Бикчентаев А. М.
Идеальные пространства измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Пусть алгебра фон Неймана $\mathscr M$ операторов действует в гильбертовом пространстве $\mathscr H$, $\tau$ – точный нормальный полуконечный след на $\mathscr M$. Пусть $\mathscr E$, $\mathscr F$ и $\mathscr G$ – идеальные пространства на $(\mathscr M,\tau)$. В терминах идемпотента $P$ из $\mathscr M$ найдены эквивалентные условия, обеспечивающие принадлежность нормального $\tau$-измеримого оператора $X$ к $\mathscr E$. Множества $\mathscr E+\mathscr F$ и $\mathscr E\cdot\mathscr F$ также являются идеальными пространствами на $(\mathscr M,\tau)$, при этом $\mathscr E\cdot\mathscr F=\mathscr F\cdot\mathscr E$ и $(\mathscr E+\mathscr F)\cdot\mathscr G=\mathscr E\cdot\mathscr G+\mathscr F\cdot\mathscr G$. Структура идеальных пространств модулярна. Установлены новые свойства пространства $L_1(\mathscr M,\tau)$ интегрируемых операторов, присоединенных к алгебре $\mathscr M$. Результаты являются новыми и для *-алгебры $\mathscr M=\mathscr B(\mathscr H)$ всех ограниченных линейных операторов в $\mathscr H$, снабженной каноническим следом $\tau=\operatorname{tr}$.

A. M. Bikchentaev
Ideal Spaces of Measurable Operators Affiliated to A Semifinite Von Neumann Algebra

Suppose that $\mathscr M$ is a von Neumann algebra of operators on a Hilbert space $\mathscr H$ and $\tau$ is a faithful normal semifinite trace on $\mathscr M$. Let $\mathscr E$, $\mathscr F$ and $\mathscr G$ be ideal spaces on $(\mathscr M,\tau)$. We find when a $\tau$-measurable operator $X$ belongs to $\mathscr E$ in terms of the idempotent $P$ of $\mathscr M$. The sets $\mathscr E+\mathscr F$ and $\mathscr E\cdot\mathscr F$ are also ideal spaces on $(\mathscr M,\tau)$; moreover, $\mathscr E\cdot\mathscr F=\mathscr F\cdot\mathscr E$ and $(\mathscr E+\mathscr F)\cdot\mathscr G=\mathscr E\cdot\mathscr G+\mathscr F\cdot\mathscr G$. The structure of ideal spaces is modular. We establish some new properties of the $L_1(\mathscr M,\tau)$ space of integrable operators affiliated to the algebra $\mathscr M$. The results are new even for the *-algebra $\mathscr M=\mathscr B(\mathscr H)$ of all bounded linear operators on $\mathscr H$ which is endowed with the canonical trace $\tau=\operatorname{tr}$.

DOI 10.17377/smzh.2018.59.206
Ключевые слова: гильбертово пространство, линейный оператор, алгебра фон Неймана, нормальный полуконечный след, измеримый оператор, компактный оператор, интегрируемый оператор, коммутатор, идеальное пространство.

Свободный доступ к полным текстам предоставляется после 1 июля года, следующего за годом публикации