Романов В. Г.
Карлемановские оценки для гиперболического уравнения второго порядка

В пространстве переменных (x,t)\in R ⁿ⁺¹ рассматривается линейное гиперболическое уравнение второго порядка с коэффициентами, зависящими лишь от x. Для области D\subset R ⁿ⁺¹, проекция которой на пространство переменной x является компактной областью Ω, рассматривается вопрос о построении оценки устойчивости решения задачи Коши с данными на боковой границе S области D. Известный метод получения такой оценки основан на карлемановских оценках с весовой функцией экспоненциального типа exp(2τ φ(x,t)), построение которой для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами встречает определенные трудности. Показано, что для области D, симметричной относительно плоскости t=0, в качестве функции φ(x,t) может быть взята φ(x,t)= s²(x,x⁰)-pt², в которой s(x, x⁰) — расстояние между точками x и x⁰ в римановой метрике, индуцированной дифференциальным уравнением, p — некоторое положительное число, меньшее единицы, а фиксированная точка x⁰ может либо принадлежать области Ω, либо быть вне ее. Относительно метрики предполагается, что секционные кривизны соответствующего риманова пространства ограничены сверху некоторым числом k₀ ≥ 0. Для случая пространства неположительной кривизны параметр p может быть взят сколь угодно близким к 1, в этом случае оценки устойчивости приводят в предельном случае p→ 1 к теореме единственности, точно описывающей область продолжения решения через поверхность S. Для пространства ограниченной положительной кривизны построение карлемановской оценки оказывается возможным лишь при выполнении некоторого условия малости произведения k₀
и s²(x,x⁰).

Romanov V. G.
Carleman estimates for second-order hyperbolic equations

In the space of variables (x,t)\in R ⁿ⁺¹, we consider a linear second-order hyperbolic equation with coefficients depending only on x. Given a domain D\subset R ⁿ⁺¹ whose projection to the x-space is a compact domain Ω, we consider the question of construction of a stability estimate for a solution to the Cauchy problem with data on the lateral boundary S of D. The well-known method for obtaining such estimates bases on the Carleman estimates with an exponential-type weight function exp(2τ φ(x,t)) whose construction faces certain difficulties in case of hyperbolic equations with variable coefficients. We demonstrate that if D is symmetric with respect to the plane t = 0 then we can take φ(x,t) to be the function φ(x,t)= s²(x,x⁰)-pt², where s(x, x⁰) is the distance between points x and x⁰ in the Riemannian metric induced by the differential equation, p is some positive number less than 1, and the fixed point x⁰ can either belong to the domain Ω or lie beyond it. As for the metric, we suppose that the sectional curvature of the corresponding Riemannian space is bounded above by some number k₀ ≥ 0. In case of space of nonpositive curvature the parameter p can be taken arbitrarily close to 1; in this case as p→ 1 the stability estimates lead to a uniqueness theorem which describes exactly the domain of the solution continuation through S. It turns out that, in case of space of bounded positive curvature, construction of a Carleman estimate is possible only if the product of k₀ and s²(x,x⁰) satisfies some smallness condition.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (540 KB)
• PostScript file (1 MB)