Копылов А. П.
Устойчивость классов отображений и гёльдеровость старших производных эллиптических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений

В 1954 г. Л. Ниренберг получил следующий хорошо известный результат: если $z:U\to R$, $U$ - область в $\Bbb R^n$, является решением класса $C^2$ эллиптического уравнения с частными производными $$ F(x_1,\dots,x_n;z;tial z/tial x_1,\dots, tial z/tial x_n;tial^2 z/tial x_1^2,\dots, tial^2 z/tial x_n^2)=0 $$ 2-го порядка, где $F$ - функция класса $C^1$, то тогда частные производные $tial^2 z/tial x_i tial x_j$ 2-го порядка функции $z$ локально непрерывны по Гельдеру в $U$.} Одновременно с Ниренбергом Ч. Морри получил аналогичный результат для эллиптических систем нелинейных уравнений 2-го порядка.
В настоящей статье получен такой же результат, но уже для эллиптических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными произвольного порядка и весьма общего вида. В основе его доказательства лежат результаты исследований последних лет автора статьи, посвященных изучению явлений устойчивости в С^l-норме классов отображений.

Kopylov A. P.
Stability of classes of mappings and Hölder continuity of higher derivatives of elliptic solutions to systems of nonlinear differential equations

Nirenberg published the following well-known result in 1954: Let a function z be a twice continuously differentiable solution to a nonlinear second-order elliptic equation. Suppose that the function F defining the equation is continuous and has continuous first-order partial derivatives with respect to all of its arguments (i.e., independent together with z and the symbols of all first- and second-order partial derivatives of z). Then the partial derivatives of z are locally Holder continuous. Simultaneously with Nirenberg, Morrey obtained an analogous result for elliptic systems of second-order nonlinear equations. In this article, we get the same result for the higher derivatives of elliptic solutions to systems of nonlinear partial differential equations of arbitrary order and a rather general shape. The proof is based on the results of the author's recent research on the study of the stability phenomena in the С^l-norm of classes of mappings.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (521 KB)
• PostScript file (1 MB)