Общая модель линейной регрессии

Next: Нормальное уравнение Up: Исследование статистической зависимости Previous: Примеры

9.5. Общая модель линейной регрессии

Введем два вектора: ${\mathbf Z}=(Z_1,\ldots,Z_k)$ — факторы регрессии и $\text{\boldmath\ensuremath \beta}=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$ -- неизвестные параметры регрессии. Каждый вектор есть вектор-столбец, а изображен по горизонтали для удобства. Обозначать вектора мы, как и ранее, будем жирным шрифтом.

Рассматривается модель регрессии, которая в курсе «Эконометрика» называется простой (линейной) регрессией:

$\begin{displaymath} {\mathsf E}\,(X~\lvert~{\mathbf Z}={\mathbf t})=f({\mathbf t... ...~{\mathbf Z})=f({\mathbf Z})=\beta_1\,Z_1+\ldots+\beta_k\,Z_k. \end{displaymath}$

Пусть в -м эксперименте факторы регрессии принимают заранее заданные значения ${\mathbf Z}^{(i)}=(Z_1^{(i)},\ldots,Z_k^{(i)})$ , где $i=1, \ldots, n$ .

После $n\,{\geqslant}\,k$ экспериментов получен набор откликов ${\mathbf X}=(X_1, \ldots, X_n)$ , где

$\begin{displaymath} \begin{cases} X_1=\beta_1\,Z_1^{(1)}+\ldots+\beta_k\,Z_k^{(... ...,Z_1^{(n)}+\ldots+\beta_k\,Z_k^{(n)}+\varepsilon_n, \end{cases}\end{displaymath}$

или, в матричной форме, ${\mathbf X}=Z^T \text{\boldmath\ensuremath \beta} + \text{\boldmath\ensuremath \varepsilon}$ , где матрица $Z(k\times n)$ (матрица плана) равна

$\begin{displaymath} Z=\left(\begin{array} {ccc} Z_1^{(1)} & \ldots & Z_1^{(n)} \... ...d{array}\right) = ({\mathbf Z}^{(1)} \ldots {\mathbf Z}^{(n)}).\end{displaymath}$

Вектор $\text{\boldmath\ensuremath \varepsilon}=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ состоит из случайных ошибок в данных экспериментах.

Требуется по данным матрице плана и вектору результатов ${\mathbf X}$ найти оценки для параметров регрессии $\text{\boldmath\ensuremath \beta}$ и параметров распределения вектора ошибок $\text{\boldmath\ensuremath \varepsilon}$ .

N.I.Chernova 9 сентября 2002