Тема. Свободные подгруппы линейных групп.

Хорошо известно [1, с. 133], что если m — целое число ≥ 2, то подгруппа, порожденная в SL_{2}(ℤ) трансвекциями

t_{12}(m) = ( \begin{matrix}1 & m \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , t_{21}(m) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ m & 1 \end{matrix} )

порождается ими свободно. Хумпрайз [2] нашел условия при которых n трансвекций из SL_{n}(ℤ), n ≥ 3, порождают свободную группу ранга n. Несмотря на множество результатов, касающихся свободных подгрупп линейных групп, до сих пор остается открытым следующий вопрос Басса

Вопрос ([3, вопрос 24]). Существует ли эффективный алгоритм, позволяющий по двум элементам из GL_{n}(ℤ) проверить: порождают ли они свободную подгруппу?

Возможные подходы. По–видимому, нетрудно получить эффективный алгоритм в случае n = 2. Дело в том, что GL_{2}(ℤ) является свободным произведением с объединением, и в этом случае работают методы комбинаторнй теории групп.

В случае n ≥ 3 исследования можно начать с такого вопроса. Пусть A и B соответственно верхняя и нижняя унитреугольные матрицы из SL_{n}(ℤ). При каких условиях порожденная ими подгруппа свободна?

Проба сил. В качестве упражнения попробуйте доказать, что трансвекции t_{12}(2) и t_{21}(2) порождают свободную подгруппу группы SL_{2}(ℤ).

Литература. 1) Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, 4–е изд., М., Наука, 1996.

2) Humphries S. P. Free subgroupы of SL_{n}(ℤ), n > 2, generated by transvections, J. Algebra, 116, � 1 (1988), 155–162.

3) Groups ’93 Galway/StAndrews, London Math. Soc. Lecture Note Series, 212, Vol. 2. Научный руководитель. Валерий Георгиевич Бардаков, кандидат физико–матема-

тических наук, старший научный сотрудник Института математики СО РАН (комн. 269). Основные научные интересы: теория групп, теория узлов, обратные задачи математической физики. Тел.: 33–24–86. E-mail: bardakov@math.nsc.ru