Пономарев С. П., Туровска М.
О секционной связности контингенции

Пусть X — вещественное нормированное пространство, ƒ : → X — непрерывное отображение.
Пусть T_ƒ(t₀) — контингенция графика G(ƒ) в точке (t₀, ƒ(t₀)), S⁺ (0,∞) × X — «правая» единичная полусфера с центром в (0, 0_X).
Доказаны следующие результаты.
1. Если dimX < ∞ и растяжение D (ƒ, t₀) отображения ƒ в t₀ конечно, то T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ компактна и связна. Результат остается верным для T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ даже при бесконечном растяжении в случае, когда ƒ : [0,∞) → X.
2. Если dimX = ∞, то для любого компактного множества F S⁺ существует липшицево отображение
ƒ : → X такое, что T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ = F.
3. Если замкнутое множество F S⁺ имеет мощность больше континуума, то соотношение T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ = F неверно для любого липшицева ƒ : → X.

Ponomarev S. P.,  Turowska M.
On the sectionwise connectedness of a contingent

Let X be a real normed space and let ƒ : → X be a continuous mapping. Let T_ƒ(t₀) be the contingent of the graph
G(ƒ) at a point (t₀, ƒ(t₀)) and let S⁺ (0,∞) × X be the “right” unit hemisphere centered at (0, 0_X). We show that

1. If dimX < ∞ and the dilation D (ƒ, t₀) of ƒ at t₀ is finite then T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ is compact and connected. The result holds for T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ even with infinite dilation in the case ƒ : [0,∞) → X.
2. If dimX = ∞, then, given any compact set F S⁺, there exists a Lipschitz mapping ƒ : → X such that
T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ = F.
3. But if a closed set F S⁺ has cardinality greater than that of the continuum then the relation T_ƒ(t₀) ∩ S⁺ = F does not hold for any Lipschitz ƒ : → X.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file