Пусть $\omega=(p,p,...)$ --- последовательность чисел, где $p>2$ --- простое число; $T$ --- бесконечное однородное дерево, построеннное по последовательности $\omega$; $G$ --- АТ$_{\omega}$-группа над деревом $T$; $G_{(1)}$ --- ее 1-срезка; $V$ --- ее сопровождающее пространство [1].
Используя технику работы с костабилизаторами [1; 2] и идеи работы [3] доказывается следующий результат.
{\bf Теорема 1.} Пусть $G$ --- группа, имеющая недиагональное сопровождающее пространство, и все срезки $G$ ей подобны как группы подстановок. Тогда группа $G$ бесконечно определена. При этом указывается алгоритм, позволяющий выписать определяющие соотношения группы $G$.
Основываясь на результатах работ Р.И.Григорчука [4; 5] получена следующая теорема.
{\bf Теорема 2.} Пусть $G$ --- группа из предыдущей теоремы, тогда существует конечно определенная группа $G^*$, содержащая $G$ в качестве подгруппы. Если при этом $G$ имеет промежуточный рост, то $G^*$ является аменабельной.
Для каждого нечетного простого числа $p$ построена АТ-группа $F_p$, являющаяся $p$-группой, определенная аналогично известной 3-группе Гупты. Через $\gamma$ обозначим ее функцию роста периодов [4].
{\bf Теорема 3.} Функция роста периодов группы $F_p$ удовлетворяет следующим неравенствам: $$n^{\log_{3} p}\leq \gamma(n)\leq n^{\log_{2} p}.$$
{\bf Теорема 4.} Пусть $F_p$ --- группа из предыдущей теоремы. Тогда для индексов последовательных членов ряда степеней группы $F_p$ выполняются равенства: $$|F:F^{p^k}|=p^{p^{2k-2}(p-1)+1}.$$ %$$|G:G^{p^k}|= .$$
1. Рожков А.В. К теории групп алешинского типа. - Мат. заметки, 1986, Т.40, ?5, С.572-589.
2. Рожков А.В., Пястолова С.М. Уточнение одной теоремы о группах алешинского типа // Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1989. Деп. в ВИНИТИ 04.01.89, N 102.
3. Лысенок И.Г. Система определяющих соотношений для группы Григорчука. - Мат. заметки, 1985, Т.38, ?4, С.503-516.
4. Григорчук Р.И. Степени роста конечно-порожденных групп и инвариантное среднее // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, N 5. 939-983.
5. Григорчук Р.И. Пример конечно определенной аменабельной группы, не принадлежащей классу EG // Мат. сб. 1998. Т.189, N 1, С.79-100.