Элементарно доказываемое утверждение о коммутативности группы периода 2 и одна из труднейших теорем теории конечных групп о разрешимости группы нечетного порядка схожи в следующем. В обоих случаях арифметические, т.е. выражаемые числовыми параметрами, свойства группы позволяют сделать вывод о ее строении. Наиболее сильный вывод, который можно сделать в утверждении такого типа, состоит в том, что группа однозначно, естественно с точностью до изоморфизма, определяется некоторым набором числовых параметров. В этом случае говорят, что группа распознается по этому набору.
Спектром группы называется множество порядков ее элементов. В лекциях мы рассмотрим вопрос о возможности распознавания конечной группы по ее спектру в классе конечных групп. Хотя для любой конечной группы с нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой найдется бесконечно много конечных групп с тем же спектром, многие простые группы распознаются по спектру. К примеру, из всех конечных групп только знакопеременная группа подстановок степени 5 имеет спектр, состоящий из чисел 1, 2, 3, 5. Несмотря на видимую специфичность задачи, методы ее решения, о которых и пойдет речь, затрагивают в той или иной степени большинство разделов современной теории конечных групп. Поэтому означенная проблема отчасти лишь повод рассказать об интересных результатах, с ней связанных. Тем не менее, у лекций имеется и вполне конкретная конечная цель – на последней из них планируется изложить схему доказательства следующего недавно полученного результата: если конечная простая группа и конечная группа имеют одинаковые спектры и порядки, то они изоморфны.
В рамках семинарских занятий
планируется разбор теоретического материала на примерах конкретных
групп. В том числе, поиск спектра заданной простой группы, а также
изучение примеров распознаваемых и нераспознаваемых по спектру простых
групп.
В рамках данного курса планируется провести 7 лекций
и 2 практических занятия. Для понимания данного курса лекций слушателям
необходимо обладать знаниями в следующем объеме:
1. D. Gorenstein, Finite Groups, 1968 (Часть I и главы 10-12 части II).
2. R. Carter, Simple Groups of Lie Type, 1972.
3. R. Carter, Finite Groups of Lie Type, 1985 (Главы 1-3).