УДК 512.542.7

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕТНЫХ ПОДСТАНОВОК НА ДВА МНОЖИТЕЛЯ ЗАДАННОГО ЦИКЛОВОГО СТРОЕНИЯ

В. Г. Бардаков

Доказывается гипотеза Бреннера–Эванса: для любых натуральных чисел k ⩾ 4, m ⩾ 1 всякая четная подстановка из группы A_{km} является произведением двух подстановок, каждая из которых разлагается в произведение m независимых циклов длины k. Известно, что при k = 2, 3 это утверждение неверно.

Известно (см., например [1, 2]), что в знакопеременной группе A_{n} при n > 2 не всякий элемент представим в виде произведения двух инволюций из A_{n}, но всякий элемент представим в виде произведения двух элементов порядка 3 (см. [2]). В связи с этими результатами Бреннер и Эванс [3] поставили проблему описания всех четных подстановок, представимых в виде произведения двух элементов порядка k (k ⩾ 4). В этой же работе ими была выдвинута гипотеза: при любых целых k ⩾ 4 и m ⩾ 1 всякий элемент группы A_{km} представим в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы состоит из m циклов длины k. При k = 2, 3 это утверждение неверно.

Ранее справедливость первой гипотезы была доказана только при k = 4, m ⩾ 1 и при k ⩾ 5, m = 1 [4, с. 103], [5]. В предлагаемой работе гипотеза доказывается в полном объеме.

Теорема. Для любых целых чисел k ≥ 4, m ≥ 1 всякая подстановка из знакопеременной группы A_{km} представима в виде произведения двух подстановок, каждая из которых разлагается на m независимых циклов длины k.

В [3] доказано, что всякий элемент из A_{n} при n ⩾ 15 представим в виде произведения двух элементов порядка 5, тем самым исправлено ошибочное утверждение из [6]. Кроме того, сам Бреннер (см. [3])анонсировал, что при n ⩾ 28 всякий элемент из A_{n} представим в виде произведения двух элементов порядка 7. Исходя из этих результатов, выдвинем следующую гипотезу: если k = 2k_{1} − 1 простое число не меньше 5, то при всех n ⩾ kk_{1} всякий элемент из A_{n} представим в виде произведения двух элементов порядка k.

Автор благодарит профессора Ю. И. Мерзлякова за постоянную помощь и поддержку в работе, а также участников семинара “Эварист Галуа”, прослушавших доказательства и внесших ряд полезных предложений.

� 1. Определения и обозначения

Будем обозначать символом S_{n} симметрическую группу n–й степени, т. е. группу подстановок n–элементного множества M = {1, 2, …, n}. Пусть P – некоторая подстановка из S_{n}. Тогда под действием группы гр(P) множество M разбивается на непересекающиеся орбиты M_{1}, …, M_{l}. Действие подстановки P на всем множестве M индуцирует ее действие на каждой орбите M_{i}. Будем называть ограничение P_{i} = P |_{M_{i}} циклом подстановки P, а множество M_{i} – носителем цикла P_{i} и обозначать M_{i} = supp(P_{i}).

Подстановку P можно представить в виде произведения P = P_{1}P_{2} … P_{l} независимых циклов.

С каждым разложением P = P_{1} … P_{l} подстановки P в произведение независимых циклов свяжем упорядоченную последовательность τ(P) = (τ_{1}, …, τ_{l}), где τ_{i} – длина цикла P_{i}, которую назовем циклическим типом (или просто типом) подстановки P. Числа τ_{i} будем называть компонентами типа τ(P), а l – длиной типа. Понятно, что циклический тип определяется неоднозначно, а зависит от порядка следования циклов P_{i} в разложении P = P_{1} … P_{l}. Среди всех типов подстановки P будем выделять такой тип, компоненты которого упорядочены следующим образом: вначале идут нечетные компоненты в порядке убывания, а затем – четные компоненты так же в порядке убывания. Такой тип будем называть начальным типом подстановки P.

Если подстановка P ∈ A_{km}, k ≥ 4, m ≥ 1 обладает представлением P = A · B в котором каждая из подстановок A и B в разложении на независимые циклы состоит из m циклов длины k, то будем говорить, что подстановка P является k–представимой. Таким образом, мы должны доказать, что всякая подстановка из A_{km} является k–представимой.

Доказательство будем вести индукцией по m. Случай m = 1, т. е. основание индукциии, установлен Бертрамом [5]. В � 2 воспроизводится его конструкция и отмечаются некоторые ее свойства. В � 3 вводится некоторая операция на k–представлениях, позволяющая по k– представлениям двух подстановок из A_{km_{1}} и A_{km_{2}} соответственно строить k–представления некоторых подстановок из A_{k(m_{1}+m_{2})}. Для обоснования индукционного перехода по произвольной подстановке P ∈ A_{km}, m > 1, построим k–представления подстановок Q ∈ A_{k} и R ∈ A_{k(m−1)}, из которых при помощи введенной операции построим k–представления подстановки P.

Кроме того, заметим, что для доказательства k–представимости подстановки P ∈ A_{km} достаточно доказать k–представимость любой подстановки лежащей в том же классе сопряженных (в S_{km}) элементов, что и P.

� 2. Случай m = 1

Напомним конструкцию Бертрама [5]. Пусть подстановка P ∈ A_{k} разложена на независимые циклы

P = X_{1} … X_{c}Y_{1}Z_{1} … Y_{d}Z_{d},

где

X_{i} = (x_{i,1}x_{i,2} … x_{i,λ(i)} … x_{i,l(i)})

– цикл нечетной длины,

Y_{j} = (y_{j,1}y_{j,2} … y_{j,μ(j)} … y_{j,m(j)}), Z_{j} = (z_{j,1}z_{j,2} … z_{j,ν(j)} … z_{j,n(j)})

– циклы четной длины, где l(i) = 2λ(i) − 1 ≥ 3, m(j) = 2(μ(j) − 1), n(j) = 2(ν(j) − 1), i = 1, …, c, j = 1, …, d.

Определим подстановки A, B ∈ S_{k} c условием P = A·B. А именно, для каждого неединичного цикла X = (x_{1}x_{2} … x_{λ} … x_{l}) нечетной длины l из списка X_{1}, …, X_{c} определим действие подстановок A и B на всех символах, входящих в X, за исключением действия A на x_{λ} и действия B на x_{1}:

A = (x_{1}x_{2λ−1}x_{2}x_{2λ−2} … x_{λ−1}x_{λ+1}x_{λ} …), B = (x_{λ+1}x_{λ}x_{λ+2}x_{λ−1} … x_{2λ−1}x_{2}x_{1} …).

Для большей наглядности действие подстановок A и B на символах из X можно представить в виде графов, вершинами которых являются символы из X, а направленные ребра показывают, как действуют подстановки A и B (см. рис. 1).

Далее, для каждой пары циклов четной длины Y = (y_{1} … y_{μ} … y_{m}), Z = (z_{1} … z_{ν} … z_{n}), у которых m > 2, n > 2, из списка (Y_{i}, Z_{i}), i = 1, …, d, определим действие подстановок A и B на всех символах, входящих в X и Z, за исключением действия A на символе z_{ν−1} и действия B на символе y_{μ} следующим образом:

A = (y_{μ}z_{ν}y_{1}y_{m}y_{2}y_{m−1} … y_{μ+1}y_{μ−1}z_{1}z_{n}z_{2}z_{n−1} … z_{ν+1}z_{ν−1} …),
B = (z_{ν}y_{μ+1}y_{μ−1}y_{μ+2}y_{μ−2} … y_{m}y_{2}y_{1}z_{ν+1}z_{ν−1}z_{ν+2}z_{ν−2} … z_{n}z_{2}z_{1}y_{μ} …),

(см. рис. 2). Если же Y = (y_{1}y_{2}), Z = (z_{1}z_{2}) – транспозиции, то для них m = μ = 2 и n = ν = 2. Положим в этом случае

A = (y_{2}z_{2}y_{1}z_{1} …), B = (z_{2}y_{1}z_{1}y_{2} …),

(см. рис. 3).

Теперь уже понятно, как действуют подстановки A и B на элементах пары (Y, Z), если один из циклов является транспозицией, а другой – нет.

Осталось определить действия A и B на остальных символах. Как это сделать, графически совершенн ясно: каждое ребро выходящее из цикла X_{i} или из пары Y_{j}Z_{j} мы должны соединить с ребром, входящим в следующий цикл, а ребро выходящее из последнего цикла соединить с ребром, входящим в первый цикл; тем самым, мы получим подстановку A, которая, как легко заметить, является циклом длины k. Аналогично для B, но там каждое выходящее ребро мы должны соединить с ребром, входящим в предыдущий цикл. Более формально:

x_{i,λ(i)} ⟶^{A} x_{i+1,1} −− →^{B} x_{i,λ(i)+1} при i = 1, …, c − 1,

x_{c,λ(c)} ⟶^{A} \{ \begin{matrix}y_{1,μ(1)} −− →^{B} x_{c,λ(c)+1} & при d > 0, \\ x_{i,1} −− →^{B} x_{c,λ(c)+1} & при d = 0, \end{matrix}

z_{i,ν(i)−1} ⟶^{A} y_{i+1,μ(i+1)} −− →^{B} z_{i,ν(i)},

z_{d,ν(d)} ⟶^{A} \{ \begin{matrix}x_{1,1} −− →^{B} y_{1,μ(1)} & при d ⩾ 1, \\ y_{1,μ(1)} −− →^{B} z_{d,ν(d)} & при d = 0. \end{matrix}

Таким образом, если P не содержит циклов единичной длины, то мы построили искомое k–представление P = A · B.

Для описания свойств представления Бертрама, введем следующие обозначения. Пусть X, Y ∈ S_{n}. Обозначим

supp(X, Y) = supp(X) ⋂ supp(Y).

Тогда построенное представление X_{1} … X_{c}Y_{1}Z_{1} … Y_{d}Z_{d} = A ∘ B обладает следующими свойствами:

1) если цикл P_{i} из разложения подстановки P = X_{1} … X_{c}Y_{1}Z_{1} … Y_{d}Z_{d} имеет длину ≥ 3, то множество supp(P_{i}^{A}, P_{i}) не пусто;

2) для любой пары соседних циклов P_{i} и P_{i+1} из разложения P в произведение независимых циклов, а также для пары (Z_{d}, X_{1}) множество supp(P_{i}^{A}, P_{i+1}) не пусто.

Эти свойства k–представления Бертрама потребуются нам в дальнейшем.

Пусть теперь подстановка P содержит цикл (y) длины 1, т. е. P = Q · (y) , где Q ∈ A_{k−1}. Если Q = Q_{1} … Q_{s} – разложение Q в произведение независимых циклов и Q = A_{1} · B_{1} – такое (k − −1) – представление подстановки Q, что некоторый символ r лежит в множестве supp(Q_{i}^{A}, Q_{j}) , i = 1, …, s, j = 1, …, s, т. е. Q_{i} = (x_{1}x_{2} …), Q_{j} = (r …), A_{1} = (x_{1}r …), B_{1} = (rx_{2} …), то положим: A = (x_{1}yr …), B = (ryx_{2} …) – циклы длины k. Легко проверить, что P = A · B – k–представление подстановки P = Q · (y), причем y ∈ supp(Q_{i}^{A}, (y)) и r ∈ supp((y)^{A}, Q_{j}).

� 3. Λ–композиция k–представлений

Пусть Q = A_{1} · B_{1} и R = A_{2} · B_{2} — k–представления подстановок Q ∈ A_{km_{1}} и R ∈ A_{km_{2}}, определенных на непересекающихся множествах символов M_{1} и M_{2}. Кроме того, пусть Λ — произведение независимых трансвекций, каждая из которых переводит символ из M_{1} в некоторый символ из M_{2}. Тогда Λ–композицией представлений Q = A_{1} · B_{1} и R = A_{2} · B_{2} назовем представление P = A_{1}A_{2} · (B_{1}B_{2})^{Λ}, которое, как легко заметить, является k– представлением подстановки P в группе S_{k(m_{1}+m(2))}. Рассмотрим некоторые частные случаи Λ–композиции.

Если Λ – тождественная подстановка, то Λ–композицией k–представлений Q = A_{1} · B_{1} и R = A_{2} · B_{2} является k–представление P = A_{1}A_{2} · B_{1}B_{2} подстановки P = Q · R.

Лемма 1. Пусть для подстановки P ∈ A_{km}, k ≥ 4, m ≥ 1 задано разложение на независимые циклы P = P_{1} … P_{l} и k–представление P = A · B. Если l ≥ 4 и s ∈ supp(P_{1}^{A}, P_{2}), r ∈ supp(P_{3}^{A}, P_{4}), то A · B^{(sr)} — k–представление подстановки Z_{1}Z_{2}P_{3} … P_{l}, где Z_{j} — цикл состоящий из символов входящих в P_{j} и P_{j+2}, где j = 1, 2. Если же l ≥ 3 и s ∈ supp(P_{1}^{A}, P_{1}), r ∈ supp(P_{2}^{A}, P_{3}), то A·B^{(sr)} — k–представление подстановки ZP_{4} … P_{l}, где цикл Z состоит из символов входящих в циклы P_{1}, P_{2} и P_{3}.

Доказательство. Докажем первое утверждение (второе утверждение доказывается аналогично). По условию, P_{1} = (s_{1}s_{2}S), где S – некоторое, возможно пустое, множество символов, причем, если P_{1} является единичным циклом, то s_{2} и S отсутствуют; P_{2} = (psS_{1}), где S_{1} — множество символов (возможно пустое) и опять, если P_{2} — единичный цикл, то p и S_{1} отсутствуют. Аналогично определяются P_{3} = (r_{1}r_{2}T) и P_{4} = (qrT_{1}). Так как s ∈ supp(P_{1}^{A}, P_{2}) , а r ∈ supp(P_{3}^{A}, P_{4}), то A переводит s_{1} в s, а r_{1} переводит в r. Тогда под действием B символ s переходит в s_{2}, а r переходит в r_{2}. Предположим еще, что под действием A символ p переходит в некоторый символ p_{1}, а q переходит в некоторый символ q_{1}. Тогда

B = ( \begin{matrix}… & p_{1} & s & … & q_{1} & r & … \\ … & s & s_{2} & … & r & r_{2} & … \end{matrix} ) .

Теперь легко проверить, что

A · B^{(sr)} = (s_{1}r_{2}T r_{1}s_{2}S)(prT_{1}qsS_{1})P_{5} … P_{l}.

Лемма доказана.

Пусть Q = Q_{1} … Q_{c}, R = R_{1} … R_{d} — разложения на независимые циклы подстановок, введенных в начале параграфа. Предположим, что в k–представлении Q = A_{1} ·B_{1} некоторый символ s лежит в supp(Q_{1}^{A_{1}}, Q_{2}), а в k–представлении R = A_{2} · B_{2} некоторый символ r ∈ supp(R_{1}^{A_{2}}, R_{2}). Тогда по лемме 1, (sr)–композиция этих представлений дает k–представление подстановки

P = Z_{1}Z_{2}Q_{3} … Q_{c}R_{3} … R_{d},

где все выписанные циклы независимы и длина цикла Z_{j} равна сумме длин циклов Q_{j} и R_{j}, j = 1, 2, т. е. при такой композиции происходит как бы склеивание цикла R_{j} с циклом Q_{j}, j = 1, 2.

Предположим, что в k–представлении Q = A_{1} · B_{1} символ s ∈ supp(Q_{1}^{A_{1}}, Q_{1}), а в k–представлении R = A_{2} · B_{2} символ r ∈ supp(R_{1}^{A_{2}}, R_{2}). Тогда по лемме 1, (sr)–композицей этих представлений является k–представление подстановки Z · Q_{2} … Q_{c}R_{3} … R_{d}, где все выписанные циклы независимы и длина цикла Z равна сумме длин циклов Q_{1}, R_{1} и R_{2}, т. е. в этом случае происходит как бы склеивание цикла Q_{1} с циклами R_{1} и R_{2}.

В рассмотренных частных случаях Λ–композиции, как легко заметить, выполнено следующее свойство: если в k–представлении Q_{1} … Q_{c} = A_{1} · B_{1} для некоторых циклов Q_{i} и Q_{j}, 1 ≤ i, j ≤ n найдется символ q лежащий в supp(Q_{i}^{A_{1}}, Q_{j}), то и в полученном k–представлении P_{1} … P_{l} = A_{1}A_{2} · (B_{1}B_{2})^{(sr)} символ q ∈ supp(P_{i′}^{A_{1}A_{2}}, P_{j′}), где 1 ≤ i′, j′ ≤ l и цикл P_{i′} содержит символы цикла Q_{i}, а цикл P_{j′} содержит символы цикла Q_{j}. Аналогично для второго k–представления R_{1} … R_{d} = A_{2} · B_{2}.

Аналогично, если в k–представлении P = A·B некоторый символ q лежит в supp(P_{i}^{A}, P_{j}), 1 ≤ i, j ≤ l, то для k–представления P = B · A^{B} наоборот, найдется символ q′ лежащий в supp(P_{j}^{B}, P_{i}).

Так как в разобранных примерах Λ–композиции складываются длины соответствующих циклов, то, в некотором смысле, мы можем работать не с самими подстановками, а с их циклическими типами. Тогда Λ–композиция представлений равносильна некоторой операции сложения типов. В следующем параграфе мы формализуем это наблюдение.

� 4. Разложение типов

Пусть τ = (τ_{1}, …, τ_{l}) — некоторый циклический тип. Подтипом типа τ назовем всякую последовательность τ^{0} = (τ_{1}^{0}, …, τ_{l}^{0}) той же длины, у которой 0 ≤ τ_{i}^{0} ≤ τ_{i}, i = 1, …, l. Ясно, что, удалив нулевые компоненты подтипа τ^{0}, получим циклический тип некоторой подстановки из S_{n^{0}}, где n^{0} = ∑_{i=1}^{l} τ_{i}^{0}. Будем называть тип четным, если он является типом четной подстановки. Подтип будем называть четным, если удалив из него нулевые компоненты, получим четный тип.

На подтипах одинаковой длины можно ввести операцию сложения. Если ρ = (ρ_{1}, …, ρ_{l})

— подтип некоторой подстановки из S_{n}, а σ = (σ_{1}, …, σ_{l}) — подтип подстановки из S_{n_{1}}, то их суммой назовем последовательность ρ + σ = (ρ_{1} + σ_{1}, …, ρ_{l} + σ_{l}) являющуюся, как легко заметить, подтипом некоторой подстановки из S_{n+n_{1}}.

В дальнейшем, допуская вольность речи, будем говорить: “тип (подтип) из S_{n}” , подразумевая, что данный тип (подтип) является циклическим типом (соответственно, подтипом) некоторой подстановки из S_{n}.

В типе τ = (τ_{1}, …, τ_{l}) из A_{km} выделим некоторую последовательность компонент: (τ_{i_{1}}, …, τ_{i_{n}}), 1 ≤ n ≤ l. Будем говорить, что типу τ соответствует k–представление P_{τ} = A · B, если в разложении на независимые циклы P_{τ} = P_{1} … P_{l} цикл P_{i} имеет длину τ_{i} при всех i = 1, …, l и, кроме того, выполнено следующее условие: при n = 1 множество supp(P_{i_{n}}^{A}, P_{i_{n}}) не пусто, а при n > 1, для вся кого j, j = 1, …, n − 1, множество supp(P_{i_{j}}^{A}, P_{i_{j+1}}) ≠ ∅. Аналогично определяется k–представление соответствующее типу τ, если в τ выделена не одна, а несколько последовательностей компонент.

Пусть τ = (τ_{1}, …, τ_{l}) – тип из A_{n} при n > k, представленный в виде суммы подтипов ρ = (ρ_{1}, …, ρ_{l}) и σ = (σ_{1}, …, σ_{l}) из S_{k} и S_{n−k} соответственно. Число компонент ρ_{i} для которых справедливы неравенства 0 < ρ_{i} < τ_{i} назовем степенью разложения τ относительно ρ и σ, а сами компоненты ρ_{i} и σ_{i} для которых справедливы неравенства: 0 < ρ_{i} < τ_{i} и 0 < σ_{i} < τ_{i} назовем склеиваемыми компонентами. Тип τ будем называть k–разложимым относительно ρ и σ, если для них выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) оба подтипа ρ и σ четны и степень разложения равна 0;

2) оба подтипа ρ и σ четны, степень разложения равна 2, либо k нечетно и степень разложения равна 4;

3) ρ – четный, а σ – нечетный подтипы, степень разложения равна 1 и если ρ_{i} и σ_{i} — склеиваемые компоненты подтипов ρ и σ соответственно, то ρ_{i} ≥ 3, σ_{i} ≥ 2; либо, наоборот, — ρ – нечетный, а σ — четный подтипы, степень разложения равна 1 и склеиваемые компоненты удовлетворяют неравенствам ρ_{i} ≥ 2, σ_{i} ≥ 3.

В оставшихся пунктах предполагаются выполненными дополнительно условия: k — нечетно и тип τ имеет четную длину.

4) оба подтипа ρ и σ нечетны, степень разложения равна 2 и если σ_{i} и ρ_{j} — склеиваемые компоненты, то σ_{i} и ρ_{j} ≥ 2;

5) ρ — четный, а σ – нечетный подтипы, степень разложения равна 1 и если ρ_{i} — склеиваемая компонента, то τ_{i} четна, τ_{i} ≥ 6, τ_{i+1} = 2, а ρ_{i} = τ_{i} − 1, ρ_{i+1} = 0;

6) ρ — четный, а σ — нечетный подтипы, степень разложения равна 1 и если ρ_{i} — склеиваемая компонента, то ρ_{i} = 3, τ_{i} = 4 и, кроме того, подтип σ содержит не менее двух компонент равных 2. Очевидно, что если некоторый тип подстановки P ∈ A_{n} является k–разложимым, то и любой другой ее тип также является k– разложимым.

Теперь мы можем перейти непосредственно к доказательству теоремы.

Доказательство. Пусть P – некоторая подстановка из A_{km}. Если m = 1, то из работы Бертрама [5] (см. � 2) следует, что P является k–представимой. Поэтому мы можем считать, что m > 1. Предположим, что некоторый тип τ = τ(P) = (τ_{1}, …, τ_{l}) подстановки P является k–разложимым. Покажем, что тогда, при некоторых дополнительных предположениях, подстановка P является k–представимой. Так как τ, по предположению, удовлетворяет одному из пунктов 1) – 6) определения k–разложимого типа, то разберем по порядку все эти случаи.

Пусть ρ и σ удовлетворяют условию 1), т. е. для некоторого номера i (возможно после перестановки компонент имеем

ρ = (τ_{1}, …, τ_{i}, \underbrace{0, …, 0}_{l−i}), σ = (\underbrace{0, …, 0}_{i}, τ_{i+1}, …, τ_{l}).

Удаляя нулевые компоненты, получим типы ρ′ = (τ_{1}, …, τ_{i}), и σ′ = (τ_{i+1}, …, τ_{l}). Им соответствуют подстановки P_{ρ′} и P_{σ′} из A_{k} и A_{k(m−1)} соответственно. По индуктивному предположению, эти подстановки k–представимы и мы будем считать, что они определены на непересекающихся множествах символов (в дальнейшем, говоря о k–представлениях подстановок P_{ρ′} и P_{σ′} будем иметь в виду именно такие представления). Из свойств Λ–композиции следует, что e–композиция k–представлений подстановок P_{ρ′} и P_{σ′} дает k–представление некоторой подстановки P_{τ} ∈ A_{km} у которой циклический тип тот же, что и у P. Следовательно, P — k–представима.

Предположим, что выполнено условие 2) из определения k–разложимого типа, т. е.

ρ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}, ρ_{i+1}, \underbrace{0, …, 0}_{l−i−1}, σ = (\underbrace{0, …, 0}_{i−1} σ_{i}, σ_{i+1}, τ_{i+2}, …, τ_{l}),

где ρ_{j} + σ_{j} = τ_{j}, ρ_{j} ≠ 0, σ_{j} ≠ 0, j = i, i + 1. Обозначим ρ′ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}, ρ_{i+1}), σ′ = (σ_{i}, σ_{i+1}, τ_{i+2}, …, τ_{l}) — четные типы из A_{k} и A_{k(m−1)} соответственно. Выделим в первом из них пару (ρ_{i}, ρ_{i+1}), а во втором — пару (σ_{i}, σ_{i+1}). По индуктивному предположению, существуют k–представления P_{ρ′} = A_{1}·B_{1} и P_{σ′} = A_{2}·B_{2} подстановок P_{ρ′} и P_{σ′} циклические типы которых равны ρ′ и σ′ соответственно. Более того, ввиду свойства 2) конструкции Бертрама (см. � 1), можно считать, что k–представление P_{ρ′} = A_{1} · B_{1} соответствует типу ρ′, т. е. некоторый символ s ∈ supp(X_{i}^{A_{1}}, X_{i+1}), где X_{j} — цикл длины ρ_{j}, j = i, i + 1. Предположим, что и представление P_{σ′} = A_{2} ·B_{2} соответствует типу σ′, т. е. некоторый символ r ∈ supp(Y_{i}^{A_{2}}, Y_{i+1}), где цикл Y_{j} имеет длину σ_{j}, j = i, i + 1. В результате (sr)–композиции этих k–представлений произойдет склеивание цикла X_{j} с циклом Y_{j} при j = i, i + 1 и мы получим k–представление некоторой подстановки P_{τ}, имеющей циклический тип τ. Следовательно, и сама подстановка P также является k–представимой.

Пусть теперь τ — k–разложима степени 4 относительно четных подтипов

ρ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}, …, ρ_{i+3}, \underbrace{0, …, 0}_{l−i−3}) и σ = (\underbrace{0, …, 0}_{i−1}, σ_{i}, …, σ_{i+3}, τ_{i+4}, …, τ_{l}),

из A_{k} и A_{k(m−1)} соответственно, у которых все компоненты ρ_{j} и σ_{j} отличны от нуля и ρ_{j} +σ_{j} = τ_{j} при j = i, …, i + 3. Тогда в типе ρ′ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}, …, ρ_{i+3}) выделим пары (ρ_{i}, ρ_{i+1}), (ρ_{i+2}, ρ_{i+3}). Опять ввиду свойства 2) конструкции Бертрама, существует соответствующее k–представление подстановки P_{ρ′}, т. е. такое k–представление P_{ρ′} = A_{1} · B_{1} в котором

s_{1} ∈ supp(X_{i}^{A_{1}}, X_{i+1}), и s_{2} ∈ supp(X_{i+2}^{A_{1}}, X_{i+3}),

где X_{j} — цикл длины ρ_{j} при j = i, …, i+3. Аналогично, в типе σ′ = (σ_{i}, …, σ_{i+3}, τ_{i+4}, …, τ_{l}), выделим пары (σ_{i}, σ_{i+1}), (σ_{i+2}, σ_{i+3}) и предположим, что для него существует соответствующее k–представление P_{σ′} = A_{2} · B_{2} в котором r_{1} ∈ supp(Y_{i}^{A_{2}}, Y_{i+1}), r_{2} ∈ supp(Y_{i+2}^{A_{2}}, Y_{i+3}), где Y_{j} — цикл длины σ_{j} при j = i, …, i+3. Вычислим (s_{1}r_{1})(s_{2}r_{2})–композицию этих представлений. Ввиду леммы 1, полученное k–представление является k–представлением подставновки P_{τ}.

Предположим, что τ удовлетворяет условию 3), т. е.

ρ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}, \underbrace{0, …, 0}_{l−i})

— подтип из A_{k} у которого ρ_{i} ≥ 3;

σ = (\underbrace{0, …, 0}_{i−1}, σ_{i}, τ_{i+1}, …, τ_{l})

— нечетный подтип из S_{k(m−1)} у которого σ_{i} ≥ 2 и сумма ρ + σ равна τ (двойственный случай из пункта 3) разбирается аналогично). По этим подтипам построим четные типы ρ′ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}) и σ′ = (1, σ_{i} − 1, τ_{i+1}, …, τ_{l}). В типе ρ′ выделим компоненту ρ_{i}, а в типе σ′ — пару (1, σ_{i} − 1). По свойству 1) представления Бертрама, существует k–представление P_{ρ′} = A_{1} · B_{1} для которого найдется символ s из supp(X_{i}^{A_{1}}, X_{i}), где X_{i} — цикл длины ρ_{i}. Предположим, что для типа σ′ существует соответствующее k–представление, т. е. такое k–представление P_{σ′} = A_{2} · B_{2} что некоторый символ r лежит в supp(Y_{i−1}^{A_{2}}, Y_{i}), где Y_{i−1} — цикл длины 1, а Y_{i}4 — цикл длины σ_{i} − 1. Найдем (sr)–композицию этих k–представлений. В результате склеивания цикла X_{i} длины ρ_{i} с циклами Y_{i−1} и Y_{i} длины 1 и σ_{i}−1 соответственно, получим k–представление подстановки P_{τ}.

Допустим, что подтипы ρ и σ удовлетворяют условию 4) , т. е.

ρ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}, ρ_{i+1}, \underbrace{0, …, 0}_{l−i−1}), σ = (\underbrace{0, …, 0}_{i−1}, σ_{i}, σ_{i+1}, τ_{i+2}, …, τ_{l})

— нечетные подтипы из S_{k} и S_{k(m−1)} соответственно, у которых ρ_{i+1} и σ_{i} не менее 2, а ρ_{j} + σ_{j} = τ_{j}, при j = i, i + 1. Построим по ним четные типы ρ′ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, ρ_{i}, ρ_{i+1} − 1, 1), σ′ = (1, σ_{i} − 1, σ_{i+1}, τ_{i+2}, …, τ_{l}) и выделим в первом тройку компонент (ρ_{i}, ρ_{i+1} − 1, 1), а во втором — тройку (1, σ_{i} − 1, σ_{i+1}). Предположим, что для них существуют соответствующие k–представления P_{ρ′} = A_{1} · B_{1}, P_{σ′} = A_{2} · B_{2}. Иными словами, в первом представлении s_{1} ∈ supp(X_{i}^{A_{1}}, X_{i+1}), s_{2} ∈ supp(X_{i+1}^{A_{1}}, X_{i+2}), где цикл X_{i} имеет длину ρ_{i}, цикл X_{i+1} — ρ_{i+1} − 1, а X_{i+2} — длину 1; во втором представлении: r_{1} ∈ supp(Y_{i}^{A_{2}}, Y_{i+1}), r_{2} ∈ supp(Y_{i−1}^{A_{2}}, Y_{i}), где Y_{i−1} имеет длину 1, Y_{i} — длину σ_{i−1} и Y_{i+1} — длину σ_{i+1}. Покажем, что (s_{1}r_{1})(s_{2}r_{2})–композиция этих k–представлений дает k–представление некоторой подстановки P_{τ}. Действительно, если к указанным представоениям применить (s_{1}r_{1})–композицию, то по лемме 1,

A_{1}A_{2} · (B_{1}B_{2})^{(s_{1}r_{1})} = X_{1} … X_{i−1}X_{i+2} · Z_{1}Z_{2} · Y_{i−1} · Y_{i+2} … Y_{l},

где цикл с индексом j имеет длину τ_{j} при j = 1, …, i − 1, i + 2, …, l; X_{i+1} и Y_{i−1} имеют длину 1, а цикл Z_{j} — длину ρ_{j} + σ_{j} − 1, при j = i, i + 1. Причем, ввиду свойства Λ–композиции, справедливы включения:

s_{2} ∈ supp(Z_{1}^{A_{1}}, X_{i+2}), r_{2} ∈ supp(Y_{i−1}^{A_{1}}, Z_{2}).

Далее, опять по лемме 1, в k–представлении A_{1}A_{2} · (B_{1}B_{2})^{(s_{1}r_{1})(s_{2}r_{2})} произойдет склеивание цикла Z_{1} с циклом Y_{i−1} и склеивание цикла X_{i+2} с циклом Z_{2}. В результате получим циклы длины ρ_{i} +σ_{i} = τ_{i} и ρ_{i+1} +σ_{i+1} = τ_{i+1} соответственно. Так как остальные циклы не меняются, то полученное представление будет являться k–представлением некоторой подстановки P_{τ}.

Пусть теперь ρ и σ удовлетворяют условию 5), т. е.

ρ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, τ_{i} − 1, \underbrace{0, …, 0}_{l−i}), σ = (\underbrace{0, …, 0}_{i−1}, 1, τ_{i+1}, τ_{i+2}, …, τ_{l})

— подтипы из A_{k} и S_{k(m−1)} соответственно, у которых компонента τ_{i} четна и не меньше 5, а τ_{i+2} = 2. Построим по ним четные типы ρ′ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, τ_{i} − 3, 1, 1), σ′ = (1, 1, 1, τ_{i+2}, …, τ_{l}). Ввиду конструкции Бертрама, для ρ′ можно построить такое k–представление P_{ρ′} = A_{1} · B_{1}, в котором r_{j} ∈ supp(X_{i}^{A_{1}}, X_{i−j}) при j = 1, 2, и цикл X_{i} имеет длину τ_{i} − 3, а цикл X_{i+j} — длину 1, j = 1, 2. В типе σ′ выделим тройку (1, 1, 1) и предположим, что для него существует соответствующее k–представление P_{σ′} = A_{2} · B_{2}, в котором r_{1} ∈ supp(X_{i−1}^{A_{2}}, X_{i}), r_{2} ∈ supp(X_{i}^{A_{2}}, X_{i−1}), где циклы X_{j}, j = i − 1, i, i + 1 имеют длину 1. Вычислим (s_{1}r_{1})(s_{2}r_{2})– композицию этих представлений. Так же, как и в предыдущем случае, нетрудно проверить, что получим k–представление некоторой подстановки P_{τ} сопряженной с подстановкой P.

Если

ρ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, 3, \underbrace{0, …, 0}_{l−i}), σ = (\underbrace{0, …, 0}_{i−1}, 1, 2, 2, τ_{i+3}, …, τ_{l})

— подтипы из A_{k} и S_{k(m−1)} соответственно, для которых выполнено условие 6) определеня k–разложимого типа, то построим четные типы ρ′ = (τ_{1}, …, τ_{i−1}, 1, 1, 1), и σ′ = (1, 1, 1, 2, τ_{i+3}, …, τ_{l}). В типе ρ′ выделим тройку (1, 1, 1). Из конструкции Бертрама, для ρ′ следует существование соответствующего k–представления P_{ρ′} = A_{1} · B_{1}, в котором s_{1} ∈ supp(X_{i}^{A_{1}}, X_{i+1}), s_{2} ∈ supp(X_{i+1}^{A_{1}}, X_{i−2}), где X_{j}, j = i, i + 1, i + 2, цикл длины 1. В типе σ′ выделим пары (1, 1), (2, 1) и предположим, что для него существует соответствующее k– представление P_{σ′} = A_{2} · B_{2}, в котором r_{1} ∈ supp(Y_{i−1}^{A_{2}}, Y_{i}), r_{2} ∈ supp(Y_{i+2}^{A_{2}}, Y_{i+1}), где X_{j}, j = i − 1, i, i + 1, — цикл длины 1, а Y_{i+2} — цикл длины 2. Вычислив (s_{1}r_{1})(s_{2}r_{2}) — композицию этих представлений, получим k–представление подстановки P_{τ}.

Таким образом, для завершения доказательства теоремы осталось доказать, что тип τ = τ(P) подстановки P ∈ A_{km}, m > 1, является k–разложимым типом относительно некоторых ρ и σ. Кроме того, для построенных типов ρ′ и σ′ надо доказать существование соответствующих k–представлений P_{ρ′} = A_{1} · B_{1} и P_{σ′} = A_{2} · B_{2}. Так как ρ′ является типом из A_{k}, то существование соответствующего k–представления следует из параграфа 1 и нам остается доказать существование соответствующего k–представления для типа σ из A_{k(m−−1)} при m − 1 > 1. Доказательству этих двух фактов посвящена остальная часть работы.

� 5. Доказательство k–разложимости типов и существования соответствующих k–представлений

Рассмотрим тип ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{s}) из A_{km}, m > 1. Пару компонент (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}) назовем граничной парой типа ξ, если сумма компонент, предшествующих этой паре ≤ k, а сумма ∑_{i=1}^{2j} ξ_{i} больше k. Обозначим Δ_{1} = ∑_{i=1}^{2j} ξ_{i} − k, Δ_{2} = ∑_{i=1}^{2j−2} ξ_{i}. Очевидно, что Δ_{1} + Δ_{2} = ξ_{2j−1} + ξ_{2j}. Доказательство требуемых утверждений проведем в два этапа. Вначале разберем случай, когда k четно, а затем – случай, когда k нечетно.

5.1. Случай четного k. В этом случае очевидно, что ξ имеет четную длину, а так как ξ содержит четное число нечетных компонент, мы можем считать, что каждая пара (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}), i = 1, …, s/2 состоит из компонент одинаковой четности. Следовательно, оба значения Δ_{1} и Δ_{2} в этом случае являются четными. Справедливо следующее утверждение

Лемма 2. Пусть ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{s}) – некоторый тип из A_{km}, k — четно и ≥ 4, m > 1. Тогда ξ — k–разложим. Кроме того, если в ξ выделена некоторая нечетная компонента ≥ 3 и при этом ξ содержит единичную компоненту, либо в ξ выделена пара компонент одинаковой четности, то для ξ существует соответствующее k– представление.

Доказательство. Не уменьшая общности можно считать, что компоненты типа ξ упорядочены следующим образом: если ξ содержит единственную выделенную компоненту, то ей является ξ_{1}, а ξ_{2} = 1; если ξ содержит пару выделенных компонент, то этой парой является (ξ_{1}, ξ_{2}). Остальные компоненты упорядочены так, что последовательность (ξ_{3}, ξ_{4}, …, ξ_{s}) является начальным типом.

Пусть (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) — граничная пара типа ξ. Будем считать, что ξ_{2i−1} ≥ ξ_{2i}. Если для ξ значение Δ_{2} = 0, то относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i+2}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, ξ_{2i−1}, ξ_{2i}, …, ξ_{s})

тип ξ является k–разложимым степени 0. Чтобы построить k–представление соответствующее типу ξ, выделим в μ те же компоненты, что были выделены в ξ. По индуктивному предположению, для типов μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}), ν′ = (ξ_{2i−1}, …, ξ_{s}) существуют соответствующие k–представления. Используя для них e–композицию (см. доказательство теоремы), получим k–представление соответствующее типу ξ. Если же Δ_{2} ≥ 2 и при этом обе компоненты граничной пары > 1, то пару (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) представим в виде суммы (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) = (μ_{2i−1}, μ_{2i})+(ν_{2i−1}, ν_{2i}), где

μ_{2i−1} = \{ \begin{matrix}ξ_{2i−1} − Δ_{1}/2 & при ξ_{2i−1} − ξ2i < Δ_{2}, \\ Δ_{2} − 1 & в противном случае , \end{matrix}

μ_{2i} = \{ \begin{matrix}ξ_{2i} − Δ_{1}/2 & при ξ_{2i−1} − ξ2i < Δ_{2}, \\ 1 & в противном случае , \end{matrix}

ν_{j} = ξ_{j} − μ_{j}, j = 2i − 1, 2i. Очевидно, что все построенные компоненты μ_{j} и ν_{j}, j = 2i − 1, 2i положительны, и каждая пара (μ_{2i−1}, μ_{2i}) и (ν_{2i−1}, ν_{2i}) состоит из компонент одинаковой четности, причем, μ_{2i−1} + μ_{2i} = Δ_{2}, ν_{2i−1} + ν_{2i} = Δ_{1}. Следовательно, относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, μ_{2i−1}, μ_{2i}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, ν_{2i−1}, ν_{2i}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s})

тип ξ является k–разложимым степени 2 (выполнено условие 2) из определения k–разложимого типа). Чтобы построить k–представление соответствующее типу ξ, выделим в μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, μ_{2i−1}, μ_{2i}) пару (μ_{2i−1}, μ_{2i}) и компоненты выделенные в ξ, а в типе ν′ = (ν_{2i−1}, ν_{2i}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}) — пару (ν_{2i−1}, ν_{2i}). Испльзуя конструкцию Бертрама (см. � 2), построим k– представление соответствующее типу μ′. Для ν′ соответствующее k–представление существует по предположению индукции. Применяя подходящую Λ–композицию к этим представлениям (см. доказательство теоремы), найдем k–представление соответствующее типу ξ.

Допустим теперь, что компонента ξ_{2i} равна 1. Если при этом Δ_{2} ≥ 4, то ξ — k–разложим степени 1 относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, Δ_{2} − 1, ξ_{2i}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, ξ_{2i−1} − Δ_{2} + 1, 0, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}).

Так как Δ_{2} − 1 ≥ 3 и ξ_{2i−1} + ξ_{2i} − Δ_{2} = Δ_{1} ≥ 2, то μ и ν удовлетворяют условию 3) из определения k–разложимого типа. В типе μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, Δ_{2} − 1, ξ_{2i}) выделим те же компоненты, что были выделены в ξ и, кроме того, компоненту Δ_{2} − 1 ≥ 3. Используя конструкцию Бертрама, построим k–представление, соответствующее типу μ′. В типе ν′ = (Δ_{1}−1, 1, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}) выделим пару (Δ_{1}−1, 1). Так как Δ_{1}−1 нечетно то, по предположению индукции, для ν′ существует соответствующее k–представление. Используя подходящую Λ–композицию, нетрудно построить k–представление соответствующее типу ξ. Если же Δ_{2} = 2, но при этом разность ξ_{2i−1} − Δ_{2} ≥ 3, то для подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, Δ_{2}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i+1}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, ξ_{2i−1} − Δ_{2}, ξ_{2i}, …, ξ_{s})

также выполнено условие 3) (учесть, что ξ_{2i} = 1). В типе μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, Δ_{2} −1, 1) выделим компоненты выделенные в ξ и пару (Δ_{2} − 1, 1), а в типе ν′ = (ξ_{2i−1} − Δ_{2}, ξ_{2i}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}) выделим компоненту ξ_{2i−1} − Δ_{2}. Так как в типе μ′ пара (Δ_{2} − 1, 1) не может быть первой парой, то ввиду результатов � 1 для него существует соответствующее k–представление. Для типа ν′ соответствующее k–представление существует по предположению индукции (учесть, что ξ_{2i−1} − Δ_{2} нечетно и ≥ 3, а ξ_{2i} = 1). Так же как и выше, по этим представлениям легко построить k–представление соответствующее типу ξ.

Пусть, наконец, ξ_{2i−1} − Δ_{2} = 1 и Δ_{2} = 2, т. е. граничная пара (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) = (3, 1). Опять, легко заметить, что граничная пара не может быть первой парой типа ξ. Предположим, что среди компонент, стоящих правее граничной пары, либо найдется пара неединичных компонент одинаковой четности, либо найдутся две нечетные компоненты одна из которых ≥ 5, а другая равна 1. Поменяв местами эти компоненты с компонентами граничной пары, получим некоторый тип ξ̃ той же подстановки, что и ξ, но для которого справедливость леммы уже установлена. Следовательно, для типа ξ лемма также справедлива. Если же такой пары не существует, то пара (ξ_{2i+1}, ξ_{2i+2}), следующая за граничной парой, либо равна (3, 1), либо – (1, 1). Тогда тип ξ является k–разложимым степени 0 относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, 0, ξ_{2i}, 0, ξ_{2i+2}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i−2}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, ξ_{2i−1}, 0, ξ_{2i+1}, 0, ξ_{2i+3}, ξ_{2i+4}, …, ξ_{s}).

По ним, так же как и выше, легко построить k–представление соответствующее типу ξ. Лемма доказана.

5.2. Случай нечетного k. Можем считать, что k ≥ 5. Циклический подтип будем называть инволютивным подтипом, если все его компоненты не превосходят 2. Очевидно, что инволютивному подтипу из S_{n} соответствует инволюция из S_{n}. Для инволюций из A_{km} справедлива

Лемма 3. Всякая инволюция Q из A_{km}, m > 1, является k– представимой. Более того, если в инволютивном типе τ(Q) выделена пара (1, 1) или (1, 2) или же обе эти пары вместе, то для него существует соответствующее k–представление.

Доказательство. Предположим вначале, что Q ∈ A_{4k} и не содержит циклов длины 1. Тогда циклический тип ξ = (\underbrace{2, 2, …, 2}_{2k}) подстановки Q можно представить в виде суммы

подтипов

χ = (\underbrace{2, …, 2}_{k−1}, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{k−1}) и λ = (\underbrace{0, …, 0}_{k−1}, 1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{k−1})

из A_{2k}. Удалив из них нулевые компоненты, получим инволютивные типы χ′ и λ′. Выделим в λ′ пару единичных компонент и покажем, что для него существует соответствующее k– представление. Для этого найдем граничную пару типа λ′. Так как k ≥ 5, то граничной будет пара (2, 2). Вычислим Δ_{2}. Очевидно, что Δ_{2} = 1 или Δ_{2} = 3, причем, если Δ_{2} = 1, то граничной паре предшествует пара (2, 2); если же Δ_{2} = 3, то за граничной парой следует пара (2, 2).

Пусть, вначале, Δ_{2} = 3 (это равносильно тому, что k ≡ 1(mod4)). Тогда λ′ представим в виде суммы двух инволютивных подтипов

μ = (1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{(k−5)/2}, 2, 1, \underbrace{0, …, 0}_{(k−1)/2}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{(k+1)/2}, 1, \underbrace{2, …, 2}_{(k−1)/2})

из S_{k}, причем, μ — нечетный, а ν4 — четный подтипы. По ним построим четные типы:

μ′ = (1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{(k−5)/2}, 1, 1, 1) и ν′ = (1, 1, 3, \underbrace{2, …, 2}_{(k−5)/2}).

Выделим в μ′ пару (1, 1) и тройку (1, 1, 1). Ввиду результатов � 1, для μ′ существует соответствующее k–представление P_{μ′} = C_{1}·D_{1}, где P_{μ′} = (i_{1})(i_{2})(i_{3})Q_{1}(i_{4})(i_{5}), C_{1} = (i_{1}i_{2}i_{3}i_{0} … i_{4}i_{5}i_{6}), D_{1} = (i_{0}i_{3}i_{2}i_{1} … i_{6}i_{5}i_{4}), при k ≥ 7 и C_{1} = (i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}), D_{1} = (i_{3}i_{2}i_{1}i_{5}i_{4}) при k = 5, Q_{1} — произведение (k − 5)/2 циклов длины 2. Для типа ν′ можно построить k–представление P_{ν′} = C_{2} · D_{2} для которого P_{ν′} = (j_{1})(j_{3}j_{5}j_{6})(j_{2})Q_{2}, C_{2} = (j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} … j_{6}j_{5}), D_{2} = (j_{4}j_{5}j_{3}j_{2}j_{1}j_{6} …), Q_{2} — произведение (k − 5)/2 циклов длины 2, причем, если k = 5, то j_{6} = j_{4}. Найдем (i_{3}j_{1})(i_{2}j_{3}– композицию этих представлений. Легко проверить, что полученное k–представление является k–представлением соответствующим типу λ′.

Пусть теперь Δ_{2} = 1 (это равносильно тому, что k ≡ 3(mod4)). Учитывая, что в типе λ′ перед компонентами граничной пары находится, по крайней мере, одна пара (2, 2), представим λ′ в виде суммы подтипов

μ = (1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{(k−3)/2}, 1, \underbrace{0, …, 0}_{(k−1)/2}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{(k+1)/2}, 1, \underbrace{2, …, 2}_{(k−1)/2}).

По ним построим четные типы

μ′ = (1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{(k−7)/2}, 3, 1, 1) и ν′ = (1, 1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{(k−1)/2}),

и выделим в первом пару (1, 1) и тройку (1, 3, 1), а во втором — тройку (1, 1, 1). Так как μ′ и ν′ — типы некоторых подстановок из A_{k}, то для них существуют соответствующие k– представления. По этим представлениям, так же как и выше, строится k–представление P_{λ′} = A_{2} · B_{2} соответствующее типу λ′.

Аналогично, выделим в типе χ′ пару (1, 1) и построим k–представление P_{χ′} = A_{1} · B_{1} соответствующее типу χ′, т. е. такое k–представление в котором s ∈ supp(X_{k}^{A_{1}}, X_{k+1}), где циклы X_{j}, j = k, k+1 имеют длину 1. Если в построенном выше k–представлении P_{λ′} = A_{2}·B_{2} символ r ∈ supp(Y_{k}^{A_{2}}, Y_{k+1}), где циклы Y_{j}, j = k, k + 1 — циклы длины 1, то рассмотрим (sr)–композицию этих представлений (считаем, что они определены на непересекающихся множествах символов). Легко проверить, что в результате получится k–представление P_{ξ} = A · B из которого уже нетрудно найти k–представление исходной подстановки Q.

Перейдем теперь к общему случаю. Пусть Q — инволюция из A_{km}, m > 1. Учитывая уже разобранный случай, можем считать, что Q содержит не более 2k −1 циклов длины 2. Кроме того, если Q содержит не менее k циклов длины 1, то ξ — k–разложим степени 0 и построение соответствующего k–представления тривиально. В оставшихся случаях m может принимать лишь значения из множества {2, 3, 4}. Обозначим через n_{1} число циклов длины 1, а через n_{2} — число циклов длины 2, входящих в разложение Q в произведение независимых циклов.

Пусть, вначале, m = 2. Если n_{1} = 2, а n_{2} = k −1, то, как было замечено выше, Q является k–представимой. Поэтому мы можем считать, что n_{1} > 2. Определим натуральные числа l_{i}, m_{i}, i = 1, 2 следующим образом

l_{1} = \{ \begin{matrix}3 & приk ≡ 3(mod4), \\ 1 & приk ≡ 1(mod4), \end{matrix} l_{2} = \{ \begin{matrix}(k − 3)/2 & приk ≡ 3(mod4), \\ (k − 1)/2 & приk ≡ 1(mod4), \end{matrix}

m_{i} = n_{i} − l_{i}, i = 1, 2, и рассмотрим инволюции Q_{1} и Q_{2} из A_{k}, определенные на непересекающихся множествах символов, и такие, что Q_{1} содержит l_{1} циклов длины 1 и l_{2} циклов длины 2, а Q_{2} содержит m_{1} циклов длины 1 и m_{2} циклов длины 2. Для подстановок Q_{1} и Q_{2} утверждение леммы справедливо, т. е. для них существуют соответствующие k–представления. Вычислив их e–композицию, получим требуемое k–представление подстановки Q.

Пусть теперь m = 3 или m = 4. Тогда n_{2} ≥ k + 1. Действительно, если n_{2} < k, то Q лежит в группе A_{n}, где n = n_{1} + 2n_{2} < n_{1} + 2k, откуда n_{1} > n − 2k ≥ k, а, по предположению, число циклов длины 1, входящих в разложение Q, меньше k. Также n_{2} не может быть равно k, так как Q — четная подстановка. Следовательно, циклический тип

ξ = (\underbrace{1, …,}_{n_{1}}, \underbrace{2, …, 2}_{n_{2}})

подстановки Q можно представить в виде суммы подтипов

χ = (\underbrace{1, …, 1}_{n_{1}}, \underbrace{2, …, 2}_{n_{2}−(k+1)}, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{k−1}) и λ = ( \underbrace{0, …, 0}_{n_{1}+n_{2}−(k+1)}, 1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{k−1}),

где χ — подтип из A_{2k}, а λ — подтип из A_{k} или из A_{2k}. В обоих случаях, χ и λ удовлетворяют условию 2) определения k–разложимого типа. Применяя подходящую Λ–композицию к k– представлениям соответствующим этим подтипам, получим требуемое представление. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть k – нечетно, k ≥ 5 и ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{s}) — неинволютивный тип из A_{km}, m > 1. Тогда ξ является k–разложимым типом.

Более того, если ξ имеет нечетную длину и либо

а) содержит выделенную нечетную компоненту ξ_{i} ≥ 3; либо

б) содержит выделенную пару (ξ_{i}, ξ_{j}) в которой ξ_{i} нечетно, а ξ_{j} = 2 или ξ_{i} = 3, а ξ_{j} — произвольно; либо

в) содержит выделенную тройку компонент из которых первая равна 1, а две другие – одинаковой четности.

Или же ξ имеет четную длину и при этом либо

г) выделена пара компонент одинаковой четности; либо

д) выделена нечетная компонента ξ_{i} ≥ 3 и ξ содержит единичные компоненты.

Тогда для ξ существует соответствующее k–представление.

Доказательство. Пусть, вначале, ξ имеет нечетную длину. Не уменьшая общности, можно считать, что компоненты ξ упорядочены следующим образом: вначале идут выделенные компоненты, причем, если в ξ выделена пара компонент, то (ξ_{i}, ξ_{j}) = (ξ_{1}, ξ_{2}), а ξ_{3} является компонентой той же четности, что и ξ_{2}; если в ξ выделена тройка компонент, то ξ_{1} = 1, ξ_{2} ≥ ξ_{3}; остальные компоненты упорядочены так, что являются начальным типом некоторой подстановки. Очевидно, что при таком упорядочении каждая пара (ξ_{2i}, ξ_{2i+1}), i = 1, 2, …, (s − 1)/2 состоит из компонент одинаковой четности.

Пусть, вначале, ξ_{1} ≥ k + 2.

Если при этом ξ удовлетворяет условию а) леммы 4, то ξ — k–разложим относительно подтипов

μ = (k, \underbrace{0, …, 0}_{s−1}) и ν = (ξ_{1} − k, ξ_{2}, …, ξ_{s})

так как для них выполнено условие 3) определения k–разложимого типа. Чтобы построить k–представление соответствующее ξ, рассмотрим типы μ′ = (k) и ν′ = (ξ_{1} −k −1, 1, ξ_{2}, …, ξ_{s}). Для μ′ существует k–представление P_{μ′} = A_{1} ·B_{1} в котором s ∈ supp(X_{1}^{A_{1}}, X_{1}), где X_{1} — цикл длины k. В типе ν′ выделим пару (ξ_{1} − k − 1, 1). Тогда, по предположению индукции, для ν′ существует соответствующее k–представление P_{ν′} = A_{2} · B_{2} в котором r ∈ supp(Y_{0}^{A_{2}}, Y_{1}), где Y_{0} — цикл длины ξ_{1} − k − 1, а Y_{1} — цикл длины 1. Вычислив (sr)–композицию этих представлений, получим k–представление P_{ξ} = A · B некоторой подстановки P_{ξ} = Z_{1} … Z_{s} в котором s ∈ supp(Z_{1}^{A}, Z_{1}), где Z_{1} — цикл длины ξ_{1}. Следовательно, построенное k–представление соответствует типу ξ.

Если ξ удовлетворяет условию б) т. е. в ξ выделена пара (ξ_{1}, ξ_{2}), то ξ_{1} нечетна, а ξ_{2} = 2 (учесть, что, по предположению, ξ_{1} ≥ k + 2. Так как ξ_{3} четно, то ξ можно представить в виде суммы подтипов

μ = (k − 3, 2, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−3}) и ν = (ξ_{1} − k + 3, 0, ξ_{3} − 1, ξ_{4}, …, ξ_{s}).

Для μ и ν выполнено условие 2) определения k–разложимого типа. Следовательно, ξ — k– разложим степени 2. Выделим в μ′ = (k − 3, 2, 1) тройку (1, k − 3, 2), а в ν′ = (ξ_{1} − k + 3, ξ_{3} − 1, ξ_{4}, …, ξ_{s}) пару (ξ_{3} − 1, ξ_{1} − k + 3). Из результатов � 2 вытекает существование k– представления соответствующего типу μ′, а из предположения индукции следует существование k–представления соответствующего типу ν′. По этим представлениям, при помощи подходящей Λ–композиции, найдем k–представление соответствующее типу ξ.

Пусть теперь ξ_{1} = k. Если в ξ выделена только компонента ξ_{1}, то ξ — k–разложим степени 0 относительно подтипов

μ = (k, \underbrace{0, …, 0}_{s−1}) и ν = (0, ξ_{2}, …, ξ_{s}),

и построение требуемого k–представления тривиально. Если в ξ выделена пара (ξ_{1}, ξ_{2}) = (k, 2), то ξ — k–разложим степени 2 относительно подтипов

μ = (k − 3, 2, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−3}) и ν = (3, 0, ξ_{3} − 1, ξ_{4}, …, ξ_{s}),

так как для них выполнено условие 2) определения k–разложимого типа. Построим по ним типы μ′ = (k − 3, 2, 1) и ν′ = (3, ξ_{3} − 1, ξ_{4}, …, ξ_{s}) и выделим тройку (1, k − 3, 2) и пару (ξ_{3} − 1, 3) соответственно. Ввиду результатов � 2 и индуктивного предположения, для подстановок P_{μ′} = X_{1}X_{2}X_{3}, где цикл X_{1} имеет длину k − 3, цикл X_{2} — длину 2, цикл X_{3} — длину 1; P_{ν′} = Y_{2}Y_{3}Y_{4} … Y_{s}, где цикл Y_{2} имеет длину 3, цикл Y_{3} — длину ξ_{3} − 1, цикл Y_{j} — длину ξ_{j} при j = 4, …, s, существуют соответствующие k–представления P_{μ′} = A_{1} · B_{1}, P_{ν′} = A_{2} · B_{2} для которых справедливы включения: s_{1} ∈ supp(X_{3}^{A_{1}}, X_{1}), s_{2} ∈ supp(X_{1}^{A_{1}}, X_{2}), r_{1} ∈ supp(Y_{3}^{A_{2}}, Y_{2}). В результате (s_{1}r_{1})–композиции этих представлений произойдет склеивание цикла X_{3} с циклом Y_{3} и склеивание X_{1} с циклом Y_{2}. В результате получим k–представление подстановки Z_{1}X_{2}Z_{2}Y_{4} … Y_{s} = A · B, где Z_{1} имеет длину k, а Z_{2} — длину ξ_{3}. Так как в этом представлении s_{2} ∈ supp(Z_{1}^{A}, X_{2}), то это представление соответствует типу ξ с выделенной парой (k, 2). Если же в ξ была выделена пара (2, k), то соответствующим k–представлением будет P_{ξ} = B · A^{B}.

Допустим, что ξ_{1} ≤ k − 2. Положим k_{1} = k − ξ_{1}. Ясно, что k_{1} четно и отлично от нуля. Рассмотрим тип ξ̃ = (ξ_{2}, ξ_{3}, … ξ_{s}), полученный из ξ удалением первой компоненты. Тогда ξ̃ имеет четную длину и является типом из A_{n}, где n = km−ξ_{1} > 2k_{1}. Если k_{1} ≥ 4, то по лемме 2 тип ξ̃ — k_{1}–разложим относительно некоторых подтипов μ̃ и ν̃. Следовательно, тип ξ — k–разложим относительно подтипов μ = (ξ_{1}, μ̃) и ν = (0, ν̃), причем, μ и ν удовлетворяют тому же условию из определения k–разложимого типа, что μ̃ и ν̃. Если ξ — k–разложим степени 0 относительно μ и ν, то построение k–представления соответствующего ξ очевидно. Предположим поэтому, что степень разложения ≥ 1. Так же как в доказательстве леммы 2, по подтипам μ и ν построим типы μ′ и ν′. Тогда имеет место один из следующих трех случаев:

1) μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−1}, μ_{2i}, μ_{2i+1}), ν′ = (ν_{2i}, ν_{2i+1}, ξ_{2i+2}, …, ξ_{s}), μ_{j} + ν_{j} = ξ_{j}, j = 2i, 2i + 1;

2) μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−1}, Δ_{2} − 1, 1), ν′ = (Δ_{1} − 1, 1, ξ_{2i+2}, …, ξ_{s}), где Δ_{1} и Δ_{2} четны, Δ_{2} ≥ 4, Δ_{1} = ξ_{2i} + 1 − Δ_{2} ≥ 2;

3) μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−1}, Δ_{2} − 1, 1), ν′ = (ξ_{2i} − Δ_{2}, 1, ξ_{2i+2}, …, ξ_{s}), где Δ_{2} = 2, ξ_{2i} − Δ_{2} ≥ 3.

Предположим, что реализуется случай 1) и выделим в типе μ′ пару (μ_{2i}, μ_{2i+1}), состоящую из компонент одинаковой четности, а также компоненты выделенные в ξ, если i > 1. Если же i = 1, то в μ′ выделим тройку (ξ_{1}, μ_{2i}, μ_{2i+1}). В обоих случаях, ввиду результатов � 2, для μ′ существует соответствующее k–представление P_{μ′} = A_{1} · B_{1}. В ν′ выделим пару (ν_{2i}, ν_{2i+1}). Учитывая, что ν′ имеет четную длину и компоненты выделенной пары одинаковой четности, по предположению индукции, заключаем, что для ν′ существует соответствующее k–представление P_{ν′} = A_{2} · B_{2}. При помощи подходящей Λ –композиции, склеивая циклы длины μ_{j} с циклами длины ν_{j}, получим k–представление соответствующее типу ξ.

Аналогично, для случая 2), выделим в μ′ компоненты выделенные в ξ, если i > 1, и выделим тройку (ξ_{1}, Δ_{2} − 1, 1) в противном случае. В ν′ выделим пару (Δ_{1} − 1, 1). Из тех же соображений, что и в случае 1), заключаем, что для μ′ и ν′ существуют соответствующие k–представления. Вычислим такую их Λ–композицию при которой происходит склеивание цикла длины Δ_{2} − 1 из первого представления с циклами длин Δ_{1} − 1 и 1 из второго представления. Получим искомое k–представление соответствующее типу ξ.

В случае 3) при i > 1, выделим в μ′ компоненты выделенные в ξ и пару компонент (Δ_{2} − 1, 1), а при i = 1 заметим, что ξ содержит либо единственную выделенную компоненту, либо выделенную пару (ξ_{1}, ξ_{2}). Действительно, если бы ξ содержала выделенную тройку, то ξ_{1} = 1 и так как i = 1, то для типа ξ граничной является первая пара и тогда Δ_{2} = k − 1 ≥ 4, а в случае 3) Δ_{2} = 1. Поэтому при i = 1 выделим в μ′ тройку (ξ_{1}, Δ_{2} − 1, 1), а в типе ν′ компоненту ξ_{2i} −Δ_{2}. Так же, как и выше, существование соответствующего k–представления для μ′ следует из результатов � 2, а для ν′ — из индуктивного предположения (учесть, что ν′ имеет четную длину, содержит единичную компоненту, а выделенная компонента нечетна и ≥ 3). Вычислив такую Λ–композицию этих представлений при которой происходит склеивание цикла длины ξ_{2i} − Δ_{2} из второго представления с циклами длины Δ_{2} − 1 и 1 из первого представления, получим k– представление соответствующее типу ξ.

До сих пор мы считали, что k_{1} = k − ξ_{1} ≥ 4. Пусть теперь k_{1} = 2. Тогда ξ_{1} = k − 2 ≥ 3, и, следовательно, тип ξ содержит не более двух выделенных компонент. Предположим, что ξ_{2} и ξ_{3} ≥ 2. Тогда тип ξ — k–разложим относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−3}) и ν = (0, ξ_{2} − 1, ξ_{3} − 1, ξ_{4}, …, ξ_{s}),

так как для них выполнено условие 2) определения k–разложимого типа. В μ′ = (ξ_{1}, 1, 1) выделим тройку (ξ_{1}, 1, 1), а в ν′ = (ξ_{2} − 1, ξ_{3} − 1, ξ_{4}, …, ξ_{s}) — пару (ξ_{2} − 1, ξ_{3} − 1) и найдем соответствующие k–представления, по которым, при помощи подходящей Λ–композиции, строится k–представление соответствующее типу ξ. Если же ξ_{2} = 1, то рассмотрим тип ξ̃ = (ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{3}, …, ξ_{s}), полученный из ξ перестановкой первых двух компонент. Выделим в ξ̃ тройку (ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{3}). Как было показано выше, тип ξ̃ — k–разложим и для него существует соответствующее k–представление Pξ̃ = A · B. Следовательно, тип ξ также k–разложим и либо представление A · B, либо представление B · (B^{−1}AB) является k–представлением соответствующим типу ξ. Если же ξ_{2} ≠ 1, но ξ_{3} = 1, то, переставив компоненты ξ_{1} и ξ_{3}, получим тип (ξ_{3}, ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{4}, ξ_{5}, …, ξ_{s}) по которому требуемое k–представление строится так же, как и в предыдущем случае.

Таким образом, мы полностью разобрали случай когда ξ имеет нечетную длину.

Предположим теперь, что ξ имеет четную длину. Не уменьшая общности, можно считать, что выделенные компоненты (если они существуют) являются первыми компонентами типа ξ, т. е., если в ξ выделена единственная нечетная компонента, то ей является ξ_{1}, а ξ_{2} = 1; если в ξ выделена пара компонент, то ей является пара (ξ_{1}, ξ_{2}). Остальные компоненты упорядочены так, что образуют начальный тип некоторой подстановки. Очевидно, что при таком упорядочении, каждая пара (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}), j = 1, 2, …, s/2, состоит из компонент одинаковой четности. Для ξ найдем граничную пару (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) и вычислим для нее Δ_{1} и Δ_{2}. Число Δ_{2} = k − ∑_{j=1}^{2i−2} ξ_{j} нечетно, а так как Δ_{1} + Δ_{2} = ξ_{2i−1} + ξ_{2i} — четно, то и Δ_{1} — нечетно. В зависимости от значений Δ_{1} и Δ_{2} рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Оба значения Δ_{1} и Δ_{2} больше 1. Тогда их сумма Δ_{1} + Δ_{2} = ξ_{2i−1} + ξ_{2i} ≥ 6. Мы можем считать, что ξ_{2i−1} ≥ ξ_{2i}. Предположим, что граничная пара (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) ≠ (4, 2) и представим граничную пару в виде суммы (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) = (μ_{2i−1}, μ_{2i}) + (ν_{2i−1}, ν_{2i}), где

ν_{2i−1} = \{ \begin{matrix}(Δ_{1} + x)/2 & при ξ_{2i} ⩾ 3, \\ Δ_{1} & в противном случае , \end{matrix}

ν_{2i} = \{ \begin{matrix}(Δ_{1} − x)/2 & при ξ_{2i} ⩾ 3, \\ 0 & в противном случае , \end{matrix}

μ_{j} = ξ_{j} − ν_{j}, j = 2i − 1, 2i, а x — минимальное нечетное число ≥ 1, для которого справедливы неравенства: μ_{2i} ≥ 2, ν_{2i} ≥ 1. Положим

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, μ_{2i−1}, μ_{2i}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i}), ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, ν_{2i−1}, ν_{2i}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}).

Заметим, что при ξ_{2i} ≥ 3 все компоненты μ_{j} и ν_{j} отличны от нуля и подтипы μ и ν удовлетворяют условию 4) определения k–разложимого типа. Следовательно, тип ξ является k–разложимым. Чтобы построить k–представление соответствующее типу ξ, выделим в типе μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, μ_{2i−1}, μ_{2i}−1, 1) тройку компонент (μ_{2i−1}, μ_{2i}−1, 1), а при i > 1, выделим компоненты выделенные в ξ. Для μ′ существует соответствующее k–представление P_{μ′} = A_{1} · B_{1}. В типе ν′ = (1, ν_{2i−1} − 1, ν_{2i}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}) выделим тройку (1, ν_{2i−1} − 1, ν_{2i}). Так как ν′ имеет нечетную длину и компоненты ν_{2i−1} − 1, ν_{2i} одинаковой четности, то, по предположению индукции, для него существует соответствующее k–представление P_{ν′} = A_{2} · B_{2}. При помощи Λ–композиции, построенной при доказательстве теоремы, легко построить k–представление соответствующее типу ξ.

Пусть теперь ξ_{2i} ≤ 2, т. е. (ν_{2i−1}, ν_{2i}) = (Δ_{1}, 0). Если при этом μ_{2i−1} ≥ 2, то подтипы μ и ν удовлетворяют условию 3) определения k–разложимого типа. Следовательно, тип ξ — k–разложим. В типе μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, 1, ξ_{2i−1} − Δ_{1} − 1, ξ_{2i}) при i > 1 выделим компоненты выделенные в ξ и, кроме того, пару (1, ξ_{2i−1} − Δ_{1} − 1), а при i = 1 выделим тройку (1, ξ_{2i−1} − Δ_{1} − 1, ξ_{2i}). Так как μ′ является типом из A_{k}, то в обоих случаях для него существует соответствующее k–представление. В типе ν′ = (Δ_{1}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}) выделим компоненту Δ_{1}, которая нечетна и ≥ 3. Так как длина ν′ нечетна, то, по индуктивному предположению, для ν′ существует соответствующее k–представление. Вычислим такую Λ–композицию этих представлений, чтобы цикл длины Δ_{1} из второго представления склеивался с циклами длины ξ_{2i−1} − Δ_{1} − 1 и 1 из первого представления. В результате получится k–представление соответствующее типу ξ. Если же μ_{2i−1} = 1, то компонента ξ_{2i−1} = μ_{2i−1} +ν_{2i−1} = Δ_{1} +1 четна и, следовательно, ξ_{2i} также четна и, как легко заметить, равна 2. Ясно, что в этом случае подтипы μ и ν удовлетворяют условию 5) (по предположению (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) ≠ (4, 2)). В типах μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, ξ_{2i−1} − 3, 1, 1) и ν′ = (1, 1, 1, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}) выделим соответственно тройку (1, ξ_{2i−1} − 3, 1) и (1, 1, 1) соответственно. Если же i > 1, то в μ′ выделим еще и компоненты выделенные в ξ. Ясно, что для μ′ и ν′ существуют соответствующие k–представления, а значит — соответствующее k–представление существует и для ξ.

Разберем теперь случай, когда граничная пара равна (4, 2). Так как мы считаем, что Δ_{1} ≥ 3 и Δ_{2} ≥ 3, то в этом случае Δ_{1} = Δ_{2} = 3. Следовательно, граничная пара не является ни первой, ни последней парой типа ξ и поэтому ни одна из ее компонент не может быть выделенной в ξ. Рассмотрим компоненты следующие за граничной парой. Допустим, что среди них найдется пара компонент одинаковой четности, отличная от пары (4, 2), сумма компонент которой ≥ 6. Поменяв местами эту пару c граничной парой, получим уже разобранный случай. Если же среди компонент, следующих за граничной парой, такой пары не существует, но существует компонента ξ_{j} = 4, то поменяв ее с компонентой ξ_{2i} = 2 граничной пары, опять получим разобранный случай. Таким образом, мы можем считать, что если среди компонент типа ξ, следующих за граничной парой, имеются нечетные, то только одна из них отлична от 1. Следовательно, некоторая ξ_{j} при j > 2i равна 1 (учесть, что нечетных компонент, следующих за граничной парой, четное число). Поместим ξ_{j} перед компонентами граничной пары. Полученный тип k–разложим степени 2 относительно подтипов

(ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, ξ_{j}, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−(2i−1)}) и (\underbrace{0, …, 0}_{2i−1}, ξ_{2i−1} − 1, ξ_{2i} − 1, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}),

которые, как легко заметить, удовлетворяют условию 2) определения k–разложимого типа. По этим подтипам построим типы μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, ξ_{j}, 1, 1) и ν′ = (ξ_{2i−1} − 1, ξ_{2i} − 1, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}), и выделим в μ′ компоненты выделенные в ξ и, кроме того, пару (1, 1), а в ν′ — пару (ξ_{2i−1} − 1, ξ_{2i} − 1). Очевидно, что для этих типов существуют соответствующие k– представления. Следовательно, соответствующее k–представление существует и для ξ. Пусть, наконец, все компоненты, следующие за граничной парой, равны 2. Тогда для подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, 3, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i+1}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, 1, \underbrace{2, …, 2}_{s−2i+1})

выполнено условие 6). Следовательно, относительно этих подтипов ξ — k–разложим. Построим по ним типы

μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, 1, 1, 1) и ν′ = (1, 1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{s−2i})

и выделим в μ′ пару (ξ_{1}, ξ_{2}) или компоненту ξ_{1} (в зависимости от того, какие компоненты были выделены в ξ) и, кроме того, тройку (1, 1, 1), а во втором типе — пары (1, 1) и (2, 1). Тогда для μ′ существование соответствующего k–представления следует из � 2, а для ν′ — из леммы 3. Найдем Λ–композицию этих представлений, построенную в доказательстве теоремы, — получим k–представление соответствующее типу ξ. Таким образом, случай 1 полностью разобран.

Случай 2. Значение Δ_{2} равно 1. Ясно, что в этом случае граничная пара (ξ_{2i−1}, ξ_{2i}) не может быть первой парой типа ξ. Если среди компонент ξ_{2i−1}, ξ_{2i}, …, ξ_{s} найдется единичная, то переставив ее с компонентой ξ_{2i−1}, получим тип, являющийся k–разложимым степени 0. Следовательно тип ξ также k–разложим и построение k–представления соответствующего типу ξ очевидно. Поэтому, далее мы можем считать, что все компоненты граничной пары и следующие за ней отличны от 1.

Предположим, что среди компонент ξ_{2i−1}, ξ_{2i}, …, ξ_{s} найдется компонента ≥ 3. Переставив ее с ξ_{2i−1}, будем считать, что ξ_{2i−1} ≥ 3. Кроме того, предположим, что среди компонент предшествующих граничной паре, найдется пара (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}) ближайшая к граничной паре и такая, что либо обе ее компоненты выделены, либо обе не выделены и одна из компонент ≥ 2 (используя, если надо, перестановку компонент, будем считать, что ξ_{2j} ≥ 2; либо в этой паре одна из компонент выделена и ≥ 4, а вторая равна 1 (будем считать, что ξ_{2j−1} = 1, ξ_{2j} ≥ 4). Используя, если надо, перестановку пар в типе ξ, будем считать, что (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}) = (ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2}), т. е. является парой предшествующей граничной. Тогда тип ξ — k–разложим степени 2 относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2} − 1, 2, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i+1}) и ν(\underbrace{0, …, 0}_{2i−3}, 1, ξ_{2i−1} − 2, ξ_{2i}, …, ξ_{s})

для которых выполнено условие 2) определения k–разложимого типа. В типах μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2} − 1, 2), ν′ = (1, ξ_{2i−1} − 2, ξ_{2i}, …, ξ_{s}) выделим соответственно пары компонент (ξ_{2i−2} − 1, 2) и (1, ξ_{2i−1} − 2), а в μ′ еще и компоненты выделенные в ξ, если пара (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}) не была выделенной. Если же пара (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}) была выделена в ξ, то в μ′ выделим тройку (ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2} − 1, 2). Для типа μ′ существование соответствующего k–представления следует из � 2. Для типа ν′ из индуктивного предположения следует существование соответствующего k–представления даже в том случае, если в ν′ выделена тройка (1, ξ_{2i−1} − 2, ξ_{2i}), тем более соответствующее k–представление существует в нашем случае. По построенным k– представлениям для μ′ и ν′ уже легко построить k–представление соответствующее типу ξ.

Допустим теперь, что среди компонент, предшествующих граничной паре, лишь пара (ξ_{1}, ξ_{2}) = (3, 1) содержит неединичную компоненту и при этом ξ_{1} — единственная выделенная компонента типа ξ. Поместим компоненту ξ_{2} = 1 на последнее место в ξ. Получим тип ξ̃ = (3, ξ_{3}, …, ξ_{s}, ξ_{2}), который k–разложим степени 2 относительно подтипов

(3, ξ_{3}, ξ_{4}, …, ξ_{2i−2}, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i+1}) и (\underbrace{0, …, 0}_{2i−3}, ξ_{2i−1} − 1, ξ_{2i} − 1, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}, ξ_{2}),

для которых выполнено условие 2) определения k–разложимого типа. Следовательно, тип ξ также k–разложим. В типах μ′ = (3, ξ_{3}, ξ_{4}, …, ξ_{2i−2}, 1, 1), ν′ = (ξ_{2i−1} − 1, ξ_{2i} − 1, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}, ξ_{2}) выделим соответственно пару (1, 1) и тройку (ξ_{2}, ξ_{2i−1}−1, ξ_{2i}−1). Так как для них существуют соответствующие k–представления, то соответствующее k–представление существует и для ξ.

Пусть теперь все компоненты ξ_{2i−1}, ξ_{2i}, …, ξ_{s} равны 2. Очевидно, что тогда за граничной парой следует пара (2, 2). Учитывая, что ξ — неинволютивный тип, найдем пару (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}), предшествующую граничной, у которой хотя бы одна из компонент ≥ 3. Не уменьшая общности, будем считать, что этой парой является (ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2}), т. е. пара предшествующая граничной, и у нее ξ_{2i−2} ≥ 3. Если компонента ξ_{2i−2} не является единственной выделенной компонентой типа ξ, или же ξ_{2i−2} ≥ 5, то ξ — k–разложим степени 4 относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2} − 2, 1, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i−1}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−3}, 2, 1, 1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{s−2i−1}).

Если в ξ пара (ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2}) не была выделенной, то в μ′ выделим те же компоненты, что были выделены в ξ и, кроме того, выделим пару (ξ_{2i−2} − 2, 1) и пару (1, 1). Если же в ξ пара (ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2}) была выделена, то в μ′ выделим тройку (ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2} − 2, 1) и пару (1, 1). Из результатов � 2 следует существование k–представления соответствующего типу μ′. В типе ν′ = (2, 1, 1, 1, \underbrace{2, …, 2}_{s−2i−1} выделим пары (2, 1), (1, 1). Ввиду леммы 3 для него существует соответ-

ствующее k–представление. Используя подходящую Λ–композицию, по этим представлениям построим k–представление соответствующее типу ξ. Если же в паре (ξ_{2i−3}, ξ_{2i−2}) компонента ξ_{2i−2} равна 3 и является единственной выделенной компонентой типа ξ, то ξ_{2i−3} = 1 и перенося ξ_{2i−3} на последнее место в типе ξ, получим уже разобранный случай.

Нам осталось разобрать

Случай 3. Значение Δ_{1} = 1. Если при этом и Δ_{2} = 1, то обе компоненты граничной пары равны 1 и, следовательно, ξ — k–разложим степени 0 относительно подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, ξ_{2i−1}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i+1}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−1}, ξ_{2i}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s}).

Учитывая, что граничная пара, в нашем случае, не может быть первой парой типа ξ и поэтому не содержит выделенных компонент, легко построить k–представление соответствующее типу ξ.

Поэтому, ввиду того, что Δ_{2} нечетно, мы можем считать, что Δ_{2} ≥ 3 и сумма компонент граничной пары ≥ 4.

Допустим, что компонента ξ_{2i} = 1 и, при этом, граничная пара не является выделенной парой типа ξ. Тогда, как и в предыдущем случае, ξ — k–разложим степени 0 относительно

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−1}, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i+1}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−1}, ξ_{2i}, ξ_{2i+1}, …, ξ_{s})

и построение k–представления соответствующего типу ξ очевидно. Если же граничная пара типа ξ выделена, то она является первой парой и равна (k, 1). Предположим, что ξ_{3} четна. Тогда для подтипов

μ = (k − 2, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−3}) и ν = (2, 0, ξ_{3} − 1, ξ_{4}, …, ξ_{s})

выполнено условие 2) определения k–разложимого типа. Следовательно, ξ — k–разложим. Выделим в типе μ′ = (k − 2, 1, 1) тройку (1, k − 2, 1), а в типе ν′ = (ξ_{3} − 1, 2, ξ_{4}, …, ξ_{s}) пару (ξ_{3} − 1, 2). Для μ′ существование соответствующего k–представления следует из � 1, а для ν′ из предположения индукции (учесть, что ν′ имеет нечетную длину и ξ_{3} − 1 нечетно). Подходящая Λ–композиция дает требуемое k– представление. Предположим теперь, что ξ_{3} нечетно и ≥ 3. Тогда тип ξ — k–разложим степени 2 относительно

μ = (k − 3, 1, 2, \underbrace{0, …, 0}_{s−3}) и ν = (3, 0, ξ_{3} − 2, ξ_{4}, …, ξ_{s}),

так как для них опять выполнено условие 2). В типе μ′ = (k − 3, 1, 2) выделим тройку (2, k − 3, 1) и найдем соответствующее k–представление. В типе ν′ = (3, ξ_{3} − 2, ξ_{4}, …, ξ_{s}) выделим пару (3, ξ_{3} − 2). Из тех же соображений, что и выше, заключаем, что для ν′ существует соответствующее k–представление P_{ν′} = A_{2} · B_{2}. Рассмотрим k–представление P_{ν′} = B_{2} · (B_{2}^{−1}A_{2}B_{2}) являющееся k–представлением соответствующим типу ν′ в котором выделена пара (ξ_{3} − 2, 3). Подходящая Λ– композиция этого представления с k–представлением соответствующим типу μ′ дает k–представление соответствующее типу ξ. Пусть, наконец, ξ_{3} = 1 и пара (ξ_{1}, ξ_{2}) = (k, 1) по–прежнему является выделенной парой типа ξ. Тогда для

μ = (k − 2, 1, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−3}) и ν = (2, 0, 0, ξ_{4}, ξ_{5}, …, ξ_{s})

выполнено условие 3) определения k–разложимого типа. Построим по ним типы μ′ = (k − 2, 1, 1) и ν′ = (1, 1, ξ_{4}, …, ξ_{s}) и выделим пару (k − 2, 1) и пару (1, 1) соответственно. Для этих типов существуют соответствующие k–представления. Для типа μ′ это следует из � 2, а для типа ν′ — из предположения индукции (учесть, что если в ν′ выделена тройка (1, 1, ξ_{j}), где ξ_{j} нечетно и для ν′ существует соответствующее k–представление, то тем более, для ν′ существует соответствующее k–представление если в нем выделена пара (1, 1). Следовательно, соответствующее k–представление существует и для ξ.

Таким образом, мы можем считать, что обе компоненты граничной пары отличны от 1. Предположим, что некоторая компонента ξ_{j}, следующая за граничной парой, равна 1. Тогда для подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, ξ_{2i−1} − 1, ξ_{2i} − 1, \underbrace{0, …, 0, ξ_{j}, 0, …, 0}_{s−2i})

и

ν = (\underbrace{0, …, 0}_{s−2i}, 1, 1, ξ_{2i+1}, …, ξ_{j−1}, 0, ξ_{j+1}, …, ξ_{s})

выполнено условие 2) определения k–разложимого типа. В типах μ′ и ν′, полученных из μ и ν удалением нулевых компонент, выделим соответственно пары (ξ_{2i−1} − 1, ξ_{2i} − 1) и (1, 1), а в μ′ еще и компоненты выделенные в ξ. Так как для них существуют соответствующие k–представления, то требуемое представление существует и для ξ.

Предположим теперь, что все компоненты ξ_{2i−1}, …, ξ_{s} отличны от 1, а ξ_{2i−1} ≥ 3. Тогда граничная пара не может содержать одну выделенную компоненту типа ξ. Так как для подтипов

μ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−1} − 2, ξ_{2i}, 1, \underbrace{0, …, 0}_{s−2i−1}) и ν = (\underbrace{0, …, 0}_{2i−2}, 2, 0, ξ_{2i+1} − 1, ξ_{2i+2}, …, ξ_{s})

выполнено условие 2) определения k–разложимого типа, то относительно этих подтипов тип ξ — k–разложим. Выделим в μ′ = (ξ_{1}, …, ξ_{2i−2}, ξ_{2i−1} − 2, ξ_{2i}, 1) при i > 1 компоненты выделенные в ξ и пару компонент (1, ξ_{2i−1} − 2), а при i = 1, – тройку (1, ξ_{2i−1} − 2, ξ_{2i}). Так как тип ν′ = (2, ξ_{2i+1} − 1, ξ_{2i+2}, …, ξ_{s}) является четным и имеет нечетную длину, то он содержит нечетные компоненты. Будем считать, что компонента ξ_{2i+1} − 1 нечетна. Выделим в ν′ пару (ξ_{2i+1} − 1, 2). Так как для μ′ и ν′ существуют соответствующие k–представления, то соответствующее k–представление существует и для ξ. Пусть теперь обе компоненты граничной пары равны 2. Если среди компонент предшествующих граничной паре, найдется некоторая пара (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}) у которой ξ_{2j−1} ≥ 3, то поменяв ее с граничной парой, получим уже разобранный случай. Поэтому мы можем считать, что все компоненты, предшествующие граничной паре, не превосходят 2. Если при этом среди компонент, следующих за граничной парой, найдется пара (ξ_{2j−1}, ξ_{2j}), сумма компонент которой ≥ 6, то переставив эту пару с граничной парой, получим некоторый тип ξ̃ для которого значение Δ_{1} ≥ 3, а этот случай уже был разобран ранее. Если же все компоненты ξ_{2i−1}, ξ_{2i}, …, ξ_{s} равна 2, то ξ является инволютивным типом, что противоречит предположению леммы 4, а потому этот случай невозможен. Таким образом, доказательство леммы 4, а вместе с ним и доказательство теоремы закончено.

Список литературы

[1] Moran G. Reflection classes whose cubes cover the alternating group, J. Comb. Theory, A21, � 1 (1976), 1–19.

[2] Baginski C. On sets of elements of the same order in the alternating group A_{n}, Publ. Math., 34, � 3–4 (1987), 313–315.

[3] Brenner J. L. and Evans R. J. Even permutations as a product of two elements of order five, J. Comb. Theory, A45, � 2 (1987), 196–206.

[4] Brenner J. L. and Riddell J. Covering theorems for finite nonabelian simple groups VII, Asymptotics in the alternating groups, Ars. Combin., 1 (1976), 77–108.

[5] Bertram E. Even permutations as a product of two conjugate cycles, J. Comb. Theory, A12, (1972), 368–380.

[6] Brenner J. L. and Riddell J. Noncanonical factorization of a permutation, Amer. Math. Monthly, 84 (1977), 39–40.

[7] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, 3–е изд., М., Наука, 1982.