Общая цель мини-курса - познакомить слушателей с некоторыми понятиями и методами теории стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Во-первых, СДУ являются одним из главных примеров и способов построения непрерывных марковских процессов в непрерывном времени. Во-вторых, они исключительно важны для теории уравнений в частных производных (в основном, эллиптических и параболических), и многие важные результаты этой теории были на самом деле впервые получены методами стохастического анализа. (Но и обратное влияние УРЧП на теорию стохастических дифференциальных уравнений также исключительно важно.) Наконец, на них основаны многочисленные примеры стохастических систем в приложениях к физике, биологии, и др.
В декабре 2015 г. лектор прочел в НГУ вводный мини-курс по стохастическому интегрированию и основам СДУ. Предположительно, некоторая часть нынешних слушателей его прослушала. Однако, лектор не предполагает, что слушали все, кто окажется в сегодняшней аудитории. Поэтому необходимая для дальнейшего часть материала из лекций 2015 г. будет вкратце повторена (повторение — мать учения!), и, во всяком случае, обязательно будет и некоторый новый материал. В частности, предполагается объяснить почему же решения СДУ оказываются марковскими процессами.

Типичными вопросами в анализе крупных сложных сетей являются: насколько велика сеть по числу узлов и ребер? какие узлы являются наиболее важными / центральными? следует ли распределение степеней вершин степенному закону? если да, то каков показатель степенного закона? как быстро оценить коэффициент кластеризации? как обнаружить быстро основные кластеры / сообщества в сети? На все эти вопросы можно ответить с использованием методов теории случайных блужданий на графах. В частности, с помощью этой теории мы можем разработать алгоритмы с линейной или даже сублинейного сложностью. Такая эффективность необходима, если нам нужно иметь дело с сетями, состоящими из миллиардов узлов и ребер. Во вводной лекции я сделаю ряд общих замечаний об алгоритмах анализа сети, основанных на случайных блужданиях. Затем в первой основной лекции я рассмотрю методы для выборки сети, основанные на случайных блужданий, а во второй основной лекции -- методы сетевой кластеризации, основанные на случайных блужданиях.
Вводный доклад будет сделан на английском языке, вопросы можно задавать как на русском, так и на английском. Две основные лекции я попытаюсь прочесть на русском языке.

В этом коротком курсе лекций будет обсужден ряд сравнительно новых результатов, касающихся асимптотического поведения длины максимального пути в одном классе направленных ациклических графов. Во вводной лекции я расскажу о простейшей модели ациклического направленного графа и ее обобщениях, а также о связях рассматриваемых задач с некоторыми задачами computer science, теории очередей, биологии, теории перволяции и др. В первой основной лекции я покажу, что поведение максимальной длины пути в простейшей модели (ациклическом направленном графе Барака-Эрдёша) то же, что и в определенной урновой модели с бесконечным чистом урн; изучу ряд свойств последней, включая свойства регенерации; сформулирую ряд основных результатов и прокомментирую идеи их доказательств. Во второй основной лекции и рассмотрю более общие классы направленных ациклических графов, в том числе графы с различными вероятностями появления ребер, с ребрами случайной длины, с ребрами нескольких типов. В частности, я покажу, что асимптотические свойства максимальной длины пути существенно различны для распределений длин ребер с тяжелыми и тонкими хвостами.
Список публикаций и файлы ряда статей, связанных с этим курсом, выложены на страничке. В частности, там представлены и файлы 4-х статей, написанных лектором в соавторстве с T. Konstantopoulos, S. Zachary, Д. Денисовым, J. Martin и Ph. Schmidt.