Чуркин В. А.
Ослабленная теорема Бибербаха для кристаллографических групп в псевдоевклидовых пространствах

Ослабленная теорема Бибербаха утверждает, что кристаллографическая группа в евклидовом пространстве однозначно задает свою решетку трансляций как абстрактная группа. Р. М. Гарипов («Алгебра и логика», 2003) доказал, что это утверждение справедливо для кристаллографических групп в пространствах Минковского. Он сформулировал задачу: верно ли аналогичное утверждение в псевдоевклидовых пространствах ^p,q? Доказано, что ослабленная теорема Бибербаха верна для кристаллографических групп в псевдоевклидовых пространствах ^p,q при min{p, q} ≤ 2. При min{p, q} ≥ 3 построены примеры кристаллографических групп с двумя различными решетками, которые меняются местами подходящим автоморфизмом группы. Доказано также, что для кристаллографических групп с двумя различными изоморфными псевдоевклидовыми решетками коранг пересечения этих решеток в самих решетках может принимать любые значения, большие двух, кроме числа четыре.

Churkin V. A.
The weak Bieberbach theorem for crystallographic groups on pseudo-Euclidean spaces

The weak Bieberbach theorem states that each crystallographic group on a Euclidean space uniquely determines its translation lattice as an abstract group. Garipov proved in 2003 that the same holds for crystallographic groups on Minkowski spaces and asked whether a similar claim holds in the pseudo-Euclidean spaces ^p,q. We prove that the weak Bieberbach theorem holds for crystallographic groups on pseudo-Euclidean spaces ^p,q with min{p, q} ≤ 2. For min{p, q} ≥ 3 we construct examples of crystallographic groups with two distinct lattices exchanged by a suitable automorphism of the group. For crystallographic groups with two distinct isomorphic pseudo-Euclidean lattices we also prove that the coranks of their intersection in these lattices can take arbitrary values greater than 2 with the exception of 4.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (480 KB)
• PostScript file (900 KB)