Лаврентьев М. М. (мл.), Спиглер Р., Ахметов Д. Р.
Регуляризация нелинейного интегропараболического уравнения Фоккера — Планка с пространственно-периодическими решениями. Существование сильных решений

Доказано существование сильных решений в пространствах Соболева и Гельдера для одной новой краевой задачи, возникшей недавно в физике, для нелинейного интегродифференциального уравнения с частными производными типа Фоккера — Планка, которое может рассматриваться как параболическое уравнение, вырожденное по одной из пространственных переменных. Особенностью нестандартной постановки этой задачи является сочетание неограниченности области, где ищется решение (а также области интегрирования в интегральном члене уравнения), и неограниченности коэффициентов уравнения с периодичностью граничных условий по той пространственной переменной, по которой происходит вырождение уравнения, и специальными свойствами искомых решений, диктуемыми физическим смыслом задачи. Предложено регуляризованное интегропараболическое уравнение, существование и регулярность решения которого установлены авторами ранее, и обоснован предельный переход по параметрам регуляризации.

Lavrent'ev M. M. (jr)., Spigler R., Akhmetov D. R.
Regularizing a nonlinear integroparabolic Fokker — Planck equation with space-periodic solutions: existence of strong solutions

A nonlinear Fokker-Planck-type parabolic integrodifferential equation is studied. It arises from statistical description for the dynamical behavior of populations of infinitely many nonlinearly coupled random oscillators subject to "mean-field'' interaction (the space-integral term in the equation accounts for this). Such a model generalizes and improves the celebrated Kuramoto model which describes a variety of phenomena, in particular self-synchronization, in fields ranging from biology and medicine to physics and neural networks. Space-degenerate diffusion suggests to consider a regularized equation, where a small spatial diffusion is incorporated in the model equation. The peculiarities of the problem include (besides degeneracy) unbounded coefficients, space-periodicity of the sought solution, and a nonlinear space-integral term. Estimates, uniform in regularization parameters, allow the taking of a limit which identifies a solution to the original problem in certain Sobolev and Holder spaces. Existence of strong solutions is thus established. Precise decay estimates for convolutions of continuous functions with fundamental solutions to linear parabolic equations on unbounded domains (obtained by the authors earlier) are used intensively as an essential tool for general linear parabolic equations in R_n.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (532 KB)
• PostScript file (1,1 MB)