Рязанов В. И., Севостьянов Е. А.
Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфизмов

Дано описание кольцевых Q-гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2, и найден ряд условий нормальности семейств кольцевых Q-гомеоморфизмов. В частности, показано, что для нормальности семейства достаточно, чтобы мажоранта Q(x) имела сингулярности логарифмического типа порядка не выше n?1. Другое достаточное условие нормальности состоит в том, что функция Q(x) имеет конечное среднее колебание в каждой точке, к примеру, если Q(x) имеет конечное среднее значение по инфинитезимальным шарам. Определение кольцевых Q-гомеоморфизмов мотивировано кольцевым определением квазиконформности по Герингу. В частности, отображения с конечным искажением длины удовлетворяют емкостному неравенству, которое положено в основу определения кольцевых Q-гомеоморфизмов. Поэтому в качестве следствий развитой теории получаются критерии нормальности семейств гомеоморфизмов f конечного искажения длины и класса Соболева W_loc^1,n в терминах внутренней дилатации K_I (x, f). Кроме того, в работе установлена замкнутость класса сильных кольцевых Q-гомеоморфизмов при локально суммируемой Q.

Ryazanov V. I.,  Sevost’yanov E. A.
Equicontinuous classes of ring Q -homeomorphisms

We give a description of ring Q-homeomorphisms in Rⁿ, n ≥ 2, and find a series of conditions for normality of families of ring Q-homeomorphisms. For a family to be normal it is sufficient that the dominant Q(x) have logarithmic-type singularities of order at most n-1. Another sufficient condition for normality is that Q(x) has finite mean oscillation at each point; for example, Q(x) has finite mean value over infinitesimal balls. The definition of ring Q-homeomorphism is motivated by the ring definition of Gehring for quasiconformality. In particular, the mappings with finite length distortion satisfy a capacity inequality that justifies the definition of ring Q-homeomorphism. Therefore, deriving consequences of the theory to be presented, we obtain criteria for normality of families of homeomorphisms f with finite length distortion and homeomorphisms of the Sobolev class W_loc^1,n in terms of the inner dilation K_I (x, f). Moreover, the class of strong ring Q-homeomorphisms for a locally summable Q is closed.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (565 KB)
• PostScript file (1 MB)