходимость п.в. (дополнительное условие интегрируемости супремума модуля процесса было опущено учеником И.В. Подвигиным в 2010) и по норме, и справедливы максимальное и доминантное неравенства.
  
  
• Показано (2018), что суммы Фейера мер на окружности и нормы отклонений от предела в эргодической теореме фон Неймана вычисляются фактически по одним и тем же формулам (интегрированием ядер Фейера) – так что сама эта эргодическая теорема является утверждением об асимптотике роста сумм Фейера в точке 0 соответствующей спектральной меры. Имеющиеся в литературе по гармоническому анализу многочисленные оценки уклонений сумм Фейера в точке позволили получить новые оценки скоростей сходимости в этой эргодической теореме.
  
  
• Доказано (2019; с И.В. Подвигиным) существование справедливых п.в. оценок скорости поточечной сходимости в теореме Биркгофа (в эргодическом случае); получены критерии максимально возможной такой скорости сходимости.

  Обзорные статьи по основным направлениям:

• Скорости сходимости в эргодических теоремах // Успехи мат. наук, 1996. Т. 51, №4. С. 73-124.
  
  Rates of convergence in ergodic theorems // Russian Math. Surveys, 1996. V. 51, No 4. P. 653-703.

• Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы // Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 2007. Т. 256. С. 172-200.
  
  General theories unifying ergodic averages and martingales // Proc. Steklov Inst. Math., 2007. Vol. 256. P. 160-187.
  
  
• Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Труды Московского мат. общества, 2016. Т. 77, №1. С. 1–66 (совместно с И.В. Подвигиным).
  
  Estimates of the rate of convergence in the von Neumann and Birkhoff ergodic theorems // Trans. Moscow Math. Soc., 2016. V. 77. P. 1–53 (joint with I.V. Podvigin).