Пономарев С. П.
О некоторых свойствах кривых Ван Коха

Изучаются свойства интегрального оператора T с ядром Коши, действующего из L^∞(Γ, μ), где Γ — кривая Ван Коха, в пространство функций C → C. Доказано, что образ T нетривиален и содержится в пространстве AC(Γ ) непрерывных на C функций, исчезающих на 1 и аналитических вне Γ . Показано также, что T инъективен, компактен и удовлетворяет некоторому функциональному уравнению. Полученные результаты представляют собой естественное продолжение наших исследований по задаче AC-устранимости квазиконформных кривых, решение которой впервые анонсировано в [1] и дополнено позже некоторыми свойствами кривых Ван Коха [2, 3]. В данной статье эта задача обсуждается в более общей постановке, в частности, присутствуют важные детали, отсутствующие в [1].
Сформулированы нерешенные задачи.

Ponomarev S. P.
Some properties of Van Koch’s curves

We investigate the properties of an integral operator T with a Cauchy kernel. The operator acts from L^∞(Γ, μ), where Γ is a Van Koch curve, to the space of functions C > C. We prove that the range of T is nontrivial and lies in the space AC(Γ) of functions continuous in C, vanishing at ∞, and analytic outside Γ. We also show that T is injective and compact while satisfying some special functional equation. These results may be regarded as a natural continuation of our research on the problem of AC-removability of quasiconformal curves whose solution was announced in [1] for the first time and supplemented later with some other properties of Van Koch’s curves [2, 3]. In this paper the problem is discussed in a more general setting and, in particular, all important details lacking in [1] are given. Some open problems are formulated.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (555 KB)
• PostScript file (995 KB)