Коробков М. В.
Обобщение теоремы Лагранжа о среднем на случай векторнозначных отображений
Korobkov M. V.
A generalization of the Lagrange mean value theorem to the case of vector-valued mappings

В работе получен следующий результат. \par {\bf Теорема 1.} {\sl Пусть $f:[\alpha,\beta]\to\Bbb R^m$ — функция, непрерывная на отрезке $[\alpha,\beta]\subset \Bbb R$ и дифференцируемая на интервале $(\alpha,\beta)$, где $m\ge1$ и $\alpha<\beta$. Тогда отношение $(f(\beta)-f(\alpha))/(\beta-\alpha)$ есть выпуклая комбинация $m$ значений производной $f'$, т. е. существуют числа $\xi_i\in(\alpha,\beta)$ и $p_i$, $i=1,\dots,m$, такие, что $$ \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\sum_{i=1}^mp_if'(\xi_i), \quad p_i\ge0,\quad \sum\limits_{i=1}^mp_i=1. $$ } \par Для вещественнозначных функций (при $m=1$) теорема 1 совпадает с классической теоремой Лагранжа. Для случая дифференцируемых отображений $f$, производная $f'$ которых непрерывна слева на $(\alpha,\beta)$ или непрерывна справа на $(\alpha,\beta)$, утверждение теоремы 1 было получено в работе McLeod, R. M.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (358 KB)
• PostScript file (675 KB)