Рудых Г. А., Семенов Э. И.
Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II
Rudykh G. A., Semënov E. I.
Existence and construction of anisotropic solutions to the multidimensional equation of nonlinear diffusion. II

Для многомерного уравнения нелинейной диффузии $u_t=\nabla\cdot (u^{\lambda}\nabla u)$, $u\overset{\triangle}\to{=}u({\bold x},t): \Omega\times\overline{\Bbb R}^+\to\Bbb R^+$, ${\bold x}\in\Bbb R^n,$ предложена оригинальная форма решений $$ u({\bold x},t)=\left[\lambda \left[\frac{1}{2}({\bold x},A_1(t){\bold x})+ ({\bold x},{\bold B}_1(t))+C_1(t)\right]^p_+ + \lambda \left[\frac{1}{2}({\bold x},A_2(t){\bold x})+ ({\bold x},{\bold B}_2(t))+C_2(t)\right] \right]_+^{1/\lambda}, $$ с помощью которой исследование исходного уравнения сведено к изучению конечномерной переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций, подлежащих определению) системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Здесь $A_k(t)$ --- вещественные симметричные матрицы с элементами $a_{kij}(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+), {\bold B}_k(t)$ --- вектор-столбцы с компонентами $b_{ki}(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+)$ и $C_k(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+)$ --- скалярные функции; $\Omega\subset\Bbb R^n$ --- ограниченная область; $\Bbb R^+=(0,\infty); \lambda ,p\in\Bbb R; \lambda ,p\ne 0;k=1,2$. \par В силу специфики задачи исследование предъявленной системы АДУ распадается на два независимых случая: $p\ne 2$, $p=2$. При определенных предположениях доказано, что задача Коши для изучаемой системы АДУ обладает решением, отличным от тривиального как при $p\ne 2$, так и при $p=2$. На основе этого результата найдено многопараметрическое семейство новых точных неавтомодельных анизотропных по пространственным переменным, явных неотрицательных решений исследуемого уравнения. Основное внимание уделено изучению уравнений быстрой $(-1<\lambda <0)$ и предельной $(\lambda =-1, n=2)$ диффузии.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (450 KB)
• PostScript file (890 KB)