Тема. Представление элементов знакопеременной группы в виде коммутаторов.

В работе Альперина и Денниса введено следующее определение. Говорят, что группа G удовлетворяет свойству C_{m}, m ∈ ℕ, если для любых m элементов x_{1}, x_{2}, …, x_{m} из G существуют элементы z, y_{1}, y_{2}, …, y_{m} ∈ G такие, что x_{i} = [z, y_{i}] = z^{−1}y_{i}^{−1}zy_{i}, i = 1, 2, …, m. В частности, группа G удовлетворяет условию C_{1}, если всякий элемент из G является коммутатором.

Ито [1] доказал, что знакопеременная группа A_{n}(n ≥ 5) удовлетворяет условию C_{1}. Кроме того, известно, что при 5 ≤ n ≤ 10 группа A_{n} также удовлетворяет условию C_{2}. С другой, стороны, A_{5} не удовлетворяет условию C_{3}. В связи с этими результатами, Деннис сформулировал

Вопрос ([2, вопрос 14]). 1) Верно ли, что A_{n}(n ≥ 5) удовлетворяет условию C_{2}?

2) Существует ли функция f(m) : ℕ ⟶ ℕ такая, что A_{n} удовлетворяет условию C_{m} при всех n ≥ f(m)?

Возможные подходы. Легко заметить, что [z, y] = z^{−1}z^{y}, где z^{y} = y^{−1}zy. Так как элементы z^{−1} и z^{y} имеют одинаковое циклическое строение, то проблема сводится к описанию элементов, представимых в виде произведения двух элементов определенного вида. Эта проблема исследовалась в работах [3–7].

Проба сил. Покажите, что группы A_{3} и A_{4} не удовлетворяют условию C_{1}. Покажите, что A_{5} удовлетворяет условию C_{2}, но не удовлетворяет условию C_{3}. Удовлетворяет ли A_{6} условию C_{3}?

Литература. 1) Ito N. A. A theorem of alternating group A_{n}(n ≥ 5), Math. Japon., 2, � 2 (1951), 59–60.

2) Groups ’93 Galway/StAndrews, London Math. Soc. Lecture Note Series, 212, Vol. 2, P. 605, Problem 14.

3) Baginski C. On sets of elements of the same order in the alternating group A_{n}, Publ. Math., 34, � 3–4 (1987), 313–315.

4) Bertram E. Even permutations as a product of two conjugate cycles, J. Comb. Theory., A12, � 4 (1972), 368–380.

5) Brenner J. L. and Evans R. J. Even permutations as a product of two elements of order five, J. Comb. Theory, A25, � 2 (1987), 196–206.

6) Бардаков В. Г. Разложение чётных подстановок на два множителя заданного циклового строения, Дискр. матем., 5, � 1 (1993), 70–90.

7) Бардаков В. Г. Четные подстановки, не представимые в виде произведения двух подстановок заданного порядка, Матем. заметки, 62, � 2 (1997), 169–177.

Научный руководитель. Валерий Георгиевич Бардаков, кандидат физико–математических наук, старший научный сотрудник Института математики СО РАН (комн. 269). Основные научные интересы: теория групп, теория узлов, обратные задачи математической физики. Тел.: 33–24–86. E-mail: bardakov@math.nsc.ru