Лаврентьев (мл.) М. М.
Решение параболических уравнений через функционалы Ляпунова

Предлагается новый подход к определению понятия решения линейных и нелинейных параболических уравнений. Основная идея состоит в изучении связей между решениями динамических задач, представленных в вариационной форме
$ \rho(x,u,u_x)\,u_t=\frac{d}{dx}\,\frac{tial \Phi(x,u,u_x)}{tial u_x}- \frac{tial \Phi(x,u,u_x)}{tial u},\quad \frac{tial^2 \Phi}{tial u_x^2}\ge \delta>0, $
и свойствами соответствующих функционалов Ляпунова:
$ J[u](t)=\int\limits_0^1\Phi(x,u(x,t),u_x(x,t))\,dx, $
которые строго убывают вдоль траекторий вышеуказанных динамических уравнений, за исключением точек равновесия:
$ \frac{dJ}{dt}=-\int\limits_0^1 \rho(x,u,u_x)\,u_t^2\,dx,\quad\rho>0. $
На основе построенных Т. И. Зеленяком семейств функционалов Ляпунова оказалось возможным предложить новый подход к определению решений как линейных, так и нелинейных параболических задач. Все результаты приводятся для случая гладких решений. Отметим, что функционалы Ляпунова могут быть использованы при изучении решений с неограниченными градиентами.

Lavrent'ev M. M.
Solution of parabolic equations by means of Lyapunov functionals

We propose a new approach to defining the notion of a solution to linear and nonlinear parabolic equations. The main idea consists in studying connections between solutions to dynamic problems in the variational shape and the properties of the corresponding Lyapunov functionals which are strictly decreasing along the trajectories of the above-mentioned dynamic equations except for the equilibrium points. It turns out that the families of Lyapunov functionals constructed by T. I. Zelenyak enable us to propose a new approach to defining solutions to both linear and nonlinear parabolic problems. All results are given in the case of smooth solutions. Note that the Lyapunov functionals can be used for studying solutions with unbounded gradients.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (500 KB)
• PostScript file (985 KB)