О. В. Бородин, А. О. Иванова
Легкие и низкие 5-звезды в нормальных плоских картах с минимальной степенью 5

Известно, что существуют нормальные плоские карты (НПМ) с минимальной степенью $\delta$, равной $5$, такие, что минимальная сумма степеней $w(S_5)$ $5$-звезд с центрами в $5$-вершине неограниченно велика. Высота $5$-звезды есть максимальная степень ее вершин. Через $h(S_5)$ обозначим минимальную высоту $5$-звезд с центром в $5$-вершине в данной НПМ с $\delta=5$.
В 1940 г. Лебег доказал, что если НПМ с $\delta=5$ не содержит $4$-звезд циклического типа $(\overrightarrow{5,6,6,5})$ с центром в $5$-вершине, то $w(S_5)<68$ и $h(S_5)<41$. Недавно О. В. Бородин, А. О. Иванова и Йенсен понизили эти оценки до $55$ и $28$ соответственно и дали конструкцию НПМ с $\delta=5$ без $(\overrightarrow{5,6,6,5})$-звезд с $w(S_5)=48$ и $h(S_5)=20$.
В статье доказано, что $w(S_5)<51$ и $h(S_5)<23$ для каждой НПМ с $\delta=5$ без $(\overrightarrow{5,6,6,5})$-звезд.

O. V. Borodin, A. O. Ivanova
Light and low 5-stars in normal plane maps with minimum degree 5

It is known that there are normal plane maps (NPMs) with minimum degree $\delta=5$ such that the minimum degree-sum $w(S_5)$ of $5$-stars at $5$-vertices is arbitrarily large. The height of a $5$-star is the maximum degree of its vertices. Given an NPM with $\delta=5$, by $h(S_5)$ we denote the minimum height of a $5$-stars at $5$-vertices in it.
Lebesgue showed in 1940 that if an NPM with $\delta=5$ has no $4$-stars of cyclic type $(\overrightarrow{5,6,6,5})$ centered at $5$-vertices, then $w(S_5)<68$ and $h(S_5)<41$. Recently, Borodin, Ivanova, and Jensen lowered these bounds to $55$ and $28$, respectively, and gave a construction of a $(\overrightarrow{5,6,6,5})$-free NPM with $\delta=5$ having $w(S_5)=48$ and $h(S_5)=20$.
In this paper, we prove that $w(S_5)<51$ and $h(S_5)<23$ for each $(\overrightarrow{5,6,6,5})$-free NPM with $\delta=5$.

DOI 10.17377/smzh.2016.57.307
Ключевые слова: граф, плоская карта, вес, легкий подграф, высота, низкий подграф.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file