Шарафутдинов В. А.
Задача интегральной геометрии в невыпуклой области

Рассматривается задача восстановления соленоидальной части симметричного тензорного поля f, определенного на компактном римановом многообразии (M,g) с краем, по известным интегралам поля f вдоль всех геодезических, соединяющих точки края. Все ранее известные результаты по этой задаче получены в предположении выпуклости края ∂M. Последнее предположение связано с тем, что множество максимальных ориентированных геодезических имеет структуру гладкого многообразия, если край ∂M выпуклый и отсутствуют геодезические бесконечной длины, в силу чего лучевое преобразование гладкого поля является гладкой функцией и применима аналитическая техника. В настоящей статье край ∂M не предполагается выпуклым. Вместо этого считается, что M является гладкой областью большего риманова многообразия, край которого выпуклый и для которого рассматриваемая задача допускает оценку устойчивости. В этом предположении доказывается единственность решения поставленной задачи для (M,g) .

Sharafutdinov V. A.
An integral geometry problem in a nonconvex domain

We consider the problem of recovering the solenoidal part of a symmetric tensor field f on a compact Riemannian manifold (M,g) with boundary from the integrals of f over all geodesics joining boundary points. All previous results on the problem are obtained under the assumption that the boundary ∂M is convex. This assumption is related to the fact that the family of maximal geodesics has the structure of a smooth manifold if ∂M is convex and there is no geodesic of infinite length in M. This implies that the ray transform of a smooth field is a smooth function and so we may use analytic techniques. Instead of convexity of ∂M we assume that ∂M is a smooth domain in a larger Riemannian manifold with convex boundary and the problem under consideration admits a stability estimate. We then prove uniqueness of a solution to the problem for (M,g)

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (418 KB)
• PostScript file (813 KB)