Подходы к сравнению критериев

Next: Построение оптимальных критериев Up: Проверка гипотез Previous: Две простые гипотезы

7.2. Подходы к сравнению критериев

Ограничимся, для простоты, задачей проверки двух простых гипотез. Пусть имеются критерии $\delta$ и $\rho$ с вероятностями ошибок первого и второго рода $\alpha_1(\delta)$ , $\alpha_2(\delta)$ и $\alpha_1(\rho)$ , $\alpha_2(\rho)$ .

Перечислим общепринятые подходы к сравнению критериев.

1. Минимаксный подход.

Говорят, что критерий $\delta$ не хуже критерия $\rho$ в смысле минимаксного подхода, если

$\begin{displaymath} \max\{\alpha_1(\delta),\alpha_2(\delta)\}\leqslant \max\{\alpha_1(\rho),\alpha_2(\rho)\}.\end{displaymath}$

Определение 23.

Критерий $\delta$ называют минимаксным критерием, если он не хуже всех других критериев в смысле минимаксного подхода.

Иначе говоря, минимаксный критерий имеет самую маленькую «наибольшую ошибку» $\max\{\alpha_1(\delta),\alpha_2(\delta)\}$ среди всех прочих критериев.

Упражнение. Убедиться, что в примере 30 критерий $\delta$ является минимаксным, если

2. Байесовский подход.

Этот подход применяют в двух случаях:

а) если известно априори, что с вероятностью справедлива гипотеза , а с вероятностью — гипотеза ,

б) если задана линейная «функция потерь»: потери от ошибочного решения равны , если происходит ошибка первого рода, и равны , если второго. Здесь уже не обязательно равно 1, но потери можно свести к единице нормировкой и .

Пусть априорные вероятности или потери и заданы. Говорят, что критерий $\delta$ не хуже критерия $\rho$ в смысле байесовского подхода, если

$\begin{displaymath} r\alpha_1(\delta)+s\alpha_2(\delta)\leqslant r\alpha_1(\rho)+s\alpha_2(\rho).\end{displaymath}$

Определение 24.

Критерий $\delta$ называют байесовским критерием, если он не хуже всех других критериев в смысле байесовского подхода.

Иначе говоря, байесовский критерий имеет самую маленькую «средневзвешенную ошибку» $r\alpha_1(\delta)+s\alpha_2(\delta)$ среди всех прочих критериев. По формуле полной вероятности это есть вероятность ошибки критерия в случае (а) или математическое ожидание потерь в случае (б).

Упражнение. Убедиться, что в примере 30 критерий $\delta$ является байесовским в случае

, если взять

3. Выбор наиболее мощного критерия.

Ошибки первого и второго рода обычно неравноправны. Поэтому возникает желание контролировать одну из ошибок (скажем, первого рода). Например, зафиксировать ее вероятность на достаточно низком (безопасном) уровне, и рассматривать только критерии с такой или еще меньшей вероятностью ошибки первого рода. Среди них наилучшим, очевидно, следует признать критерий, обладающий наименьшей вероятностью ошибки второго рода.

Введем при $\varepsilon\in [0,1]$ класс критериев $K_{\varepsilon}=\{\delta({\mathbf X}): \alpha_1(\delta)\leqslant \varepsilon\}$ .

Определение 25.

Критерий $\delta_0\in K_{\varepsilon}$ называют наиболее мощным критерием (НМК) размера $\varepsilon$ , если

$\begin{displaymath} \alpha_2(\delta_0)\leqslant\alpha_2(\delta)\end{displaymath}$

для любого другого критерия $\delta\in K_{\varepsilon}$ .

N.I.Chernova 9 сентября 2002