В [1] был введ\"ен и исследован класс квазицилиндрических алгебр сигнатуры $\langle\vee,\wedge,\supset,\neg,\top,\bot,% s^i_j,\forall_i,\exists_i\rangle_{i,j<\omega}$. В [1] доказано, что всякая суперинтуиционистская предикатная логика (с. и. п. л.) полна относительно некоторого многообразия квазицилиндрических алгебр. В этой работе осуществлена трансляция %свойств Бета, %проективного свойства Бета, дизъюнктивного и экзистенциального свойств с. и. п. логик на язык квазицилиндрических алгебр.
Обозначим через $LG$ язык первого порядка без функциональных символов и символа равенства. Пусть $\{x_i\mid i<\omega\}$ --- множество предметных переменных $LG$. {\em Суперинтуиционистской предикатной логикой} называем множество формул языка $LG$, замкнутых относительно modus ponens, правил обобщения и правил подстгновки.
Формулы $A$ и $B$ языка $LG$ называем {\em конгруэнтными}, если $A$ и $B$ получаются друг из друга применением (возможно несколько раз) общеизвестного принципа замены связанных вхождений переменных.
С. и. п. л. $L$ обладает {\em дизъюнктивным свойством}, если условие $L\vdash A\vee B$ влечет либо $L\vdash A$, либо $L\vdash B$. Логика $L$ обладает {\em экзистенциальным свойством}, если условие $L\vdash \exists x_iA$ влечет $L\vdash B(x_j/x_i)$ для некоторой предметной переменной $x_j$ и некоторой формулы $B$, конгруэнтной формуле $A$.
Для всякого элемента $a$ квазицилиндрической алгебры положим $\Delta(a)\rightleftharpoons\{i<\omega\mid\forall_ia\neq a\}$. Алгебру называем {\em локально-финитарной}, если для любо¬о е\"е элемента $a$ мощность $\Delta(a)$ конечна. Гомоморфизм $h$ из $\cal A$ в $\cal B$ называем {\em частично обратимым}, если для любого элемента $b$ из образа алгебры $\cal A$ существует такой элемент $a$, что $\Delta(a)=\Delta(b)$ и $h(a)=b$.
Алгебра $\cal A$ называется {\em вполне связной}, если для любых е\"е элементов $a$ и $b$ из $a\vee b=\top$ следует либо $a=\top$, либо $b=\top$. Алгебру $\cal A$ называем {\em $\exists$-связной}, если для любого е\"е элемента $a$ и любого $i<\omega$ из $\exists_ia=\top$ следует $s^i_j a=\top$ для некоторого $j<\omega$.
Пусть $L$ --- с. и. п. л. и $L$ характеризуется замкнутым относительно подалгебр классом $K$ квазицилиндрических алгебр. \begin{theo} Следующие условия эквивалентны: \begin{enumerate} \item $L$ имеет дизъюнктивное свойство; \item для любых двух локально-финитарных алгебр $\cal A$ и $\cal B$ из $K$ существуют вполне связная квазицилиндрическая алгебра $\cal C$, в которой общезначимы все формулы из $L$, и частично обратимый гомоморфизм из $\cal C$ на прямое произведение $\cal A$ и $\cal B$. \end{enumerate} \end{theo} \begin{theo} Следующие условия эквивалентны: \begin{enumerate} \item $L$ имеет экзистенциальное свойство; \item для любого счетного семейства $\{\cal A_i\mid i\in I\}$ локально-финитарных алгебр из $K$ существуют $\exists$-связная квазицилиндрическая алгебра $\cal C$, в которой общезначимы все формулы из $L$, и частично обратимый гомоморфизм из $\cal C$ на декартово произведение алгебр данного семейства. \end{enumerate} \end{theo}
Литература
[1] Тишковский~Д.~Е. Об алгебраической семантике для суперинтуиционистских предикатных логик, Алгебра и Логика, принято к печати.