Полковников А. Н., Шлапунов А. А.
О построении формул Карлемана с помощью смешанных задач с граничными условиями, содержащими параметр

Пусть $D$ — открытое связное множество с достаточно гладкой границей $\partial D$ на комплексной плоскости $\mathbb C$. Возмущением задачи Коши для системы Коши — Римана $\bar {\partial} u = f$ в $D$ с граничными данными на замкнутом множестве $S \subset \partial D$ получено семейство смешанных задач типа Зарембы для уравнения Лапласа, зависящее от малого параметра $\epsilon \in (0, 1]$ в граничном условии. Несмотря на то, что смешанные задачи содержат некоэрцитивные граничные условия на $\partial D$ \ $S$, каждая из них имеет единственное решение в подходящем гильбертовом пространстве $H^+(D)$, непрерывно вложенном в пространство Лебега $L^2 (\partial D)$ и пространство Соболева — Слободецкого $H^{1/2 - \delta} (D)$ при любом $\delta > 0$. Соответствующее семейство решений {$u_\epsilon$} сходится в $H^+(D)$ к решению задачи Коши (если оно существует). Также доказано, что существование решения задачи Коши в $H^+(D)$ эквивалентно ограниченности семейства {$u_\epsilon$} в этом пространстве. Таким образом, получены условия разрешимости для задачи Коши и эффективный метод построения ее решения в виде формул карлемановского типа.

A. N. Polkovnikov, A. A. Shlapunov
Construction of Carleman formulas by using mixed problems with parameter-dependent boundary conditions

Let $D$ be an open connected subset of the complex plane $\mathbb C$ with sufficiently smooth boundary  $\partial D$. Perturbing the Cauchy problem for the Cauchy–Riemann system $\bar {\partial} u = f$ in $D$ with boundary data on a closed subset $S \subset \partial D$, we obtain a family of mixed problems of the Zaremba-type for the Laplace equation depending on a small parameter $\epsilon \in (0, 1]$ in the boundary condition. Despite the fact that the mixed problems include noncoercive boundary conditions on $\partial D$ \ $S$, each of them has a unique solution in some appropriate Hilbert space $H^+(D)$ densely embedded in the Lebesgue space $L^2 (\partial D)$ and the Sobolev–Slobodetskii space $H^{1/2 - \delta} (D)$ for every $\delta > 0$. The corresponding family of the solutions {$u_\epsilon$} converges to a solution to the Cauchy problem in $H^+(D)$ (if the latter exists). Moreover, the existence of a solution to the Cauchy problem in $H^+(D)$ is equivalent to boundedness of the family {$u_\epsilon$} in this space. Thus, we propose solvability conditions for the Cauchy problem and an effective method of constructing a solution in the form of Carleman-type formulas.

DOI 10.17377/smzh.2017.58.414
Ключевые слова: оператор Коши — Римана, задача Коши, задача Зарембы, малый параметр, уравнение Лапласа.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file