Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве, 657-675.
Кореваар и Шоэн определили некоторый аналог
соболевского пространства\linebreak
$W^1_p(\Omega)$
для функций, заданных в
области
$\Omega$ риманова пространства и принимающих значения в произвольном
полном метрическом пространстве.
В настоящей статье предлагается другой подход к определению
таких пространств. Рассматривается случай, когда
$\Omega$ есть область
в
${{\Bbb R}}^n$
и отображения действуют из
$\Omega$ в метрическое пространство
$X$. Предполагается, что
$X$ полно и сепарабельно. В некоторых случаях дополнительно требуется, чтобы
пространство удовлетворяло тому условию, что
всякий замкнутый шар в нем компактен.
\par
Пусть
$\Omega$ --- область в
${\Bbb R}^n$, $X$ ---
полное метрическое пространство,
$d$ ---
метрика пространства
$X$.
Класс
$W^1_p(\Omega, X)$ определяется здесь
как совокупность всех отображений
$f$
области
$\Omega$
в
$X$,
удовлетворяющих следующему условию. Для всякой точки
$z\in X$
вещественная функция
$f_z$,
определенная равенством
$f_z(t)=d[f(t), z]$,
принадлежит классу
$W^1_p(\Omega)$,
причем существует вещественная функция
$w$
класса
$L_p(\Omega)$,
не зависящая от выбора точки
$z\in X$
и такая, что
$|\nabla f_z(x)|\leq w(x)$
для почти всех
$x\in\Omega$.
\par
Для отображений класса
$W^1_p(\Omega, X)$
определяется понятие
$L^1_p$-нормы.
Устанавливается некоторая общая
теорема о полунепрерывности
$L^1_p$-нормы
и доказывается полнота
$W^1_p(\Omega, X)$
при надлежащем определении метрики в нем. Устанавливаются
теоремы, аналогичные известным теоремам
вложения Соболева. Доказывается, что если функция
$f:\Omega\to X$
принадлежит классу
$W^1_p(\Omega, X)$,
то для всякой функции
$\varphi:X\to {\Bbb R}$ такой, что
$|\varphi (x_1)-\varphi (x_2)|\leq Kd(x_1, x_2)$
для любых
$x_1, x_2\in X$,
где
$K<\infty$ ---
постоянная, суперпозиция
$\varphi\circ f$
принадлежит классу
$W^1_p(\Omega, {\Bbb R})$,
причем
$|\nabla\varphi\circ f (t)|\leq Kw(t)$
для почти всех
$t\in \Omega$.
Здесь
$w$ --- функция, указанная в данном выше определении.
\par
Аналогичный подход ранее был применен Амбросио для определения класса\linebreak
$BV(\Omega)$
функций ограниченной вариации со значениями в локально
компактном метрическом пространстве
$X$. Библиогр. 16