Истоки и предмет алгебры (Ко, 1, \S 1). Алгебраическая операция, алгебраическая система, изоморфизм (Ко, 4, \S 1). Аксиоматика групп, колец, полей, примеры (Ко, 4, \S 2, 3, 4).
Поле C комплексных чисел: определение, существование, единственность, геометрическое описание сложения и умножения, формула Муавра, извлечение корней (Ко, 5, \S 1).
Группа подстановок: проверка аксиом, разложение на циклы, на транспозиции, декремент и четность подстановки, четность произведения, подгруппа четных подстановок, сопряженные подстановки (Ко, 4, \S 2).
Кольцо матриц: проверка аксиом, разложение на элементарные матрицы - диагональную и трансвекции. Определитель обратимости, его поведение при простейших преобразованиях и умножении матриц. Разложение определителя по строке. Формула для обратной матрицы и крамеровы системы линейных уравнений (Ку, \S4--6, 13--15, Ма, \S 1--2).
Определитель и основные линейные группы - общая, специальная, ортогональная, унитарная (Ко, 7, \S 1.1).
Аксиоматика, примеры (Ма, \S 4). Линейные комбинации, зависимость и независимость, эквивалентность систем векторов. Теорема о замене, база и ранг системы векторов, равенство рангов эквивалентных систем. База пространства, размерность. Координаты вектора и изоморфизм любого пространства пространству строк. Связь между базами и координатами вектора в разных базах с помощью матрицы перехода (Ку, \S 9, 29, 30).
Подпространства, их сумма, пересечение, прямая сумма, связь между их размерностями (Ма, \S 6). Фактор-пространство, его база и размерность.
Ранг матрицы, совпадение строчного, столбцового и минорного ранга, ранг произведения матриц (Ку, \S 10, Ма, \S 5). Критерий совместности системы линейных уравнений. Общее решение. Однородные системы: пространство решений и фундаментальные системы решений. Связь между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем. Задание линейных многообразий системами линейных уравнений. Отыскание баз суммы и пересечения подпространств и линейных многообразий. Геометрическое описание решений над R. Теоремы Фредгольма. (Ку, \S 11, 12, Ма, \S 5, Во, \S 85).
Определение, проверка аксиом. Алгоритм деления с остатком, наибольший общий делитель и алгоритм Евклида. Линейное уравнение с двумя неизвестными в кольце многочленов. Разложение на множители и факториальность колец многочленов. Пример кольца с неоднозначным разложением на множители (Ко, 5, \S 2, 3, Ку, \S 20, 21, 48).
Вложение целостного кольца в поле частных. Поле рациональных функций и разложение на простейшие дроби (Ко, 5, \S 4, Ку, \S 25).
Корни и значения: теорема Безу, производная, кратные корни, формула Тейлора, интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона (Ко, 6, \S 1; Ку, \S 22-24). Гомоморфизмы, идеалы колец и фактор-кольца (Ко, 4, \S 4). Теорема о существовании корня (Ку, \S 49).
Формулы Виета для корней и кольцо симметрических многочленов. Основная теорема о симметрических многочленах. Pезультант двух многочленов, дискриминант многочлена (Ко, 6, \S 2; Ку, \S 51, 52).
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (Ко, 6,\S 3; Ку, \S 55). Разложение на неразложимые множители над полями комплексных, вещественных и рациональных чисел (Ко, 6, \S 4; Ку, \S 24).
Системы полиномиальных уравнений и теорема Гильберта о базах (Ва, \S 115). Деление с остатком (сводимость) в кольцах многочленов от нескольких переменных. Существование баз Гребнера полиномиальных идеалов. Алгоритм Бухбергера построения баз Гребнера. Теорема Гильберта о корнях (без доказательства), критерий совместности и системы полиномиальных уравнений с конечным числом решений. Примеры применения баз Гребнера (Чу).
В конце семестра - экзамен.
Определение, примеры. Матрица линейного отображения в паре баз и линейного оператора в данной базе, координаты образа вектора, связь между матрицами линейного отображения и оператора в разных базах. Алгебра линейных операторов, изоморфизм с алгеброй матриц (Mа, \S 8, 9; Ку, \S 31).
Образ, ядро, ранг и дефект линейного отображения. Невырожденные операторы (Ма, \S 10). Инвариантные подпространства, сужение на подпространстве и индуцирование оператора на фактор-пространстве. Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен (Ма, \S 11). Неразложимые неотрицательные вещественные матрицы и теорема Перрона--Фробениуса (Га, 13, \S 2). Теорема Гамильтона--Кэли (Ма, \S 3). Ядерно-образные разложения. Корневые подпространства и корневое разложение (Ма, \S 12; Чу).
Нильпотентные операторы: определение, теорема о существовании и единственности жордановой базы пространства относительно нильпотентного оператора. Жорданова база пространства относительно линейного оператора над полем, содержащим спектр, и задача о подобии матриц (линейных операторов) в этом случае (Ко, Дополн.; Чу). Функции от матриц, представление многочленами на данной матрице, ряды от матриц (Ма, \S 16). Фробениусова форма и задача о подобии матриц (линейных операторов) над произвольным полем.
Аксиоматика евклидовых и унитарных пространств, примеры. Длина вектора и угол между векторами. Ортонормированные системы, процесс ортогонализации и изоморфизмы евклидовых (унитарных) пространств, ортогональное дополнение к подпространству, ортогональные разложения пространства и проекторы на подпространство (Ку, \S 34; Ма, \S 17).
Сопряженные отображения и операторы, связь между их матрицами (Ма, \S 18).
Симметрические и эрмитовы (самосопряженные) операторы и матрицы: определение, вещественность спектра, канонический вид - спектральное разложение (Ку, \S 36; Ма, \S 19; Ха, \S 78, 79).
Кососимметрические и косоэрмитовы операторы и матрицы: определение, расположение спектра, канонический вид (Ма, \S 19).
Ортогональные и унитарные операторы и матрицы: определение, расположение спектра, канонический вид (Ку, \S 35, Ма, \S 19).
Нормальные операторы и матрицы: определение, канонический вид в унитарных и евклидовых пространствах (Ма, \S 18).
Сингулярные числа и сингулярное разложение линейного отображения. Полярное разложение линейного оператора (Во, \S 78, 79). Норма линейного отображения: определение, простейшие свойства. Норма и сингулярные числа линейного отображения, норма и спектральный радиус нормального оператора (Во, \S 82--83; Ха, \S 87--89). Ортогональные проекторы и серия углов между двумя подпространствами евклидова пространства .
Определение, матрица формы, закон изменения при невырожденной замене переменных, ранг формы. Приведение к каноническому виду методом выделения полных квадратов. Сигнатура и закон инерции для вещественных квадратичных форм. Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям. Знакопостоянные формы, критерий Сильвестра положительной определенности (Ку, \S 26, 27, 28, 37; Ма, \S 21, 22; Во, \S 94). Экстремумы вещественной квадратичной формы на единичной сфере. Минимакс- и максимин-формулы для собственных значений самосопряженного оператора (Ха, \S 90). Перемежаемость спектров квадратичной формы и ее сужения на подпространство коразмерности 1. Задача классификации билинейных форм и пар квадратичных форм.
Разложение группы на смежные классы относительно подгруппы. Действие группы на множестве - орбиты, стабилизаторы, теорема о мощности орбиты. Транзитивное действие и однородные пространства. Гомоморфизмы групп, нормальные подгруппы и фактор-группы, простые группы. Центры, коммутаторы и коммутанты, прямые произведения (Фа, 10, \S 1--5). Матричное описание и геометрия групп ${\bf SO}_2$ и ${\bf SU}_2$. Простота группы ${\bf SO}_3$ поворотов трехмерного евклидова пространства.
Определение, примеры, типы алгебр: коммутативные, антикоммутативные, алгебры Ли, алгебры с делением. След и основные матричные алгебры Ли - общая, бесследных, кососимметрических и косоэрмитовых матриц. Алгебра кватернионов H: определение, матричное представление, норма кватерниона и обратный кватернион, мультипликативность нормы и тождество Эйлера, связь с группой ${\bf SU}_2 .$ Связь умножения кватернионов со скалярным и векторным произведением в ${\Bbb R}^3.$ Централизатор кватерниона и центр алгебры кватернионов. Характеризация мнимых кватернионов. Параметризация группы ${\bf SO}_3$ поворотов ${\Bbb R}^3$ с помощью кватернионов. Кватернионы и группа ${\bf SO}_4$ поворотов 4-мерного евклидова пространства (Фа, 15, \S 1, 2). Теорема Фробениуса о вещественных конечномерных ассоциативных алгебрах с делением.
В конце семестра - экзамен.
1. Алгебраические операции, группы, подгруппы, порядок элемента. - Пр: 1634 1)--10), 1636, 1635, 1639, 1642, 1649, 1650, 1646, 1647, или Ко: 5401, 5501--5503, 5513, 5517, 5601, 5607, 5614, 5608, 5615а.
2. Кольца и поля, кольцо вычетов по модулю $n.$ - Пр: 1734, 1735, 1736, 1741, 1742, 1743, 1754, 1755, 1756, или Ко: 6301, 6303, 6330, 6312, 6619, 6311а.
3. Поле комплексных чисел, квадратные и кубические уравнения. - ФаСо: 3, 4, 15а, 17а, 43, 49, или Ко: 2001а, 2011б, г, 2101, 2109а, 2802з (все корни), 2208а.
4. Группы подстановок, разложение на циклы и транспозиции. - Пр: 170, 178, 153, 164, 177, 182, 184, 1658, или Ко: 301а, 302а, 303а, 304а, 5603а, 5632а, 306а, 307а, 312, 314, 317, 322.
5. Кольцо матриц, разложение в произведение диагональной и элементарных. - Пр: 790, 802--805, 811, 814--818, 820--822, разложить матрицы из 790, или Ко: 1801а, 1701а-в, 1704, 1712--1715, 1720, 1902, 1722.
6. Определитель матрицы: способы вычислений. - Пр: 45, 197, 200--204, 279, 280, или Ко: 901а, 902а, 1001а, 1002, 1003, 1004а, 1301а, 1302а.
7. Определитель матрицы: применение к системам линейных уравнений и обращению матриц. --- Пр: 75, 289, 299, 305, 843, 935, 864, или Ко: 1401, 806б, г, 1808в, з, 1809д, 1810а, 1812.
8. Определитель, след и матрицы специального вида. --- Пр: 839, 873, 216, 217, 888, 889, 538, 893, 894, 896, 911, 912, или Ко: 716, 1813, 1814, 1906, 1905, 1907, 1926, 1927, 1914, 1919.
Контрольная работа.
10. Векторные пространства, линейная зависимость, подпространства. --- Пр: 1821, 1277, 1280, 1290--1293, 1301--1305, 651, 666, 1284, 1824, 1828, или Ко: 3401, 3402, 3403, 3410а, 3411, 3414б, 3501--3504, 611, 614.
11. Ранг матрицы, линейные оболочки систем векторов. - Пр: 608, 619, 1311, 626, 627, 629, 631, 633, 635, или Ко: 701а, 702г, 3511б, 705--708.
12. Решения конечной системы линейных уравнений. Обратная задача. --- Пр: 690, 712, 724, 1312, 1330, 1877, или Ко: 801а, 802е, 804а, 3516а, 4910а.
13. Применения: базы суммы и пересечения подпространств, прямые суммы, целочисленные системы. --- Пр: 1320, 1328, 1329, 578 (найти все целочисленные решения), или Ко: 3515а, 3518, 3521, 824б.
14. Коллоквиум.
15. Деление с остатком, алгоритм Евклида и НОД, решение двучленных уравнений. --- ФаСо: 539а, 631а, 633б, 634а, 635а, 636а, 639d, или Ко: 2501а, 2502а, 2503а, 2504, 2507г, 2508б.
16. Корни и значения, схема Руффини--Горнера, формула Тейлора, разложение на простейшие, интерполяция. --- ФаСо: 643b, 545b, 548a, 546a, 549, 551, 640a, 641a, 656b, 653, или Ко: 2601б, 2602а, 2603а, 2902а, 3001а, 3002, 3003.
17. Целочисленные многочлены: рациональные корни, разложение на множители. --- ФаСо: 663, 664а, 667а, 672а, или Ко: 2801, 2802, 2808, 2809б, 2822а.
18. Формулы Виета, симметрические многочлены и формулы Ньютона. - ФаСо: 755a, 755h, 768a, 771, 786, 787, 788, или Ко: 3103а, 3109а, 3110в, 3115, 3119, 3125.
19. Дискриминант, результант, исключение неизвестных. - ФаСо: 821а, 823а, 824а, 832, или Ко: 3201а, 3202а, 3203а, 3207а, б.
20. Распределение вещественных корней (теорема Штурма). - ФаСо 694а, 700а, 709, или Ко: 3301а, 3304, 3305.
21. Распределение комплексных корней (принцип аргумента, теорема Руше). - Чу: 3.7, Ко: 3309, 3312, 3316, 3317.
22. Гомоморфизмы колец, идеалы и фактор-кьца. --- Пр: 1781, 1795, 1789, 1799, или Ко: 6401а, б, 6434, 6435, 6439, 6440.
23. Базы Гребнера полиномиальных идеалов, их вычисление и применения. - Чу.
24. Контрольная работа.
25. Зачет.
1. Линейные отображения, операторы и их матрицы. - Пр: 1456, 1434, 1435, 1436,1445, 1450, 1449, 1453, 1458, или Ко: 3901, 3904, 3915, 3920, 3917.
2. Образ и ядро линейного отображения. - Пр: 1531 (найти образ и ядро), 1833, 1834, 1490--1493, или Ко: 4110б (найти образ и ядро), 3905, 3906, 3907, 3910, 3911.
3. Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен. - Пр: 1070, 1466, 1475--1479, 1495, 1484, 1487, или Ко: 4001а, б, 4010, 4015б, 4016а, 4006, 4001в, 4003, 4019, 4011, 4012, 4008.
4. Неотрицательные матрицы. Примеры прикладных задач на собственные векторы и значения (марковские процессы, колебания и т.п.) - См., например, Г.Стренг, Линейная алгебра и ее применения, М.: Мир, 1980, гл. 5.
5. Инвариантные подпространства. Ядерные и корневое разложения. - Пр: 1496, 1500, 1501, 1519, 1520, 1509, 1537, 1538, 1485, 1524, 1504, или Ко: 4023, 4022, 4024, 4035а, 4127б.
6. Нильпотентные операторы. --- Пр: 1531, 1536, 1108, 1123, или Ко: 4108, 4101ж, 4117, 3901ж, 4110б.
7. Жорданова база и задача о подобии. --- Пр: 1530, 1532, 1120, 1067, 1535, или Ко: 4101а, б, 4110, 4102, 4103б, 4130.
8. Применения: функции от матриц, перестановочность и матричные уравнения. --- Пр: 1164, 1169, 1172, 1171, Чу: 4.17, или Ко: 4122а, б, 4121а, 1710а, 1711а, 4208, 4209, 4210.
9. Контрольная работа, коллоквиум.
10. Скалярные произведения, процесс ортогонализации, расстояния, углы. - Пр: 1394, 1395, 1363, 1360, 1369, 1370, 1376, 1415, 1427, 1385, 1420, 1421, или Ко: 4328, 4333, 4315а, 4316а, 4320, 4325, 4341, 4345.
11. Сопряженность операторов относительно скалярного произведения. - Пр: 1852, 1845, 1540, 1541, 1544, 1546--1548, 1555 , или Ко: 3611, 4401--4404 , 4409а, 4406, 4407, 4408.
12. Симметрические, эрмитовы, кососимметрические и косоэрмитовы операторы. - Пр: 1585, 1588, 1601, 1611, 1612, 1844, 1843, или Ко: 4504б, 4505, 4517, 4430, 4431, 4432, 4619.
13. Ортогональные, унитарные и нормальные операторы. --- 1564, 1574, 1842, 1590, или Ко: 4603, 4606а, 4607а, б, 4608, 4611, 4630.
14. Сингулярное и полярное разложение, норма оператора и углы между подпространствами евклидова пространства. - Пр: 1598 (найти сингулярное, полярное разложение, геометрическое описание и норму), 1405, 1406 или Ко: 4616а (то же самое), 4626, 4342,4343.
15. Канонизация квадратичных и билинейных форм, пар форм. --- Пр: 1180, 1201, 1251, 1225, 1867, или Ко: 3818а, 3819б, 4519г, 3811а, 3815а.
16. Контрольная работа.
17. Группы: действие на множестве, орбиты, стабилизаторы, классы сопряженности. - Пр: 1659б, в, 1662, Чу: 6.1--6.5, 6.7, или Ко: 5634в, б, 5701, 5703, 5705, 5709, 5714, 5712, 5713, 5722, 5735.
18. Группы: гомоморфизмы, нормальные подгруппы и фактор-группы, центры, коммутанты, прямые произведения. --- Пр: 1681б, д, 1690, Чу: 6.6, 6.8а, 6.9, или Ко: 5802, 5803, 5823а, д, 5824, 5829, 6001, 6004, 6207а, б, Чу: 6.8а.
19. Алгебра кватернионов и группа поворотов ${\Bbb R}^3.$ -- Ко: 6322а, г, Чу: 6.17, найти неподвижную ось и угол поворота линейного оператора $q\mapsto s^{-1}qs,$ где $q\in {\Bbb R}^3, \; s = \sqrt{2} + i + j - 2k,$ Ко: 7311а, б.
20. Структурные константы, матричные представления и типы алгебр. --- Ко: 6318, 6319, Чу: 6.10--6.13.
21. Потоковая контрольная работа.
22. Зачет.
Программу составил
проф. НГУ
В.А.Чуркин