Вопросы и упражнения

Можно ли по эмпирической функции распределения, приведенной на рис. 1, восстановить выборку $X_1, \ldots, X_n$ , если

известно? А вариационный ряд? Как это сделать? А если

неизвестно?

Существует ли выборка $(X_1, \ldots, X_6)$ объема 6 с нарисованной ниже эмпирической функцией распределения? А выборка $(X_1, \ldots, X_{12})$ объема 12? Если «да», то записать ее и нарисовать эмпирическую функцию распределения выборки $(2X_1, \ldots, 2X_{12})$ .

$\begin{figure} \linethickness {0.4pt} \begin{center} \begin{picture} (100.00,... ...5.00}} \put(10.00,4.30){\line(-1,0){10.00}}\end{picture}\end{center}\end{figure}$

Можно ли по гистограмме, приведенной на рис. 2, восстановить выборку $X_1, \ldots, X_n$ ?

Нарисовать эмпирическую функцию распределения, соответствующую выборке объема

из распределения Бернулли ${\rm B}_p$ . Использовать выборочное среднее $\overline X$ . Доказать непосредственно, что выполнена теорема Гливенко — Кантелли:

$\begin{displaymath} \sup_{y\in{\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}}\bigl\lvert F_... ... \over \longrightarrow 0 \quad \textrm{ при } \quad n\to\infty.\end{displaymath}$

Вспомнить, как найти по функции распределения величины

функцию распределения первой и последней порядковой статистики: $X_{(1)}=\min\{X_1, \ldots, X_n\}$ , $X_{(n)}=\max\{X_1, \ldots, X_n\}$ . Выписать выражения для плотности этих порядковых статистик через функцию распределения и плотность величины

Доказать (или вспомнить), что функция распределения

-й порядковой статистики $X_{(k)}$ имеет вид:

$\begin{displaymath} {\mathsf P}\,(X_{(k)}<y)={\mathsf P}\,(\textrm{хотя бы $k$\s... ...ементов выборки }< y) =\sum_{i=k}^n C_n^i F(y)^i(1-F(y))^{n-i},\end{displaymath}$

где — функция распределения величины .

Из курса «Эконометрика»: доказать, что среднее степенное

$\begin{displaymath} {\left(\overline{X^k}\right)}^{\frac{1}{k}}= \sqrt[k]{ \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k\right) }\end{displaymath}$

а) стремится к $X_{(1)}$ при $k\to -\infty$ ;

б) стремится к $X_{(n)}$ при $k\to +\infty$ .

Имеется в виду сходимость для любого набора чисел $X_1, \ldots, X_n$ , такого, что среднее степенное определено, т.е. сходимость п.н.

Указание. Вынести $X_{(1)}$ (или $X_{(n)}$ ) из-под корня, воспользоваться леммой о двух милиционерах и свойствами: $\sqrt[k]{k}\to 1$ при $k\to +\infty$ , $\sqrt[k]{1}\to 1$ при $k\to +\infty$ , и т.д.

В условиях предыдущей задачи доказать, что последовательность

$\begin{displaymath} \sqrt[k]{{\mathsf E}\,(\xi^*)^k}=\sqrt[k]{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k\right)}, \quad k=1,2,3,\ldots\end{displaymath}$

не убывает по .

Указание. Воспользоваться неравенством Йенсена.

N.I.Chernova 9 сентября 2002

1.7. Вопросы и упражнения