Гао Б., Танг Ц., Мяо Л.
О $\mathscr {M}_p$-добавляемых подгруппах конечных групп

Подгруппа $K$ группы $G$ называется $\mathscr {M}_p$-добавляемой в $G$, если существует подгруппа $B$ в $G$ такая, что $G=KB$ и $TB>G$ для каждой максимальной подгруппы $T$ в $K$ такой, что $|K:T|=p^{\alpha}$. Целью настоящей работы является доказательство следующего утверждения. Пусть $p$ — простой делитель $|G|$ и $H$ — $p$-нильпотентная подгруппа, содержащая силовскую $p$-подгруппу группы $G$. Предположим, что в $H$ имеется подгруппа $D$ такая, что $D_p\neq 1$ и $|H:D|=p^{\alpha}$. Тогда $G$ $p$-нильпотентна, если и только если всякая подгруппа $T$ в $H$ со свойством $|T|=|D|$ $\mathscr {M}_p$-добавляема в $G$ и $N_G(T_p)/C_G(T_p)$ — $p$-группа.

B. Gao, J. Tang, L. Miao
$\mathscr {M}_p$-supplemented subgroups of finite groups

A subgroup $K$ of $G$ is $\mathscr {M}_p$-supplemented in $G$ if there exists a subgroup $B$ of $G$ such that $G=KB$ and $TB>G$ for every maximal subgroup $T$ of $K$ with $|K:T|=p^{\alpha}$. In this paper we prove the following: Let $p$ be a prime divisor of $|G|$ and let $H$ be a $p$-nilpotent subgroup having a Sylow $p$-subgroup of $G$. Suppose that $H$ has a subgroup $D$ with $D_p\neq 1$ and $|H:D|=p^{\alpha}$. Then $G$ is $p$-nilpotent if and only if every subgroup $T$ of $H$ with $|T|=|D|$ is $\mathscr {M}_p$-supplemented in $G$ and $N_G(T_p)/C_G(T_p)$ is a $p$-group.

DOI 10.17377/smzh.2016.57.103
Ключевые слова: p-нильпотентная подгруппа, композиционный фактор, добавляемая подгруппа, конечная группа

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file