$Z_n$ -- градуированные монокомпозиционные алгебры
Гайнов А.Т.
Пусть $({\bar A},{\bar N},1)$~--
коммутативная невырожденная монокомпозиционная алгебра
с единицей 1 над алгебраически замкнутым полем $Ф$ характеристики
нуль,
$(A,\cdot,N)$~--
ассоциированная с ней
невырожденная квазимонокомпозиционная алгебра
(кратко, НКМ--алгебра).
Автором ранее было доказано, что
всякий автоморфизм
${\bar \varphi}$
конечномерной алгебры
${\bar A}$
является
{\it ортогональным},
т.е. для любых
$x,y \in {\bar A}$
${\bar N}(x{\bar \varphi},y{\bar \varphi})$
$= N(x,y)$, причем это равносильно тому, что
отображение
$\varphi={\bar \varphi}|_A$
является {\it ортогональным} автоморфизмом алгебры
$(A,\cdot,N)$.
В настоящем докладе рассматриваются конечномерные
коммутативные НКМ--алгебры $А$, имеющие
ортогональный автоморфизм $\varphi$ конечного порядка
$n \geq 3$.
{\bf Теорема 1.} Пусть $\varphi$~-- ортогональный
автоморфизм НКМ--алгебры $A$ порядка
$n \geq 3$,\, $Z_n=\varepsilon$~-- циклическая группа корней
$ \sqrt[n]{1} \in Ф $ с образующим
$\varepsilon$.
Тогда справедливы следующие утверждения.
a) $A=A_0 \oplus A_1 \oplus \ldots \oplus A_{n-1}$,
где $A_j=\{x \in A|x \varphi =\varepsilon^jx \}$,\,
$j=0,\ldots,n-1$.
б) $A_j A_k \subseteq A_{j+k}$,\,\,\,$0 \leq j \leq k \leq n-1$.
в) $A=B_0 \bot B_1 \bot \ldots \bot B_m$~--
ортогональная сумма неизотропных подпространств, где
$m=[\dfrac{n}{2}]$,\, $B_0=A_0$,\,$B_j=A_j \oplus A_{n-j}$,\,
$j=1,\ldots,m$.
При этом, если
$n=2m$, то $B_m=A_m$.
г) Если $B_j=A_j \oplus A_{n-j}$,
то $A_j$
и $A_{n-j}$~--
вполне изотропные подпространства одинаковой размерности.
Из утверждений а), б) следует, что алгебры
$A$
и ${\bar A}$ являются $Z_n$ -- градуированными алгебрами.
{\bf Теорема 2.} Пусть в условиях теоремы 1
$\varphi^3=id$,\
$A=A_0 \oplus A_1 \oplus A_{2}$,
причем
$dimA_0=1$,\ $dimA_1=dimA_2=n \geq 2$.
Тогда в алгебре
$A$
можно выбрать такой базис
$\{e_0,e_1,\ldots,e_n,e^1,\ldots,e^n\}$,
что:
а) $\{e_0=bas\ A_0\}$,\
$\{e_1,\ldots,e_n\}=bas\ A_1$,\
$\{e^1,\ldots,e^n\}=bas\ A_2$,
б) матрица $М$ билинейной формы $N(x,y)$
в этом базисе имеет вид
$$M= \left \lgroup \matrix {1&0&0\cr0&0&E_n\cr0&E_n&0\cr}
\right \rgroup ,\,\,\, {\mbox где}\,\,E_n\,\,
{\mbox --\, единичная}\,\, n{\mbox -матрица.}$$
в) $e_2^2=0$,\ $e_0e_j=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{j}^{k}e_k$,\
$e_0e^j=\sum_{k=1}^{n}\beta^{j}_{k}e^k$,\
$j=1,\ldots,n$;
$e_ie^j=\lambda^j_ie_0$,\
$e_ie_j=\sum_{k=1}^{n}\gamma_{ijk}e^{k}$,\
$e^ie^j=\sum_{k=1}^{n}\varepsilon^{ijk}e_k$,\
$i,j=1,\ldots,n$.
Базис алгебры $A$,
удовлетворяющий условиям а), б), в), назовем
{\it каноническим}.
г) При переходе от одного канонического базиса к любому
другому каноническому базису совокупности структурных
констант $\{ \alpha_{j}^{k} \}$,\ $\{ \beta_{j}^{k} \}$,\
и $\{ \lambda_{j}^{k} \}$
ведут себя как 1-ковариантные и 1-контравариантные тензоры в
$n$-мерном $Ф$-пространстве,
$\{\gamma_{ijk}\}$ --
3-ковариантный тензор,
$\{\varepsilon^{ijk}\}$ --
3-контравариантный тензор.
д) $\alpha_{j}^{k} + \beta_{j}^{k} + \lambda_{j}^{k}=0$,\
$\sum_s\alpha_{j}^{s} \beta_{s}^{k}=0$,\
$\gamma_{ijk}+\gamma_{jki}+\gamma_{kij}=0$,
$\varepsilon^{ijk}+\varepsilon^{jki}+\varepsilon^{kij}=0$,\
$\sum_s(\alpha_{i}^{s} \gamma_{jks}+
\alpha_{j}^{s} \gamma_{kis}+\alpha_{k}^{s} \gamma_{ijs})=0$,
$\sum_s(\beta^{i}_{s} \varepsilon^{jks}+
\beta^{j}_{s} \varepsilon^{kis}+
\beta^{k}_{s} \varepsilon^{ijs})=0$,\
$\sum_s \gamma_{ijs} \varepsilon^{kms}=-
\lambda_{i}^{k}\lambda_{j}^{m}-\lambda_{i}^{m}\lambda_{j}^{k}$
для любых $i,j,k,m=1,\ldots,n$.
Верно и обратное утверждение.
Используя теорему 2, построено несколько бесконечных
серий НКМ-алгебр с ортогональным автоморфизмом третьего порядка.