1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса (КОС, гл.1, 3) Матрица системы. Эквивалентность линейных систем. Приведение к ступенчатому виду. Исследование системы линейных уравнений.
2. Векторные пространства (М, Х, КМ). Скаляры и векторы. Поля. Определение и примеры векторных пространств. Линейные комбинации и линейная зависимость. Базис. Размерность. Изоморфизм. Подпространства, их сумма и пересечение, связь их размерностей. Фактор-пространство.
3. Линейные отображения и матрицы (КОС, гл.2, 2, 3). Матрица линейного отображения. Изоморфизм между пространством линейных отображений и пространством матриц. Произведение матриц. Квадратные матрицы, невырожденные матрицы и преобразования. Образ и ядро линейного отображения, связь их размерностей. Ранг матрицы. Ранг произведения матриц.
4. Системы линейных уравнений (КОС, гл.2, 4; М, 5, 6). Критерий совместности системы. Однородные системы, пространство решений. Линейные многообразия и решения неоднородной системы.
5. Определители (М, 2; КОС, гл.3). Построение определителей методом индукции. Основные свойства определителей. Разложение по любому столбцу. Транспонирование. Определитель произведения матриц. Применение определителей: вычисление обратной матрицы, формулы Крамера, вычисление ранга матрицы.
1. Множества с алгебраическими операциями (КОС, гл.4, 1). Алгебраическая система, изоморфизм. Бинарные операции. Полугруппы и моноиды. Обобщенная ассоциативность, степени. Обратимые элементы.
2. Группы (КОС, гл.4, 2, 3; В, гл.2). Определение и примеры. Подгруппы, циклические группы. Симметрическая группа: циклическое разложение подстановок, четность, знакопеременная группа. Теорема о полном развертывании определителя. Изоморфизмы и автоморфизмы. Теорема Кэли. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы, фактор - группы. Основная теорема о гомоморфизмах для групп. Смежные классы, теорема Лагранжа. Подгруппы циклических групп.
3. Кольца (КОС, гл.4, 4; В., 11, 12, 14, 15). Определение, примеры и общие свойства колец. Сравнения, кольцо Zm. Конструкции колец: кольца многочленов, формальных степенных рядов, прямые суммы колец. Гомоморфизмы и идеалы колец. Фактор- кольца и основная теорема о гомоморфизмах для колец.
4. Поля (КОС, гл.4, 4; гл.5, 1, 4; В, 13, 16). Максимальные идеалы колец и поля вычетов. Поле, подполе, расширение полей. Поле Fp . Теорема о простом подполе. Характеристика поля. Целостные кольца и поля частных. Поле рациональных функций. Поле рядов Лорана. Поле комплексных чисел: существование, геометрическая интерпретация, матричное представление. Формула Муавра. Корни из единицы. Теорема единственности поля комплексных чисел.
1. Разложение в кольце многочленов (КОС, гл.5, 2, 4; В, 16-18, 30, 31, 36). Евклидовы кольца. Алгоритм деления с остатком. Элементарные свойства делимости. Факториальные кольца, критерий делимости, НОД и НОК в факториальных кольцах. Факториальность евклидовых колец. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса. Неприводимые многочлены, признак неприводимости Эйзенштейна. Кольцо многочленов над кольцом с однозначным разложением. Разложение рациональных функций на простейшие дроби.
2. Корни многочленов (КОС, гл.6, 1, 3; В, 27-29, 39). Корни и линейные множители. Производная, кратные корни. Интерполяционные многочлены. Формула Тейлора. Существование корня в расширение поля.
3. Многочлены над числовыми полями (КОС, гл.6, 3, 4; В, 30, 79). Алгебраическая замкнутость поля С. Многочлены с естественными коэффициентами: разложение на неприводимые множители, проблема локализации корней. Рациональные корни и разложение на неприводимые множители рациональных многочленов.
4. Симметрические многочлены (КОС, гл.6, 2; В, 33-35). Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах. Дискриминант многочлена. Результант двух многочленов.
(КОС) Кострикин А.И., Введение в алгебру, М., Наука, 1977.
(М) Мальцев А.И., Основы линейной алгебры, М., Наука, 1970.
(КМ) Кострикин А.И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., МГУ, 1980.
(Х) Халмош П., Конечномерные векторные пространства, М., Физматгиз, 1963.
Программу составил
д.ф.-м.н. С.Р. Сверчков.