Веретенников Александр Юрьевич и Дарья Лукьянова
Курс “Стохастические дифференциальные уравнения” состоит из пяти лекций и представляет собой современное введение в данную тематику. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - это дифференциальное уравнение, в котором один или несколько членов являются случайными процессами, что приводит к решению, которое также является стлучайным процессом. СДУ используются для моделирования различных явлений, таких как цены на акции или различные физические системы. Как правило, СДУ содержат переменную, которая представляет собой случайный белый шум, рассчитываемый как “производная” винеровского процесса. Однако возможны и другие типы случайного поведения, например, скачкообразные процессы.
Мы рассмотрим следующие темы:
- Винеровский процесс и его свойства. Стохастический интеграл Ито, его свойства. Мартингалы, суб и супермартингалы; простейшие (суб)мартингальные неравенства.
- Формула Ито. Стохастические экспоненты и теорема Гирсанова.
- Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). Слабые и сильные решения.
- Связь СДУ с уравнениями в частных производных. Марковское свойство решений СДУ.
- СДУ со скачками.
Профессор Веретенников Александр Юрьевич окончил механико-математический факультет МГУ в 1975 году, там же защитил кандидатскую диссертацию в 1979 году под названием «Сильные и слабые решения стохастических уравнений». Докторскую степень по теме «Исследование больших уклонений, принципа усреднения и скорости перемешивания для систем стохастических дифференциальных уравнений» получил в Московском институте им.В.А.Стеклова в 1990 году. Является главным научным сотрудником лаборатории №1 им.М.С.Пинскера, Институт Проблем Передачи Информации им.А.А.Харкевича и Международной лаборатории стохастического анализа и его приложений, НИУ ВШЭ. Также до 2021 года являлся профессором в Математической Школе Лидского университета, Великобритания. Член Лондонского математического общества. В научные интересы входят: стохастические дифференциальные уравнения, большие уклонения, усреднение, перемешивание, стохастические алгоритмы, приложения к статистике, некорректным задачам и уравнениям в частных производных. В прошлом увлекался рафтингом/каякингом. Профессионально играет на фортепиано.
Дарья Лукьянова окончила Московский Государственный университет. Получила степень PhD в Париже с темой диссертации “Etude rigoureuse du modèle de Hopfield de mémoire associative” в 1994 году. В 2010 году получила диплом HDR (l'habilitation à diriger des recherches) в университете Эври-Валь д'Эссонн (Эври, Франция) на тему “Théorèmes limites dans le cadre markovien. Application aux statistiques”.
