Берестовский В. Н.
Геодезические и кривизны специальных субримановых метрик на группах Ли

Пусть $G$ — полупростая полная связная группа Ли изометрий связного риманова симметрического пространства $M = G/K$ со стабилизатором $K$; $p : G \to G/K$ = $M$ — каноническая проекция, являющаяся римановой субмерсией для некоторой $G$-левоинвариантной и $K$-правоинвариантной римановой метрики на $G$, и $d$ — (единственная) субриманова метрика на $G$, определяемая этой римановой метрикой и горизонтальным распределением римановой субмерсии $p$. Доказано, что каждая геодезическая в $(G, d)$ нормальна и является орбитой некоторой однопараметрической группы изометрий. По методу Соловьева с использованием разложения Картана для $M = G/K$ найдены кривизны однородного субриманова многообразия $(G, d)$. В случае $G$ = Sp(1)$\times$ Sp(1) с римановым симметрическим пространством $S^3$ = Sp(1) = $G$/ diag(Sp(1) $\times$ Sp(1)) вычислены кривизны и кручения образов в $S^3$ всех геодезических на ($G, d$) относительно $p$.

V. N. Berestovskii
Geodesics and Curvatures of Special Sub-Riemannian Metrics on Lie Groups

Let $G$ be a full connected semisimple isometry Lie group of a connected Riemannian symmetric space $M = G/K$ with the stabilizer $K$; $p : G \to G/K$ = $M$ the canonical projection which is a Riemannian submersion for some $G$-left invariant and $K$-right invariant Riemannian metric on $G$, and $d$ is a (unique) sub-Riemannian metric on $G$ defined by this metric and the horizontal distribution of the Riemannian submersion $p$. It is proved that each geodesic in ($G, d$) is normal and presents an orbit of some one-parameter isometry group. By the Solov'ev method, using the Cartan decomposition for $M = G/K$, the author found the curvatures of the homogeneous sub-Riemannian manifold ($G, d$). In the case $G$ = Sp(1) $\times$ Sp(1) with the Riemannian symmetric space $S^3$ = Sp(1) = $G$/ diag(Sp(1) $\times$ Sp(1)) the curvatures and torsions are calculated of images in $S^3$ of all geodesics on ($G, d$) with respect to $p$.

DOI 10.17377/smzh.2018.59.104
Ключевые слова: алгебра Ли, геодезически орбитальное пространство, группа Ли, левоинвариантная субриманова метрика, нормальная геодезическая, риманово симметрическое пространство.

Свободный доступ к полным текстам предоставляется после 1 июля года, следующего за годом публикации