Васкевич В. Л.
Погрешность, обусловленность и гарантированная точность многомерных сферических кубатур

Проведена оценка сверху уклонения нормы возмущенного функционала погрешности от нормы исходного функционала погрешности многомерной сферической кубатурной формулы. Уклонение возникает в результате комбинированного влияния на итог вычислений малых изменений весов кубатурной формулы и округлений при последующем подсчете кубатурной суммы в условиях заданных стандартов приближения вещественных чисел. Дана оценка практической погрешности кубатурной формулы при ее действии на произвольную функцию из единичного шара нормированного пространства подынтегральных функций. Полученные оценки применены при исследовании практической погрешности сферических кубатурных формул в случае подынтегральных функций из пространств типа Соболева на многомерной единичной сфере. Норма функционала погрешности в сопряженном соболевскому классу пространстве представлена в виде положительно определенной квадратичной формы от весов кубатурной формулы. Проведена оценка практической погрешности для сферических кубатурных формул, каждая из которых конструируется как прямое произведение квадратурной формулы Гаусса по меридиану сферы и квадратурной формулы прямоугольников по экватору сферы. Веса такого прямого произведения с 2m² узлами положительны, сама же формула точна на всех сферических гармониках до порядка 2m − 1 включительно.

Vaskevich V. L.
Errors, condition numbers, and guaranteed accuracy of higher-dimensional spherical cubatures

We give upper bounds for the deviation of the norm of a perturbed error functional from the norm of the original error of a higher-dimensional spherical cubature formula. The deviation arises as a result of the combined influence on the computation of small variations of the weights of the cubature formula and rounding for the subsequent calculation of the cubature sum in the given standards of approximation to real numbers. We estimate the practical error of the cubature formula for its action on an arbitrary function in the unit ball of the normed space of integrands. The resulting estimates are applied to studying the practical error of spherical cubature formulas in the case of integrands in Sobolev-type spaces on the higher-dimensional unit sphere. We represent the norm of the error functional in the dual space of the Sobolev class as a positive definite quadratic form in the weights of the cubature formula. We estimate the practical error for spherical cubature formulas, each of which is constructed as the direct product of Gauss’s quadrature formula along the meridian of the sphere and of the rectangle quadrature formula along the equator. The weights of this direct product with 2m² nodes are positive. The formula itself is exact at all spherical harmonics up to order 2m − 1.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file