Бушуева Н. А.
Об изотопиях и гомологиях подмногообразий в торических многообразиях
В пространстве Cn рассматриваются алгебраическая поверхность Y и конечный набор гиперповерхностей {Si}. Известная теорема Фруассара гласит, что если Y и {Si} находятся в общем положении в проективной компактификации Cn вместе с бесконечно удаленной гиперплоскостью, то для гомологий дополнения Y \  Si имеет место специальное разложение через гомологии поверхности Y и всевозможных пересечений Si в Y . Доказывается справедливость этого гомологического разложения при более слабом условии: существует гладкая торическая компактификация Cn, в которой Y и {Si} находятся в общем положении со всеми бесконечно удаленными дивизорами. Одним из основных моментов доказательства является построение изотопии в Y , оставляющей инвариантными все гиперповерхности Y ∩ Sk, кроме одной Y ∩ Si, которая сдвигается с любого наперед заданного компакта. Кроме того, рассматривается сугубо торический вариант теоремы о разложении, когда вместо аффинной поверхности Y берется дополнение поверхности в компактном торическом многообразии до набора гиперповерхностей в нем. |
Bushueva N. A.
On Isotopies and Homologies of Subvarieties of Toric Varieties
In Cn we consider an algebraic surface Y and a finite collection of hypersurfaces {Si}. Froissart’s theorem states that if Y and {Si} are in general position in the projective compactification of Cn together with the hyperplane at infinity then for the homologies of Y \ Si we have a special decomposition in terms of the homology of Y and all possible intersections of Si in Y. We prove the validity of this homological decomposition on assuming a weaker condition: there exists a smooth toric compactification of Cn in which Y and {Si} are in general position with all divisors at infinity. One of the key steps of the proof is the construction of an isotopy in Y leaving invariant all hypersurfaces Y ∩ Sk with the exception of one Y ∩ Si, which is shifted away from a given compact set. Moreover, we consider a purely toric version of the decomposition theorem, taking instead of an affine surface Y the complement of a surface in a compact toric variety to a collection of hypersurfaces in it.
|
