Определения хорошо известных в теории абелевых групп классов узких, почти узких, тонких и некоторых других классов абелевых групп укладыв ются в следующую "топологическую" схему: выбирается некоторая тестовая топологическая группа ${\cal T}$, абелева группа $G$ принадлежит определяемому классу тогда и только тогда, когда каждый гомоморфизм $\varphi : {\cal T}\longrightarrow G$ является непрерывным. Так, чтобы получить класс узких групп, достаточно в качестве ${\cal T}$ выбрать прямое произведение счетного числа бесконечных циклических групп (в дальнейшем в настоящей работе эта группа обозначается через $P$ и снабдить его тихоновской топологией; класс обобщенно узких групп получится если на $P$ задать топологию, являющуюся верхней гранью тихоновской и $Z$-адической. Чтобы получить класс тонких $p$-групп в качестве тестового объект нужно выбрать группу $\prod_{n\in N}Z(p^n)$, снабженную индуктивной $p$-адической топологией.
В настоящей работе изучаются абелевы группы, узкие относительно следующих тестовых топологических групп:
1) группа $P$, снабженная топологией, являющейся верхней гранью тихоновской и прюферовой. Класс групп, узких относительно этой группы обозначается $\bf TPr$;
2) группа $P$, снабженная топологией, которая является верхней гранью тихоновской и топологии конечных индексов. Соответствующий этой группе класс обозначается через $\bf fT$.
В данной работе изучены некоторые свойства групп, принадлежащих классам $\bf TPr$ и $\bf fT$ на языке подгрупп. Например, справедлива
\begin{theorem} Абелева группа $G$ принадлежит классу $\bf TPr$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:
1) почти все примарные компоненты периодической части группы $G$ являются редуцированными;
2) каждая $p$-примарная компонента периодической части группы $G$ имеет конечный $p$-ранг;
3) группа $G$ не содержит подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел, аддитивной группе целых $p$-адических чисел для произвольного простого числа $p$ и подгрупп, являющихся счетными прямыми произведениями бесконечных циклических групп.
\end{theorem}
Представляют интерес и следующие результаты, относящиеся к свойствам гомоморфизмов из прямых произведений абелевых групп в группы, принадлежащие классам $\bf fT$ и $\bf TPr$.
\begin{theorem} Пусть $\{ G_i \}_{i\in I}$ --- произвольное семейство абелевых групп, причем мощность множеств $I$ неизмерима. Тогда если группа $G$ принадлежит классу $\bf TPr$ (соответственно классу $\bf fT$), то любой гомоморфизм из прямого произведения $\prod_{i\in I}G_i$, снабженного топологией, которая является верхней гранью тихоновской и топологии конечных индексов (соответственно тихоновской и прюферовой) в группу $G$ --- непрерывен. Другими словами: если $G\in {\bf fG}$, то для любого гомоморфизма $\varphi : \prod_{i\in I}G_i\longrightarrow G$ существует конечное подмножество $J$ множества $I$, такое,что группа $\varphi (\prod_{i\in I\setminus J} G_i)$ является конечной. (Соответственно если $G\in {\bf TPr}$, то $\varphi(\prod_{i\in I\setminus J} G_i)$ является конечно копорожденной). \end{theorem}
Изучены также свойства классов $\bf fT$, $\bf TPr$. Каждый из них замкнут относительно конечных прямых сумм, подгрупп и не замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Класс $\bf fT$ замкнут относительно расширений, класс $\bf TPr$ не замкнут относительно расширений.