Тема. Свойства представления Лоуренс–Крамера группы кос.

Группа кос B_{n} является одной из самых интересных и интенсивно изучаемых групп. Она активно используется в теории узлов, теории кодирования, теоретической физики и других областях науки. Сравнительно недавно (2000–2001) была решена знаменитая проблема Бурау о линейности группы кос, стоявшая более 60 лет.

Напомним, что всякий гомоморфизм ρ : G ⟶ GL_{n}(K) группы G в общую линейную группу GL_{n}(K) над полем K называется линейным представлением. Если ядро Ker(ρ) тривиально, то представление ρ называется точным. Группа, обладающая точным линейным представлением называется линейной.

Лоуренс [1] построила серию линейных представлений группы кос B_{n}. Позднее Крамер

[2] и Бигелоу [3] доказали, что одно из этих представлений:

ρ : B_{n} ⟶ GL_{n(n−1)/2}(ℤ[t^{±1}, q^{±1}])

является точным.

Свойства этого представления мало изучены. В недавно появившемся обзоре по косам Дж. Бирман сформулировала следующие проблемы.

Проблема 1. Исследовать собственные значения и следы матриц из образа ρ(B_{n}).

Проблема 2. Найти алгоритм, позволяющий по матрице из GL_{n(n−1)/2}(ℤ[t^{±1}, q^{±1}]) проверить: лежит ли она в образе ρ(B_{n}) представления Лоуренс–Крамера.

Известно, что в группе кос разрешима проблема сопряженности. Первое решение этой проблемы дал Гарсайд [4].

Проблема 3. Интерпретировать решение проблемы сопряженности, данное Гарсайдом в терминах представления Лоуренс–Крамера.

Проба сил. Исследовать группу B_{3}.

Литература. 1) Lawrence R. J. Homological representation of the Hecke Algebra, Commun. Math. Phys., 135, � 1 (1990), 141-191.

2) Krammer D. Braid groups are linear, Annals of Math., 155, � 1 (2002), 131-156.

3) Bigelow S. Braid groups are linear, J. Amer. Math. Soc., 14, � 2 (2001), 471-486.

4) Garside F. A. The braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford Ser., 20, (1969), 235–254.

Научный руководитель. Валерий Георгиевич Бардаков, кандидат физико–математических наук, старший научный сотрудник Института математики СО РАН (комн. 269). Основные научные интересы: теория групп, теория узлов, обратные задачи математической физики. Тел.: 33–24–86. E-mail: bardakov@math.nsc.ru