Борисов Ю. Ф.
Векторная кривизна поверхности в гильбертовом пространстве и теорема Гаусса
Borisov Yu. F.
Vector curvature of a surface in Hilbert space and the Gauss theorem

Если $F^n$ --- $C^2$-регулярная $n$-мерная поверхность в евклидовом пространстве $\Bbb E$ произвольной, в частности, бесконечной размерности, $X_0\in F^n$, $P_{X_0}^n$ --- касательная плоскость в точке $X_0$, $\Lambda _{F^n, X_0}$ --- множество всех прямых $l\subset P_{X_0}^n$, проходящих через $X_0$ и $l\in \Lambda _{F ^n,X_0}$, то нормальная составляющая $\skew {-3}\vec\varkappa _L^n(X_0)$ вектора кривизны $C^2$-регулярной кривой $L\subset F^n$, касающейся $l$ в точке $X_0$, имеет значение $\vec K_{F^n,X_0}(l)$, не зависящее, как установлено в \S\ 3, от $L$. Так определенная функция $\vec K_{F^n,X_0}$ называется векторной кривизной $F^n$ в точке $X_0$. Если $\widetilde{F}^n$ --- риманово пространство, соответствующее поверхности $F^n$, $W$ --- 2-мерное направление $\widetilde{F}^n$ в точке $X_0$, $\vec K_{F^n,X_0}^W$ --- сужение $\vec K_{F^n,X_0}$ на подмножество $\Lambda _{F^n,X_0}$, соответствующее $W$, то существует универсальная характеристика функции $K_{F^n,X_0}^W$, равная при $F^n\in C^3$ секционной кривизне $K_{\widetilde{F}^n,X_0}^W$ пространства $\widetilde{F}^n$ в точке $X_0$ в направлении $W$. Различные варианты такого обобщения теоремы Гаусса, получающейся при $n=2$, $\dim \Bbb =3$, доказываемые в \S\ 4, соответствуют различным интерпретациям значений векторной кривизны, установленным в \S\ 3.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (446 KB)
• PostScript file (881 KB)