Могульский А. А.
О больших уклонениях времени первого прохождения для случайного блуждания с семиэкспоненциально распределенными скачками

Пусть ξ, ξ (1), ξ (2), . . . — независимые одинаково распределенные случайные величины такие, что ξ — семиэкспоненциально, т. е. P (−ξ ≥ t) = e ^{− t βL(t)}, β (0, 1), L (t) — медленно меняющаяся функция при t → ∞, обладающая некоторыми свойствами гладкости (см. ниже). Пусть Eξ = 0, Dξ = 1, S(k) = ξ (1) + • • • + ξ (k). Для фиксированного d > 0 определим момент η+(u) = inf{k ≥ 1 : S (k)+kd > u} первого прохождения снизу вверх неотрицательного уровня u ≥ 0 блужданием S (k)+kd с положительным сносом d > 0. Доказано, что в широких предположениях при n → ∞ и для u = u (n) [0, dn − N_n√n] справедливо соотношение
(0.1)
где x = u − nd < 0, произвольная фиксированная последовательность N_n, не превышающая d√n, стремится к ∞.
Условия, при которых доказано соотношение (0.1), полностью совпадают с условиями, при которых в [1] найдена асимптотика вероятности P (S(n) ≤ x) для x ≤ −√n (для x [−√n, 0] она известна из центральной предельной теоремы).

Mogul’skii A. A.
Large deviations of the first passage time for a random walk with semiexponentially distributed jumps

Suppose that ξ, ξ (1), ξ (2), . . . are independent identically distributed random variables such that ξ — is semiexponential; i.e., P (−ξ ≥ t) = e ^{− t βL(t)} is a slowly varying function as t → ∞ possessing some smoothness properties. Let Eξ = 0, Dξ = 1, and S(k) = ξ (1) + • • • + ξ (k). Given d > 0, define the first upcrossing time η+(u) = inf{k ≥ 1 : S (k)+kd > u} at nonnegative level u ≥ 0 of the walk S (k)+kd with positive drift d > 0. We prove that, under general conditions, the following relation is valid for u = u (n) [0, dn − N_n√n]:
n → ∞
(0.1)
, where x = u − nd < 0 and an arbitrary fixed sequence N_n not exceeding d√n tends to ∞.
The conditions under which we prove (0.1) coincide exactly with the conditions under which the asymptotic behavior of the probability P (S(n) ≤ x) for x ≤ −√n was found in [1] (forx [−√n, 0] it follows from the central limit theorem).

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (535 KB)
• PostScript file (1 MB)