Минимальные счетные булевы алгебры с выделенными подалгебрами

Определение 1. Две алгебраические системы $\goth{A}$ и $\goth{B}$
сигнатуры $\Sigma$ называются элементарно эквивалентными
($\goth{A}\equiv\goth{B}$), если для любого предложения $\Phi$
сигнатуры $\Sigma$ верно, что оно истинно в алгебраической системе $\goth{B}$.

Определение 2. Пусть $\goth{A}$ - счетная булева алгебра, и
$P_{\goth{B}}(x)=\{x| x\in |\goth{B}|$ ---
унарный предикат, выделяющий подалгебру $\goth{B}$, тогда булевой парой
$\langle \goth{A}, \goth{B} \rangle$ назовем алгебраическую систему
$\langle | \goth{A} |, \bigvee, \bigwedge, \neg, 0,1, P_\goth{B} \rangle$.

Определение 3. Пусть $\langle \goth{A}_1, \goth{B}_1 \rangle$,
$\langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle$ счетные булевы пары.
Назовем множество $S \subseteq |\goth{A}_1| \otimes | \goth{A}_2|
\otimes \Bbb{N} \otimes \Bbb{N}$
критерием элементарной эквивалентности пар $\langle \goth{A}_1, \goth{B}_1 \rangle$
и $\langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle$ , если выполнены следующие
условия:

1) если $(x,y,k,n) \in S$, то $k \leq n$

2) для любого $n \in \Bbb{N}$ $(0,0,0,n) \in S$ и найдутся такие
$m \in \Bbb{N}$ и $c_1, \dots, c_m \in | \goth{A}_1 |$ и
$d_1, \dots, d_m \in | \goth{A}_2 |$ что
$c_i \cap c_j=0, d_i \cap d_j=0$ при
$i \neq j; c_1 \cup \dots \cup c_m=1_{\goth{A}_1},
d_1 \cup \dots \cup d_m=1_{\goth{A}_2}$ и для любого $i=1, \dots ,m\ \
(c_i , d_i , 0,n) \in S$.

3) Если $(x,y,k,n) \in S$,то:

А) х=0 равносильно у=0;

Б) х=0 равносильно у=0;

4) Если $(x,y,k,n) \in S, k m_1 что $c_i \neq 0, d_i \neq 0, c_i \cap c_j =0, d_i \cap d_j =0$ при $i \neq j;
c_i \cup \dots \cup c_{m_1} =a, c_1 \cup \dots \cup c_m =x, d_1 \cup \dots \cup d_m =y$
, и для любого i $(c_i, d_i , k+1, n) \in S$;

5) Если $(x, y, k, n) \in S , k $m \in \Bbb{N}, m_1 d_m \in | \goth{A}_2 |$, что $c_i \neq 0, d_i \neq 0, c_i \cap c_j =0,
d_i \cap d_j =0$ при $i \neq j; c_1 \cup \dots \cup c_m =x, d_1 \cup \dots \cup d_m =y,
d_1 \cup \dots \cup d_{m_1} =b$
и для любого i $(c_i , d_i , k+1,n) \in S$.

Теорема 1. Если для некоторых счетных булевых пар существует критерий
элементарной эквивалентности (существует множество S, удовлетворяющее
свойствам 1)-5), то эти пары эквивалентны.

Определение 1. Обозначим $\langle \goth{A}_1, \goth{B}_1 \rangle \leq
\langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle$
если существуют такие $\langle \goth{M}_1, \goth{N}_1 \rangle$,
$\langle \goth{M}_2, \goth{N}_2 \rangle$ --- булевы пары,
что $\langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle = \langle \goth{M}_1,
\goth{N}_1 \rangle \otimes \langle \goth{M}_2, \goth{N}_2 \rangle$ и
$\langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle \equiv \langle \goth{M}_1, \goth{N}_1
\rangle$ или $\langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle \equiv \langle
\goth{M}_2, \goth{N}_2 \rangle$.

Определение 2. Булева пара $\langle \goth{A}, \goth{B} \rangle$
называется минимальной, если для любой
пары $\langle \goth{M}, \goth{N} \rangle$ верно, что
$\langle \goth{A}, \goth{B} \rangle \leq \langle \goth{M}, \goth{N} \rangle$
, то есть существуют $\langle \goth{A}_1, \goth{B}_1 \rangle$,
$\langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle$ что $\langle \goth{A}_1, \goth{B}_1
\rangle \otimes \langle \goth{A}_2, \goth{B}_2 \rangle =
\langle \goth{M}, \goth{N} \rangle$ и $\langle \goth{A}, \goth{B} \rangle
\equiv \langle \goth{A}_1=, \goth{B}_1 \rangle$.

Определение 3. Элемент $a \in \langle \goth{A}, \goth{B} \rangle$
называется пустым, если $a \notin \goth{B}$ и для всех
b меньших либо равных a, $b \notin \goth{B}$.

Определение 4. Элемент $a \in \langle \goth{A}, \goth{B} \rangle$
называется полным, если $a \in \goth{B}$ и для всех b, $b \leq a, b \in
\goth{B}$.

Замечание 1. Пусть $\goth{A}$ - булева алгебра с выделенной
подалгеброй $\goth{B}$ и $a \in \goth{A}$. Тогда $\goth{A}=(a) \otimes
( \neg a) \Leftrightarrow a \in \goth{B}$.

Замечание 2. В классе счетных булевых алгебр с выделенными атомными
подалгебрами минимальными являются алгебры с выделенной двухэлементной
подалгеброй и только они.

Лемма 1. В классе счетно-полных безатомных алгебр с выделенными
безатомными подалгебрами существует три вида минимальных пар:

1) $\langle \goth{A}, \goth{B} \rangle$: $\goth{A}, \goth{B}$ ---
счетно-полные безатомные булевы алгебры и $\goth{A}$ совпадает с $\goth{B}$;

2) $\langle \goth{A}, \goth{B} \rangle$: $\goth{A}, \goth{B}$ ---
счетно-полные безатомные булевы алгебры и
$((( \forall a \in \goth{B})( \exists b \notin \goth{B})(b \leq a) \bigwedge
(( \forall a \notin \goth{B})( \exists b \in \goth{B})(b \leq a)))$;

3) $\langle \goth{A}, \goth{B} \rangle$: $\goth{A}, \goth{B}$ ---
счетно-полные безатомные булевы алгебры и
$(( \forall a \notin \goth{B})((a - \text{пустой})( \exists b \in \goth{B})
\bigvee ((a=b \cup c)(c - \text{пустой}))( \forall a \in \goth{B})
( \exists c \notin \goth{B})((a=b \cup c)( b - \text{пустой})))$.
\centerline{\bf Литература}
1. Пальчунов Д.Е. Счетно-категоричные булевы алгебры с выделен-
ными идеалами. Новосибирск: Изд-во Инст-та мат-ки, 1987. (Препринт N 12)
2. Пальчунов Д.Е. Конечно-аксиоматизируемые булевы алгебры с выде-
ленными идеалами.//Алгебра и логика. 1987. Т.26, N 4,с.435-455.
3. Гончаров С.С. Счетные булевы алгебры. Новосибирск, 1987.
4. Ершов Ю.Л.,Палютин Е.А. Математическая логика. М.:Наука, 1979.
5. Дулатова З.А. Алгоритмические вопросы в булевых алгебрах. Ав-
тореф. дисс. канд. физ.-мат. Наук. Новосибирск: Изд-во Инст-та
мат-ки, 1990.