Алгебраическая операция, алгебраическая система, изоморфизм, подсистема (КОС, гл. 4, \S 1; В, \S 9).
Группа, кольцо, поле: аксиомы, примеры (В, \S 6, 11, 12; КУР, \S 63, 64, 43-45). Группа подстановок: проверка аксиом, разложение подстановки в произведение циклов, декремент, четность, разложение в произведение транспозиций, четность произведения, знакопеременная группа (КОС, гл. 4, \S 2). Кольцо квадратных матриц: проверка аксиом (М, \S 1), разложение матрицы в произведение элементарных матриц. Определитель, его поведение при простейших преобразованиях (КУР, \S 4). Определитель произведение матриц. Разложение определителя по строке (столбцу) (КУР, \S 5-6). Системы линейных уравнений с ненулевым определителем (КУР, \S 7). Обратная матрица: существование, вычисление (М, \S 2). Поле комплексных чисел: существование, единственность (КОС, гл. 5, \S 1; КУР, \S 46). Поле вычетов по простому модулю.
Векторное пространство над полем: аксиомы, примеры, линейные комбинации, линейная зависимость, эквивалентные наборы векторов. Теорема о замене, ранг набора векторов, равенство рангов эквивалентных наборов. База пространства, размерность, координаты, изоморфизм пространств. Матрица перехода, ее невырожденность, связь между координатами в разных базах (КУР, \S 9, 29, 30). Подпространство, сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями, прямая сумма (М, \S 6). Фактор-пространство.
Ранг матрицы, совпадение трех рангов (КУР, \S 10; М, \S 5). Ранг произведения матриц. Критерий совместности системы линейных уравнений. Общее решение. Однородные системы, пространство решений, фундаментальный набор решений, связь между однородными и неоднородными системами. Теоремы Фредгольма (КУР, \S 11, 12; М, \S 5).
Кольцо полиномов над полем и кольцом: проверка аксиом. Деление с остатком, наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. Взаимно простые полиномы (КУР, \S 21). Разложение на неразложимые множители. Значения и корни, производная, кратные корни (КУР, \S 22). Формула Тейлора, интерполяционные полиномы (КУР, \S 23, 24; М, \S 16.3). Существование корня полинома в расширении поля. Простое алгебраическое расширение поля. Поле разложения полинома. Конечные поля. Формулы Виета. Кольцо мполиномов от нескольких переменных, кольцо симметрических полиномов (КУР, \S 51-52). Выразимость симметрических полиномов через основные симметрические полиномы. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение полиномов на множители над полями комплексных и вещественных чисел (КУР, \S 55). Разложение на неразложимые множители над полем рациональных чисел.
Алгебраические системы, группы, кольца, поля (П:1634 (1-10), 1635, 1636, 1709-1713, 1716, 1741, 1743). Группы подстановок (П: 152, 158, 170, 177, 184). Матрицы (П: 790, 801, 807, 816, 824, 831). Определители (П: 197, 205, 257, 280, 296, 300, 305, 846, 852). Комплексные числа (ФС: 102, 112, 114, 140, 143с). Векторные пространства (П: 666, 676, 1283, 1298, 1300, 1313, 1322, 1329). Ранг матрицы (П: 608, 612, 621, 623). Системы линейных уравнений (692, 694, 712, 726, 729, 735, 738).Кольцо многочленов (ФС: 577с, 576с, 583а, 549в, 551а, 553а, 564, 639, 650в, 651, 776с, 785, 167с, 173с, 693с, 702а, 703а, 708а 723в, 724с, 725а, 726а, 731с, 734, 625а, 626а).
Линейное преобразование (ЛП) и его матрица. Координаты образа, связь между матрицами ЛП в разных базах, подобные матрицы. Операции над ЛП, изоморфизм алгебраической системы ЛП и алгебры матриц. Инвариантное пространство, ограничение на нем ЛП. Собственные векторы и собственные значения, характеристический полином (М, \S 8-11). ЛП - корень своего характеристического полинома (М, \S 3). Ядерное разложение. Корневые подпространства, разложение в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентное ЛП, разложение в прямую сумму циклических подпространств. Жорданова база пространства. Жорданова форма матрицы (Ч; КОС: Дополнение). Функции от матриц и линейных преобразований, представления их значений значениями полиномов.
Евклидовы и унитарные пространства: аксиомы, примеры. Процесс ортогонализации, ортонормированные базы, ортогональное дополнение к подпространству. Сопряженные преобразования: связь между матрицами. Нормальные преобразования, свойство их векторов, канонический вид матрицы. Унитарные, ортогональные и симметрические преобразования и матрицы. Полярное разложение, сингулярные числа (М, \S 17-20).
Матрица квадратичной формы, ее изменение при линейной замене. Алгоритм Лагранжа приведения к диагональному виду. Приведение к главным осям. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Одновременная диагонализация двух форм (М, \S 22-23; КУР, \S 26-28).
Смежные классы по подгруппе, индекс подгруппы и теорема Лагранжа. Порождающие элементы. Циклические подгруппы. Нормальные подгруппы и фактор-группы. Теоремы о гомоморфизмах. Прямые произведения групп. Свободные абелевы группы и их подгруппы. Строение конечно порожденных абелевых групп.
Линейные преобразования (П: 1466, 1477, 1479, 1487, 1438, 1446, 1448, 1450, 1454, 1459, 1460, 1492, 1493, 1499, 1500, 1510, 1512, 1093, 1110, 1510, 1512, 1023, 1065, 1066, 1163). Евклидовы и унитарные пространства (П: 1360, 1362, 1367, 1371, 1417). Ортогональные и симметрические преобразования (П: 1574, 1576, 1585, 1587). Квадратичные формы (П: 1176, 1178, 1181, 1190, 1212, 1216, 1224, 1248, 1264).
(В) Б.Л.Ван дер Варден. Алгебра. - М.:Наука, 1976.
(КОС) А.И.Кострикин. Введение в алгебру. - М.:Наука, 1977.
(КУР) А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. - М.:Наука, 1968.
(М) А.И.Мальцев. Основы линейной алгебры. - М.:Наука, 1970.
(П) И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1974.
(ФС) Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:Наука, 1977.
(Ч) В.А.Чуркин. Жорданова классификация конечномерных линейных операторов. Новосибирск: НГУ, 1991.
Программу составил
профессор
В.Д.Мазуров