Малькович Е. Г., Шарафутдинов В. А.
Дзета-инварианты стекловского спектра плоской области

Классическая обратная задача определения гладкой односвязной плоской области по ее стекловскому спектру [1] эквивалентна задаче восстановления, с точностью до конформной эквивалентности, положительной функции a C ^∞ () на единичной окружности = {e ^{i θ}} по спектру оператора aΛ_e, где Λ_e=(-d ²/dθ ²)^1/2. Вводятся 2k-формы Z_k(a)\ (k = 1,2,…) от коэффициентов Фурье функции a, которые называются дзета-инвариантами. Эти инварианты однозначно определяются собственными числами оператора aΛ_e. Изучаются некоторые свойства форм Z_k(a), в частности, их инвариантность относительно действия конформной группы. Ряд открытых вопросов о дзета-инвариантах поставлен в конце статьи.

Mal’kovich E. G., Sharafutdinov V. A.
Zeta-invariants of the Steklov spectrum of a planar domain

The classical inverse problem of the determination of a smooth simply-connected planar domain by its Steklov spectrum [1] is equivalent to the problem of the reconstruction, up to conformal equivalence, a positive function a C ^∞ () on the unit circle  = {e ^{i θ}} from the spectrum of the operator aΛ_e, where Λ_e=(-d ²/dθ ²)^1/2. We introduce 2k-forms Z_k(a)\ (k = 1,2,…) of the Fourier coefficients of a, called the zeta-invariants. These invariants are determined by the eigenvalues of aΛ_e. We study some properties of the forms Z_k(a); in particular, their invariance under the conformal group. A few open questions about zeta-invariants is posed at the end of the article.

DOI 10.17377/smzh.2015.56.411
Ключевые слова: стекловский спектр, оператор Дирихле — Неймана, дзета-функция, обратные спектральные задачи.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file