С 1970 по 1996 г. включительно работал в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, в 1993-95 годах был членом Ученого совета института.

С января 1997 г. работает в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, в настоящее время в должности ведущего научного сотрудника.

До 1990 г. основные научные интересы были связаны с вариационными задачами газовой динамики, главным образом с проектированием оптимальных сверхзвуковых несимметричных сопел (сопел с взаимодействующими контурами, сопел максимальной тяги при дополнительном требовании о том, чтобы вектор силы сопла проходил через заданную точку и т. д.), а также с нахождением оптимального движения поршня в нестационарной газовой динамике. Этому периоду отвечают статьи (здесь и далее без соавторов) в Изв. АН СССР, сер. МЖГ 1974, 76, 77, 81, 83, 84 (две статьи), 88, Ученые записки ЦАГИ 1991 и др., доклады на Всесоюзном съезде механики 1986 г., на конференциях САМГАД (аналитические методы газовой динамики) 1978, 80, 82, 85, "Современные проблемы механики жидкости и газа" 1987, 88, 89, конференции в ЦАГИ 1986, 87 и др. В этот период А. И. Рылов тесно контактирует с КБ им. А. И. Микояна, КБ В. П. Глушко. Кандидатская диссертация "Решение вариационной задачи о профилировании сверхзвуковых несимметричных плоских сопел наименьшей длины, реализующих заданный поток на выходе" (руководитель А. Н. Крайко) защищена в Институте гидродинамики СО АН СССР в 1978 г.

Помимо вариационных задач А. И. Рылов уделял внимание и общим математическим вопросам газовой динамики. Это задачи о вырождении сверхзвукового течения при взаимодействии центрированных волн сжатия и разрежения (ПММ-79), о невозможности регулярного отражения ударной волны от оси симметрии (ПММ-90). Далее, в развитие одной из работ А. А. Никольского, А. И. Рылов существенно усовершенствовал метод изобар и изоклин, с помощью которого были получены новые результаты, характеризующие свойства течения между телом и присоединенной или отошедшей ударной волной, сделаны выводы о существовании или несуществовании тех или иных режимов течения и т. д. Статьи в ПММ 1991 (две), 92, 93. Статья 1992 года получила премию журнала ПММ.

Позднее метод изобар и изоклин был перенесен на более широкий класс однородных систем уравнений (метод линий уровня) и было показано, что он справедлив не только в областях эллиптичности, но и в областях знакопостоянства соответствующего якобиана. Был построен алгоритм преобразования неоднородных систем в однородные, что позволило распространить метод линий уровня и на некоторые осесимметричные течения. В частности, для плоских и осесимметричных тел, обтекаемых дозвуковым потоком, была продемонстрирована тесная связь между геометрией тела, структурой линий уровня и асимптотиками на бесконечности. Результаты опубликованы в ПММ в 1995, 97, 99 гг., а также в ряде других журналов. Несколько особняком стоит любопытный результат, связанный с новыми свойствами эллипса Буземана (ПММ-97). Доклады на Съездах механики 1991 и 2001 гг. С 1995 г. А. И. Рылов неизменно участвует в конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" им. И. Г. Петровского (Москва, МГУ, 1995, 96, 98, 2001, 2004 гг.). Деятельность А. И. Рылова по методу линий уровня за 1990-1999 гг. была обобщена в докторской диссертации "Математические основы метода линий уровня с приложениями к задачам механики жидкости и газа" (специальность 01.02.05), защищенной в ВЦ РАН в 2000 г. Работы в данном направлении продолжаются.

Новый цикл работ, начатый после защиты диссертации, связан с использованием точных решений уравнений Чаплыгина на плоскости годографа для построения бесконечного множества однородно-дивергентных уравнений газовой динамики для плоскости потенциала и отвечающих им законов сохранения (ДАН-2002) и с обобщением этих результатов на нестационарные течения ( ПММ-2005). Этот цикл, тесно связанный с предыдущими работами А. И. Рылова, активно продолжается.

А. И. Рылов неоднократно выступал на семинарах Г. Г. Черного (первый раз в 1973 г.), Л. В. Овсянникова и других крупных специалистов.

А. И. Рылов активно участвовал в создании в 1998 г. "Сибирского журнала индустриальной математики" (СибЖИМ), в котором является ответственным секретарем редакции.

А. И. Рылов часто привлекается для рецензирования статей редакциями ведущих журналов по механике (ПММ, ПМТФ и др.). В 1992 г. А. И. Рылов возглавлял экспертную комиссию секции "Механика" при проведении в Академгородке конкурса Фонда Сороса.

А. И. Рылов трижды был руководителем проектов РФФИ (95-01-00958, 97-01-00833, 01-01-00851).

В 2004 избран в члены Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике (www.ruscommech.ru).

Институт математики им. С. Л. Соболева