Чжан Л., Го В., Скиба А. Н.
Замечания о ранге конечной разрешимой группы

Пусть $G$ — конечная группа и $\sigma = {\sigma_{i}|i \in I}$ — некоторое разбиение множества простых чисел $\mathbb P$. Тогда $G$ называется $\sigma$-нильпотентной, если $G = A_1 \times \cdots \times A_r$, где $A_i$ — $\sigma_{i_{j}}$-группа для некоторого $i_j = i_j (A_i)$. Множество $\mathscr H$ подгрупп из $G$ называется полным холловым $\sigma$-множеством в $G$, если каждый член $\neq 1$ из $\mathscr H$ является холловой $\sigma_i$-подгруппой в $G$ для некоторого $i \in I$ и $\mathscr H$ содержит в точности одну холлову $\sigma_i$-подгруппу из $G$ для каждого такого $i$, что $\sigma_i \cap \pi(G) \neq \varnothing$. Подгруппа $A$ из $G$ называется $\sigma$-квазинормальной или $\sigma$-перестановочной [1] в $G$, если $G$ содержит такое полное холлово $\sigma$-множество $\mathscr H$, что $AH^x = H^{x}A$ для всех $H \in \mathscr H$ и всякого $x \in G$. Символ $r(G)$ (соответственно $r_p(G)$) обозначает ранг (соответственно $p$-ранг) $G$.
Пусть $\mathscr H$ — полное холлово $\sigma$-множество из $G$. Доказано, что: (i) если $G$ разрешима, $r(H) \le r \in \mathbb N$ для всех $H \in \mathscr H$ и каждая $n$-максимальная подгруппа из $G (n > 1)$ $\sigma$-квазинормальна в $G$, то $r(G) \le n + r - 2$; (ii) если каждый член из $\mathscr H$ разрешим и каждая $n$-минимальная подгруппа из $G$ $\sigma$-квазинормальна в $G$, то $G$ разрешима и $r_p(G) \le n + r_p(H) - 1$ для всех $H \in \mathscr H$ и нечетных $p \in \pi(H)$.

L. Zhang, W. Guo, A. N. Skiba
Some notes on the rank of a finite soluble group

Let $G$ be a finite group and let $\sigma = {\sigma_{i}|i \in I}$ be some partition of the set $\mathbb P$ of all primes. Then $G$ is called $\sigma$-nilpotent if $G = A_1 \times \cdots \times A_r$, where $A_i$ is a $\sigma_{i_{j}}$-group for some $i_j = i_j (A_i)$. A collection $\mathscr H$ of subgroups of $G$ is a complete Hall $\sigma$-set of $G$ if each member $\neq 1$ of $\mathscr H$ is a Hall $\sigma_i$-subgroup of $G$ for some $i \in I$ and $\mathscr H$ has exactly one Hall $\sigma_i$-subgroup of $G$ for every $i$ such that $\sigma_i \cap \pi(G) \neq \varnothing$. A subgroup $A$ of $G$ is called $\sigma$-quasinormal or $\sigma$-permutable [1] in $G$ if $G$ possesses a complete Hall $\sigma$-set $\mathscr H$ such that $AH^x = H^{x}A$ for all $H \in \mathscr H$ and $x \in G$. The symbol $r(G)$ ($r_p(G)$) denotes the rank ($p$-rank) of $G$.
Assume that $\mathscr H$ is a complete Hall $\sigma$-set of $G$. We prove that (i) if $G$ is soluble, $r(H) \le r \in \mathbb N$ for all $H \in \mathscr H$, and every $n$-maximal subgroup of $G (n > 1)$ is $\sigma$-quasinormal in $G$, then $r(G) \le n + r - 2$; (ii) if every member in $\mathscr H$ is soluble and every $n$-minimal subgroup of $G$ is $\sigma$-quasinormal, then $G$ is soluble and $r_p(G) \le n + r_p(H) - 1$ for all $H \in \mathscr H$ and odd $p \in \pi(H)$.

DOI 10.17377/smzh.2017.58.519
Ключевые слова: конечная группа, $p$-ранг разрешимой группы, $\sigma$-квазинормальная подгруппа, $n$-максимальная подгруппа, $n$-минимальная подгруппа.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file