О подгруппах произведений конечных групп
Васильев А.Ф.
В [1] установлено, что для всякой конечной разрешимой группы
$G=AB$ выполняется $O_{\pi}(A)\bigcap O_{\pi}(B)\subseteq O_{\pi}(G)$. Так
как класс всех $\pi$-групп является классом Фиттинга, то возникает
естественный вопрос. Для каких классов Фиттинга имеет место:
$A_{\frak{F}}\bigcap B_{\frak{F}}\subseteq G_{\frak{F}}$? В дальнейшем
рассматриваются только конечные разрешимые группы.
Теорема 1. Пусть $\frak{F}$ --- формация Фиттинга.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) если $G=AB$, то $A_{\frak{F}}\bigcap B_{\frak{F}}\subseteq
G_{\frak{F}}$;
2) $\frak{F}={\cal D}_0(\bigcup_{i\in I}\frak{S}_{\pi_i})$, где
$\pi(\frak{F})=\bigcup_{i\in I}\pi_i$ и $\pi_l\bigcap\pi_k=\O$ для всех
$l\ne k$ из $I$.
В работах [2--4] изучались подгруппы группы $G=AB$, наследующие (с точностью
до сопряженности) факторизацию в случае, когда $A$ и $B$ --- нильпотентные
подгруппы группы $G$.
Нами исследовалась аналогичная задача при условии, что
факторы $A$ и $B$ принадлежат некоторой формации или классу Фиттинга. Следуя
[4], подгруппу $S$ группы $G=AB$ будем называть факторизуемой, если
$S=(S\bigcap A)(S\bigcap B)$ и $A\bigcap B\subseteq S$.
Теорема 2. Пусть $\frak{F}$ формация Фиттинга.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) если $G=AB$ и $A\in \frak{F}$, $B\in \frak{F}$, то
$\frak{F}$-радикал $G_{\frak{F}}$ является факторизуемой подгруппой группы $G$;
2) если $G=AB$ и $A\in \frak{F}$, $B\in \frak{F}$, то
в $G$ найдется по крайней мере один факторизуемый $\frak{F}$-инъектор;
3) $\frak{F}={\cal D}_0(\bigcup_{i\in I}\frak{S}_{\pi_i})$, где
$\pi(\frak{F})=\bigcup_{i\in I}\pi_i$ и $\pi_l\bigcap\pi_k=\O$ для всех
$l\ne k$ из $I$.
\centerline{Литература}
1. Johnson P.M. A property of factorizable groups //
Arc. Math. 1993. V.~60. P.~414--419.
2. Pennington E.A. On products of finite nilpotent groups
// Math. Z. 1973. V.~34. P.~81--83.
3. Heineken H. Products of finite nilpotent groups // Math.
Ann. 1990. V.~287. P.~643--652.
4. Amberg B. and Hofling B. On finite products of
nilpotent groups // Arc. Math. 1994. V.~63. P.~1--8.